Semana del 11 al 17 de Agosto, Sin solución publicada: 3, 4, 5, 6, 7 Opciones

[Rurouni Kenshin]

Desafio de la Semana
Sea un punto dentro de un triángulo tal que . Sean y los incentros de los triángulos y respectivamente. Demostrar que , , y son concurrentes.

Mucha suerte con este...yo lo resolvi cuando era chico...
y me senti muy feliz cuando me salio
Veamos como les va a ustedes.
Es un problema de Olimpiada Mundial...veamos como le iria a

[Rurouni Kenshin]

Problema 1
Estando algunas pilas de discos en una mesa, un movimiento admisible es elegir una pila, descartar uno de sus discos y dividir lo que resta de la pila en dos pilas no vacías, no necesariamente iguales.
Inicialmente hay sobre la mesa sólo una pila y ésta tiene 1000 discos. Determine si es posible, después de alguna sucesión de movimientos admisibles, llegar a una situación donde cada pila tenga exactamente 3 discos.

Una pista es pensar en paridad...que 1000 es par...y....
Mucha suerte..este es un buen problema para que lo intenten hacer los nuevos usuarios del foro
Veamos quien lo resuelve primero

[S. E. Puelma Moy...]

Problema 2: Sean , distintos. Supongamos que existen tales que:

Pruebe que

[S. E. Puelma Moy...]

Problema 3: La siguiente figura muestra el mapa de una pequeña ciudad (el norte está hacia arriba y el este, hacia la derecha).

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img260.imageshack.us/img260/9034/ciudadpacfica2ed.jpg');}" />

En esta ciudad no existen los medios de transporte. Todos los habitantes se mueven a pie y siempre con la misma rapidez. Además, se dan las siguientes situaciones:

• Los trazos negros representan calles
• Los cuadrados blancos representan manzanas residenciales, o de trabajo, etc
• Los cuadrados verdes representan parques
• El cuadrado amarillo representa el Parque Central (PC). Para todos los efectos, este parque es utilizado de la misma forma que todos los otros.
• El PC es limitado, en el lado norte, por la Avenida Principal (AP). Para todos los efectos, esta calle se utiliza de la misma forma que todas las otras.
• En la realidad, cada manzana es un cuadrado de lado

En la ciudad habitan tres tipos de personas: los ciudadanos pueden recorrer la ciudad como se les dé la gana (o sea como si estuvieran en un plano, pueden moverse en todas las direcciones, atravesar parques, zonas residenciales, etc). Los visitantes pueden moverse sólo por las calles y parques, aunque en los parques tienen plena libertad de movimiento. Los policías sólo pueden moverse por las calles. Cada persona pertenece a exactamente uno de estos tres tipos. Por lo demás, todas las calles permiten movimiento en los dos sentidos

1. Determine la distancia mínima que debe recorrer un habitante para ir de un punto rojo al otro. Separe en los tres casos posibles (ciudadano, visitante, policía)
2. Un ladrón se encuentra en el centro del PC (en el punto café). Frente a él, en la AP, hay un policía (en el punto azul), que lo quiere atrapar. El ladrón es un visitante. Pruebe que el policía tiene una estrategia tal que, si el ladrón llega a pararse en la AP, entonces el policía lo atrapa (encuentre la estrategia). Concluya que el ladrón no puede pasar hacia el norte de la AP sin ser atrapado.
3. En la situación recién descrita, pruebe que el ladrón puede visitar todos los lugares que están a su alcance, al sur de la AP, sin ser atrapado.

[Corecrasher]

El que debo y me gusto arto:

Problema 4
Un número natural es balanceado si tiene la misma cantidad de cifras que de divisores primos distintos. Por ejemplo, 20 es balanceado, pues tiene dos cifras y dos divisores primos distintos (2 y 5); 81 no es balanceado, pues tiene dos cifras y sólo un divisor primo (el 3); tampoco es balanceado el 60, pues tiene dos cifras y tres divisores primos distintos (2, 3 y 5).

Hallar un número balanceado de 6 cifras y determinar cuál es la máxima cantidad de cifras que puede tener un número balanceado.

