Demostración en Complejos

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Staff FMAT

Demostración en Complejos, Una revisadita

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2009, 07:02 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Tengo el siguiente ejercicio, el cual lo he intentado pero no sé si está bien, más que nada por las justificaciones: Demuestre que: $TEX: $z+\dfrac{1}{z}=2\cos\alpha \rightarrow z^n+\dfrac{1}{z^n}=2\cos n\alpha$$ ~~Intento de~~ Demostración: $TEX: $\\$Sea $z=r(a+bi), \rightarrow \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r(a+bi)}$ donde $a+bi=\cos\alpha+i\sin\alpha \\<br />z+\dfrac{1}{z}=r(a+bi)+\dfrac{1}{r(a+bi)}$ por enunciado, esto es igual a $2a\\ <br />r(a+bi)+\dfrac{(a-bi)}{r}=2a$ para que esta igualdad se cumpla, $r=1 \\$ luego, por de moivre: $\\<br />z^n=\cos n\alpha+i\sin\alpha$, entonces $ z^n+\dfrac{1}{z^n}=2\cos n\alpha$$ Gracias de antemano. Si está mal, podrían darme un hint para empezar de nuevo? -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2009, 07:21 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=34033

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2009, 07:31 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	La idea es correcta: probar que r=1 y utilizar después la fórmula de De Moivre. El único detalle que le encuentro a tu argumento es que supones de entrada que $TEX: $z=r(\cos \alpha + i\sin \alpha).$$ ¿Cómo sabes de antemano que el argumento de z es precisamente el $TEX: $\alpha$$ de la hipótesis? En todo caso, ese detalle no es insalvable. Si supones que el argumento es $TEX: $\beta$$ puedes mostrar que este $TEX: $\beta$$ sí guarda al final de cuentas una cierta relación con $TEX: $\alpha$$ . Saludos. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2009, 07:58 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Muchas gracias coquitao, me ha quedado muy claro con tu explicación. Gracias también Krizalid, pero no era lo que necesitaba. Saludos. -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2009, 08:33 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Dejo aquí una manera alternativa de demostrar el resultado... Por si acaso: Hacemos inducción completa en n. Si n=1 el resultado se tiene. Supongamos que se cumple para todos los naturales menores que n+1. Probemos para n+1. De la hipótesis de inducción se sigue que $TEX: $\displaystyle z^{n+1} + \frac{1}{z^{n+1}} = \left(z + \frac{1}{z} \right) \left(z^{n} + \frac{1}{z^{n}} \right) - \left( z^{n-1} + \frac{1}{z^{n-1}} \right) \\ = (2 \cos \alpha)(2\cos n\alpha ) - 2\cos(n-1)\alpha$.$ Por otro lado, una de las identidades de prostaféresis implica que $TEX: $4\cos n \alpha \cdot \cos \alpha = 2\left(\cos(n+1)\alpha + \cos (n-1)\alpha \right) $$ y por tanto, $TEX: $\displaystyle z^{n+1} + \frac{1}{z^{n+1}} = (2 \cos \alpha)(2\cos n \alpha ) - 2 \cos (n-1) \alpha = 2 \cos(n+1) \alpha.$$ QED. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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