 Prueba NM4, Octava Región, Grupal |
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Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Competencias y Olimpiadas > Campeonato Interescolar > Campeonato Interescolar 2009 > Segunda Fecha  |
 May 23 2009, 04:30 PM
Publicado:
#1
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Principiante Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 17-April 09 Desde: en mi casita XD Miembro Nº: 48.542 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
Aqui estan los problemas grupales, que alguien me explique el 2
 no se si lo que hicimos esta bien  Problema 1. En el diagrama, ABCD es un cuadrado de lado 17 y los triangulos ABF;DAE;BCG y CDH son rectangulos y congruentes. Sabiendo que FB = 8, calcular el area del cuadrilatero EFGH.  Problema 2. Los lados iguales de un triangulo isosceles miden 10. Cual es el mayor valor que puede tomar el area del triangulo? Problema 3. En una carrera de autos, el lugar en que llego Eduardo fue justo al medio de todos los participantes. Fernando llego mas atras, en el decimo lugar, y Gamal llego en el lugar 16. Cuantos competidores participaron? Problema 4. Se apoya en una pared vertical una escalera de 25 metros de largo. El pie de la escalera esta a 7 metros de la pared. Si la parte superior de la escalera se desliza 4 metros hacia abajo, determinar la cantidad de metros que se desliza el pie de la escala. Problema 5. Si  calcular el valor exacto de  |
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May 23 2009, 05:47 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 691 Registrado: 22-April 09 Miembro Nº: 49.114 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Sexo:  |
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![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \underline {{\text{Problema 1}}} \hfill \\<br /> {\text{Solo hay que aplicar pitagoras para obtener:}} \hfill \\<br /> {\text{ }}\overrightarrow {AF} ^2 + 64 = 289 \hfill \\<br /> \boxed{{\text{ }}\overrightarrow {AF} = 15} \hfill \\<br /> {\text{Y como los triangulos son congruentes es ir completando}} \hfill \\<br /> {\text{los lados restantes}}{\text{, de manera que el area del cuadrilatero formado}} \hfill \\<br /> {\text{(mas especificamente un cuadrado)}}{\text{, es 7}}^2 = \boxed{49} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/df3ec329a04906f354ef45bfe87360b7.png)
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \underline {{\text{Problema 4}}} \hfill \\<br /> {\text{Aplicando pitagoras inicialmente tendriamos que la altura de la pared es:}} \hfill \\<br /> h^2 = 25^2 - 7^2 \Rightarrow \boxed{h = 24m} \hfill \\<br /> {\text{Luego nos dicen que la escalera se deslizo 4 metros}}{\text{, por tanto la nueva altura}} \hfill \\<br /> {\text{de la pared sera de 20m}}{\text{, conservando el mismo largo de la escalera 25m}}{\text{, podemos}} \hfill \\<br /> {\text{determinar la base a traves de pitagoras:}} \hfill \\<br /> b^2 = 25^2 - 20^2 \Rightarrow \boxed{b = 15m} \hfill \\<br /> \therefore {\text{ el pie de la escalera se desliza 1}}5m - 7m = \boxed{8m} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/74b9f6ae8f5cfd8ebc439a51f9c60121.png)
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \underline {{\text{Problema 5}}} \hfill \\<br /> {\text{Solo basta darse cuenta que : }}\frac{1}<br />{{x - \sqrt {x^2 - 1} }} = x + \sqrt {x^2 - 1} \hfill \\<br /> {\text{Asique tenemos que:}} \hfill \\<br /> x + \sqrt {x^2 - 1} + x + \sqrt {x^2 - 1} = 20 \hfill \\<br /> x + \sqrt {x^2 - 1} = 10 \hfill \\<br /> x = 10 - \sqrt {x^2 - 1} /()^2 \hfill \\<br /> x^2 = 100 - 20\sqrt {x^2 - 1} + x^2 - 1 \hfill \\<br /> 20\sqrt {x^2 - 1} = 99 \hfill \\<br /> \sqrt {x^2 - 1} = \frac{{99}}<br />{{20}} \hfill \\<br /> {\text{Nos piden }}x^2 + \sqrt {x^4 - 1} + \frac{1}<br />{{x^2 + \sqrt {x^4 - 1} }} - \frac{1}<br />{{200}} = \hfill \\<br /> x^2 + \sqrt {x^4 - 1} + x^2 - \sqrt {x^4 - 1} - \frac{1}<br />{{200}} = \hfill \\<br /> 2\underbrace {x^2 }_{ = \left( {\frac{{99}}<br />{{20}}} \right)^2 + 1} - \frac{1}<br />{{200}} = \hfill \\<br /> 2 \times \left( {\left( {\frac{{99}}<br />{{20}}} \right)^2 + 1} \right) - \frac{1}<br />{{200}} \hfill \\<br /> \frac{{9801}}<br />{{200}} + 2 - \frac{1}<br />{{200}} = \hfill \\<br /> \frac{{9800}}<br />{{200}} + 2 = \hfill \\<br /> 49 + 2 = \hfill \\<br /> \boxed{51} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/ee5ae9e0a06d5b19c52554832209d839.png)
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May 23 2009, 08:32 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 691 Registrado: 22-April 09 Miembro Nº: 49.114 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo: |
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![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \underline {{\text{Problema 2}}} \hfill \\<br /> {\text{Tenemos que sen}}\alpha = \frac{B}<br />{{20}},\cos \alpha = \frac{h}<br />{{10}},{\text{ y el area del triangulo es:}} \hfill \\<br /> \frac{{B \times h}}<br />{2} \Leftrightarrow \frac{{20sen\alpha \times 10\cos \alpha }}<br />{2} \hfill \\<br /> {\text{ }} \Leftrightarrow 50 \times \underbrace {2sen\alpha \cos \alpha }_{ = sen2\alpha } \hfill \\<br /> {\text{ }} \Leftrightarrow {\text{50sen2}}\alpha {\text{ (Esto se maximiza cuando }}\alpha = 45) \hfill \\<br /> {\text{Por lo tanto el area maxima del triangulo sera de 50}} \times 1 = \boxed{50} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/a2330d85741fc9632937cd187ec8111e.png)
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