[Caetano]

Problema 2: Sean a, b, c tres números reales distintos. Supongamos que existen x, y reales tales que:

a³+ax+y=0
b³+bx+y=0
c³+cx+y=0

Pruebe que a+b+c=0

Notemos que:
a³+ax+y=b³+bx+y
=>a³+ax=b³+bx
=>a³-b³=bx-ax
=>(a-b)(a^2+ab+b^2)=-x(a-b)
=>a^2+ab+b^2=-x ; con a distinto de b

Podemos hacer lo mismo con la segunda y tercera, obteniendo ke:

b^2+bc+c^2=-x^; con b distinto de c
=>a^2+ab+b^2=b^2+bc+c^2
=>a^2+ab=bc+c^2
=>a^2-c^2=bc-ab
=>(a+c)(a-c)=-b(a-c)
=>a+c=-b ; con a distinto de c (si a=b=c entonces para que a+b+c=0 los tres deben ser iguales a cero)
=>a+b+c=0

Saludos

[Fushigi-kun]

Problema 2: Sean a, b, c tres números reales distintos. Supongamos que existen x, y reales tales que:

a³+ax+y=0
b³+bx+y=0
c³+cx+y=0

Pruebe que a+b+c=0

Vaya... me ganaron... y yo que estaba tan feliz xq pensé q era el primero en resolverlo ... no importa, igual voy a poner mi solución:
a³+ax+y=0 ... (1)
b³+bx+y=0 ... (2)
c³+cx+y=0 ... (3)

Despejando y en la ecuación (3), tenemos y= -c³ - cx ... (4)
Reemplazando la ecuación (4) en la (2), tenemos:
b³ + bx - c³ - cx = 0
bx - cx = c³ - b³
(b-c)x = -(b-c)(b^2 +bc + c^2) /:(b-c)
x= -(b^2 + bc + c^2) ... (5)

Reemplazando las ecuaciones (4) y (5) en (1)
a³ - a(b^2 + bc + c^2) -c³ -cx =0 /como x=-(b^2 + bc + c^2)
a³ -ab^2 -abc -ac^2 -c³ +c(b^2 + bc + c^2) = 0
a³ -ab^2 -abc -ac^2 -c³ +b^2c +bc^2 +c³ = 0 /Reordenando términos y factorizando
a³ -(b^2 +bc +c^2)a +bc(c+b) = 0 /Factorizando
(a+b+c)(a-b)(a-c)=0

Tenemos las soluciones a-b=0 => a=b, pero se nos dice q a, b y c son disitintos, por lo tanto esta, y la solución a=c son descartadas, así finalmente nos queda la solución a+b+c=0

[S. E. Puelma Moy...]

Problema 5: Dados los dígitos , pruebe que existe un tal que , escrito en notación decimal, contiene un bloque de dígitos consecutivos, que al leerlos de izquierda a derecha, se obtiene

(por ejemplo, si los dígitos son , entonces podemos poner , porque )

Enuncie y demuestre el mismo resultado, pero cambiando el exponente 2 por un exponente , donde es un natural dado. Si puede, decida también si la base 10 es un dato relevante para el problema (dicho de otro modo, vea si el problema es generalizable a cualquier base )

[S. E. Puelma Moy...]

Problema 6: Todas las raíces del polinomio son reales positivas. Determine todos los valores posibles para .

[Animiko]

Problema 3: La siguiente figura muestra el mapa de la Ciudad Pacífica, donde consideramos que el norte está hacia arriba y el este, hacia la derecha.

Como la ciudad es chica, en ella no existen los medios de transporte. Todos los habitantes se mueven a pie y siempre con la misma rapidez. Además, se dan las siguientes situaciones:

• Los trazos negros representan calles
  
  
  
  
  
  
  
  
• Los cuadrados blancos representan manzanas residenciales, o de trabajo, etc
  
  
  
  
  
  
  
  
• Los cuadrados verdes representan parques
  
  
  
  
  
  
  
  
• El cuadrado amarillo representa el Parque Ciudadano de la Paz Mundial (PCPM), de gran importancia histórica. Fue fundado el 11 de Agosto de 1945 (hoy se cumplen 60 años desde su fundación). Para todos los efectos, este parque es utilizado de la misma forma que todos los otros.
  
  
  
  
  
  
  
  
• El PCPM es limitado, en el lado norte, por la Avenida de la Paz Mundial (APM). Para todos los efectos, esta calle se utiliza de la misma forma que todas las otras.
  
  
  
  
  
  
  
  
• En la realidad, cada manzana es un cuadrado de lado a

En la ciudad habitan tres tipos de personas: los ciudadanos pueden recorrer la ciudad como se les dé la gana (o sea como si estuvieran en un plano, pueden moverse en todas las direcciones, atravesar parques, zonas residenciales, etc). Los visitantes pueden moverse sólo por las calles y parques, aunque en los parques tienen plena libertad de movimiento. Los policías sólo pueden moverse por las calles. Cada persona pertenece a exactamente uno de estos tres tipos. Por lo demás, todas las calles permiten movimiento en los dos sentidos

1. Determine la distancia mínima que debe recorrer un habitante para ir de un punto rojo al otro. Separe en los tres casos posibles (ciudadano, visitante, policía)
   
   
   
   
   
   
   
   
2. Un ladrón se encuentra en el centro del PCPM (en el punto café). Frente a él, en la APM, hay un policía (en el punto azul), que lo quiere atrapar. El ladrón es un visitante. Pruebe que el policía tiene una estrategia tal que, si el ladrón llega a pararse en la APM, entonces el policía lo atrapa (encuentre la estrategia). Concluya que el ladrón no puede pasar hacia el norte de la APM sin ser atrapado.
   
