Los 17 puntitos..., Resuelto por Zeus [medio] Opciones

[Rurouni Kenshin]

Se tienen 17 puntitos en el plano y se unen TODOS CON TODOS con uno de tres colores posibles,blanco,azul o rojo
(o sea dados dos de esos puntos...estos estaran necesariamente unidos por un color escogido dentro de 3 posibles).
Probar que existe siempre un triangulo con sus tres lados del mismo color...(sea como sean escogidos los colores de los segmentos)
Saludos
PD:Cuidado con decir que entonces dibujamos todos los segmentos rojos...y ya estaria listo...(en ese caso todos los triangulos nos sirven)
La idea es demostrar que sea cual sea la eleccion de colores..no importa que tan rebuscada sea...siempre existira el triangulito cuyos tres lados sean de un mismo color...
Por ultimo podria haber mas de un triangulo que cumpla lo pedido...pero solo se pide probar que al menos uno funciona.

[ZeuS]

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Si son puntos, entonces desde cada punto se trazaran segmentos de colores a los demas puntos.

Supongamos que desde un punto cualquiera salen segmentos de cada color, entonces habria segmentos coloreados en total, pero sabemos que se trazan segmentos, por lo tanto , por contradiccion, al menos un color se va a repetir al menos veces.

Entonces la demostracion se basara en esos segmentos particulares, para esto intentaremos no formar ningun triangulo de lados con colores iguales.

Sin perder la generalidad, pensemos que estos segmentos son de color rojo y se originan en un punto cualquiera (de los puntos involucrados en la proposicion) como se aprecia en la imagen.

Si son puntos, sin contar al punto , entonces desde cada punto se trazaran segmentos de colores a los demas puntos. Estos segmentos no podran ser rojos, porque de lo contrario se formaria un triangulo y particularizariamos un caso de muchos. Por lo tanto, los colores disponibles son Azul y Blanco (en la imagen de color verde).

Supongamos que desde un punto cualquiera , salen segmentos de cada uno de los dos colores disponibles, entonces habria segmentos coloreados en total, pero sabemos que se trazan , por lo tanto, por contradiccion, un color se va a repetir al menos veces. En la imagen solo se muestran estos segmentos particulares originados en .

Sin perder la generalidad, pensemos que estos segmentos particulares son de color blanco ( verde en la figura).

De estos segmentos, se descubren puntos distintos de . Como el enunciado dice que hay que unir los puntos todos con todos, entonces unimos estos tres puntos, originando segmentos del mismo color ( por la contradiccion hecha anteriormente), analicemoslos :

Si estos 3 segmentos fueran rojos, entonces se formarian al menos un triangulo con lados de color rojo. Asi se aprecia en la imagen.

Si estos 3 segmentos fueran blancos ( verdes en la figura), entonces se formarian al menos un triangulo con lados de color blanco. Asi se aprecia en la imagen.

Por lo tanto , no queda mas que asumir que estos tres segmentos deben ser del color sobrante, el azul. Al hacer esto, es inevitable la formacion de un triangulo con lados de color azul.

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Problema Probado!

[ZeuS]

Ya ... cabe destacar que los casos ennegrecidos son los unicos casos para evitar una pronta formacion de un triangulo con sus lados del mismo color, y para estos casos es necesario analizar los que sean del mismo color.

En realidad, en los otros casos, en el caso que los colores sean diferentes, necesariamente vamos a ocupar uno rojo ( y se forma un triangulo) , uno blanco ( y se forma un triangulo) y uno azul ...

Tambien existen otros casos, que dos colores sean iguales y el tercero sea diferente, por ejemplo dos colores rojos ( y se forman no solo uno, si no dos triangulos rojos) y uno azul...

Es por eso que no recalque esos caso en la solucion ... ya que desde un principio dije que ''intentariamos no formar el triangulo'' ...

Saludos ...

[Rurouni Kenshin]

Aca podemos ver que en el tercer nivel del cmat, se podrian haber inspirado en este problemita.....
http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=280...findpost&p=1464

Saludos

[S. E. Puelma Moy...]

De estos segmentos, se descubren   puntos distintos de . Como el enunciado dice que hay que unir los puntos todos con todos, entonces unimos estos tres puntos, originando segmentos del mismo color ( por la contradiccion hecha anteriormente), analicemoslos :

Si estos 3 segmentos fueran rojos, entonces se formarian al menos un triangulo con lados de color rojo. Asi se aprecia en la imagen.

Si estos 3 segmentos fueran blancos ( verdes en la figura), entonces se formarian al menos un triangulo con lados de color blanco. Asi se aprecia en la imagen.

Por lo tanto , no queda mas que asumir que estos tres segmentos deben ser del color sobrante, el azul. Al hacer esto, es inevitable la formacion de un triangulo con lados de color azul.

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Problema Probado!

Esta solución iba perfectamente bien, solamente hubiese pulido la conclusión, que es la parte citada. Ya teníamos que desde un punto tienen que partir seis segmentos rojos, y llamaremos a los otros extremos de esos segmentos rojos. Hemos distinguido , porque desde ese punto parten tres segmentos blancos (verdes en la figura) hacia puntos distintos. Aquí viene la conclusión

Los tres puntos deben estar unidos entre sí. Como se dijo antes, no podemos usar rojo. Por el mismo razonamiento, no podemos usar blanco (porque con formaríamos un triángulo con los tres lados del mismo color). La única opción es unir los tres puntos con azul, de este modo es inevitable formar un triángulo con los tres lados del mismo color.

Finalmente, se envía a la sección correspondiente (problemas resueltos)