* Dos preguntas, Contraejemplos en Álgebra Opciones

[coquitao]

- Un grupo es abeliano si y sólo si todos sus subgrupos son normales. ¿Falso o verdadero?

- Todo anillo de división es un campo. ¿Falso o verdadero?

Espero que la propuesta sea de su agrado. Saludos.

[Ekispe]

- Un grupo es abeliano ⇔ todos sus subgrupos son normales. ¿Falso o verdadero?

Primero, abusaré del lenguaje diciendo que G es grupo, obviaré la notación (G,*).

1) Si un grupo G es abeliano, todos los subgrupos de G son normales.

Si H es un subgrupo del grupo abeliano G, entonces para todo g∈G y h∈H

Luego,

g⁻¹*h*g=g⁻¹*g*h Como son elemento de G podemos conmutar.

g⁻¹*g*h=e*h Teniendo en cuenta que "e" es el elemento neutro del grupo G

g⁻¹*g*h=h Por lo tanto, el H es un subgrupo normal del grupo G, ∀h en H, g en G

2) Si todos los subgrupos de un grupo son normales, entonces éste grupo es abeliano.

Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G, g∈G y h∈H.

g⁻¹*h*g=h Por definición de subgrupo normal, ya que permanece "invariante" bajo cualquier automorfismo interno de G.

Si tomamos ahora H=G, sería H un subgrupo impropio de G, luego éste al ser normal, es conmutativos para cualquier elemento en G.

De 1) y 2), hemos demostrado que un grupo es abeliano, si y solo si todos sus subgrupos son normales.

Por lo tanto, el primer enunciado es Verdadero.


Aún no veo la materia de anillo ni cuerpo, cuando la vea posteo esa parte xD!

Mensaje modificado por Ekispe el Aug 28 2010, 06:17 PM

[coquitao]

g⁻¹*h*g=h Por definición de subgrupo normal

El h del lado izq. no tiene por que ser igual al del lado derecho:

http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=51156

[Ekispe]

El h del lado izq. no tiene por que ser igual al del lado derecho:

http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=51156

Muchas gracias, quedó más claro, y ahora tengo un contraejemplo por si me sale en la prueba ! Sabía una vez posteado que esa parte la podía tener errada, ya que aprendí ese concepto el viernes y en el libro del que estudio solamente aparece una página sobre grupos normales u.u! Saludos !

[febomon]

Si G es un grupo abeliano es ciero que todos sus subgrupos son normales.

Ahora si todos los subgrupos son normales no es cierto(en general) que el grupo G es abeliano. El contraejemplo es considerar G como el grupo de cuaterniones, este tiene orden 8 por lo tanto tiene subgrupos no triviales de orden 2 y 4, los de orden dos son los generados por:



y

Ambos son fácil de verificar que son normales.

Por otra parte los grupos de orden 4 tienen indice dos (por lagranje), eso implica directamente que son normales(*).

Por lo tanto el grupo de cuaterniones tiene todos sus subgrupos normales sin embargo no es abeliano.

pd1: omiti varios pasos, sobre todo el (*), espero que no te moleste. Saludos

[febomon]

El mismo grupo de cuaterniones sirve como ejemplo de que es un anillo de división pero al ser no conmutativo no es un campo

Mensaje modificado por febomon el Dec 12 2011, 11:33 PM

[Jonna Venus]

- Un grupo es abeliano si y sólo si todos sus subgrupos son normales. ¿Falso o verdadero?

- Todo anillo de división es un campo. ¿Falso o verdadero?

Espero que la propuesta sea de su agrado. Saludos.

1.- falso ejemplo los cuaterniones
2.- Verdadero ssi es conmutativo

Mensaje modificado por Jonna Venus el Dec 12 2011, 11:59 PM

[coquitao]

El mismo grupo de cuaterniones sirve como ejemplo de que es un anillo de división

Tienes que precisar esa sentencia. Para una presentación más "clara" del grupo de cuaterniones se recomienda ver:

http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=51156 (párrafo 8)

@Jonna Venus:

1. Bien, pero no está demás revisar el enlace anterior.
2. Incorrecto.

[Jonna Venus]

Tienes que precisar esa sentencia. Para una presentación más "clara" del grupo de cuaterniones se recomienda ver:

http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=51156 (párrafo 8)

@Jonna Venus:

1. Bien, pero no está demás revisar el enlace anterior.
2. Incorrecto.

entonces aunque sea conmutativo no se cumple para ningun caso?

[coquitao]

Sí, con conmutativo sí vale. Pero no recuerdo haber leído esa parte cuando estaba respondiendo.