   
   
   
   
   
   
   
3. En la situación recién descrita, pruebe que el ladrón puede visitar todos los lugares que están a su alcance, al sur de la APM, sin ser atrapado.

Solucion:



a)

*Ciudadano:

La distancia más corta entre un punto y otro es la línea recta. Esta diagonal puede ser descompuestas en 12 partes que serían las hipotenusas de triángulos rectángulos de lados a y 2a, como se muestra en la figura (no los dibuje todos xq me dio una paja enorme ).

Por Pitágoras la hipotenusa es:
a^2 + (2a)^2 = h^2
a^2 + 4a^2 = h^2
5a^2 = h^2
a√5=h

Como esta hipotenusa es una doceava parte de la diagonal, la distancia recorrida por un ciudadano sería:
12a√5


*Visitante:

Un visitante no puede atravesar diagonalmente las áreas blancas, pero sí las verdes (parques), como una diagonal implica moverse verticalmente (subir o bajar) y horizontalmente (derecha o izquierda) a la vez, el máximo número de diagonales que puede realizar un visitante es de 4 (correspondiente a la cantidad de parques que hay en sentido vertical entre ambos puntos) , no corresponde a 8 (cantidad de parques en sentido horizontal entre ambos puntos) ya que esta cantidad es mayor a la vertical y llegaría a los límites de la ciudad.

La diagonal descrita en un parque, por Pitágoras, es:
a^2+a^2=h^2
2a^2=h^2
a√2 = h

Como se muestra en la imagen puede recorrer 28a por la calle (24a-4a=20a en sentido horizontal y 12a-4a=8a en vertical) y (a√2)*4 por los parques, la suma de estas distancias sería:

28a + 4a√2 que sería la distancia mínima recorrida por un visitante.


*Policia:

El policía sólo puede moverse por las calles, es decir, solo en vertical o solo en horizontal, nunca en ambas, esto implica que la distancias más corta que puede recorrer sea:

Distancia horizontal entre ambos puntos + distancia vertical entre ambos puntos
24a + 12a = 36a

b)


La estrategia obvia del policía es seguir al ladrón sólo en dirección hoizontal, esto quiere decir, que nunca se moverá verticalmente, esto le asegura atrapar al ladrón si es que llega a APM ya que, como la rapidez de ambos es igual, el ladrón al moverse 'hipotéticamente' en diagonal (la unica forma que tendría de burlar al policía) llegaría despues que el policía a la APM, puesto que, el policía siempre estará a su altura (verticalmente hablando, es decir, en la misma linea) y su movimiento describiría un cateto del triangulo rectangulo que se forma entre el ladrón, el policía y el 'punto de llegada' , mientras que el movimiento del ladrón describiría la hipotenusa del triángulo, en todos los casos mayor a cualquiera de los 2 catetos.

No soy humanista, por lo tanto no redacto bien, pero en resumen es esto:
*El ladrón se mueve en vertical, el polícia se queda en su sitio
*El ladrón se mueve horizontalmente, el policía lo sigue horizontalmente
*El ladrón se mueve diagonalmente, el policía lo sigue horizontalmente

¿por que no se mueve verticalmente el policia?.... pongamos este caso:
*Inicialmente el ladrón está en el centro de la PCPM y se mueve a/2 hacia el oeste(llega a la calle), por lo tanto el policia se mueve a/2 al oeste (llega a la intersección de las calles).
*Luego el ladrón se mueve a/2 hacia el sur y llega a la intersección de las calles, el policía se movería a/2 al sur y quedaría en media cuadra.
*el ladrón hace la diagonal noreste por la PCPM y avanza a√2 , mientras que el policía debe devolverse a/2 al norte y luego moverse 'a' al este.

-El policía se movió '3a/2' para llegar a la intersección mientras que el ladrón solo avanzo 'a√2'..... √2<1,5 ==> el ladrón se escapó hacia el norte y sobrepasó la APM.

Luego edito el post y lo termino, de hecho lo tengo resuelto pero me estan mandando a acostarme.... mañana