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Propuesto II: Expresion, Parecido a un par de "clasicos" IMO

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2009, 02:18 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sean $TEX: $m,n$$ enteros positivos tales que $TEX: $mn$$ divide a $TEX: $m^2+n^2+1$$ . Probar que: $TEX: $\displaystyle \frac{m^2+n^2+1}{mn}=3$$ Hint: .... Vieta Jumping (haganle caso al snw, el cabro se maneja) Mensaje modificado por Kain #13 el Jun 1 2009, 05:25 PM -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

sí-sí el residen... sí-sí el residente Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2009, 10:42 PM Publicado: #2
Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010 Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 390 Registrado: 22-July 07 Desde: la granja Miembro Nº: 7.754 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Notar que si $TEX: $mn\|m^2+n^2+1$$ entonces $TEX: $mn\|(m^2+n^2+1)n$$ $TEX: $mn\|m^2n+n^3+n$$ $TEX: $mn\|n^3+n$$ $TEX: $mn\|n(n^2+1)$$ Aquí hay dos casos: 1) $TEX: $mn\|n$$ => $TEX: $m=1$$ luego reemplazando en la expresión orgininal $TEX: $n\|n^2+2$$ => $TEX: $n\|2$$ , por tanto $TEX: $n=2$$ Ahora $TEX: $\dfrac{m^2+n^2+1}{mn}=\dfrac{1^2+2^2+1}{2\cdot1}=\dfrac{6}{2}=3$$ Comprobando lo pedido 2) $TEX: $mn\|n^2+1$$ => $TEX: $mnk=n^2+1$$ esto es $TEX: $n^2-mnk+1=0$$ Luego sean $TEX: $n_1$ y $n_2$$ las raices de la ecucación, podemos ver que $TEX: $n_1 \cdot n_2=1$$ y como n es entero positivo, $TEX: $n_1=n_2=1$$ Luego $TEX: $n_1+n_2=mk$$ $TEX: $2=mk$$ Entonces $TEX: $m=1,2$$ Se nos forman dos pares m,n $TEX: (1,1) y (2,1)$ Ya vimos que el par (2,1) me da el valor tres de le expresión, ahora veamos el (1,1) $TEX: $\dfrac{m^2+n^2+1}{mn}=\dfrac{1^2+1^2+1}{1\cdot 1}=3$$ Comprobando lo pedido -------------------- ...

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2009, 10:58 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(sí-sí el residente @ May 30 2009, 12:42 AM) Notar que si $TEX: $mn\|m^2+n^2+1$$ entonces $TEX: $mn\|(m^2+n^2+1)n$$ $TEX: $mn\|m^2n+n^3+n$$ $TEX: $mn\|n^3+n$$ $TEX: $mn\|n(n^2+1)$$ Aquí hay dos casos: 1) $TEX: $mn\|n$$ => $TEX: $m=1$$ luego reemplazando en la expresión orgininal ese paso lo encuentro cuestionable, por ejemplo $TEX: $6=2\cdot 3\|3(3^2+1)$$ pero no se cumple lo que tu pusiste saludos -------------------- blep

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 30 2009, 06:22 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Tal como señalo el Matias, la solucion es incorrecta Tu señalas que $TEX: $mn$$ divide a $TEX: $m^2+n^2+1$$ => $TEX: $mn$$ divide a $TEX: $m^2n+n^3+n$$ , pero el reciproco de esta implicancia no es siempre correcto (como podemos ver en el ejemplo de Matias). Saludos, y a seguir trabajando -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

sí-sí el residen... sí-sí el residente Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 30 2009, 09:18 PM Publicado: #5
Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010 Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 390 Registrado: 22-July 07 Desde: la granja Miembro Nº: 7.754 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	aaa, me confundi al aplicar que si $TEX: $a\|b+c$ y $a\|b$ entonces $a\|c$$ Luego de ahí se tiene que $TEX: $mn\|n^3+n$$ Pero al hacer esto, asumo que si $TEX: $a\|bc$ entonces $a\|b$$ cosa q no siempre se cumple -------------------- ...

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2009, 05:20 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	hay un método que se utiliza comúnmente para hacer este tipo de "clásicos" IMO, se llama algo asi "vieta jumping" aunque no he visto la solución de este problema, hay muchos parecidos que se hacen con esto. saludos, si encuentro la solución la posteo, pero por lo meno busquen algo acerca de este método que es bastante útil -------------------- blep

Prince Loryn Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2009, 09:04 PM Publicado: #7
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 26 Registrado: 1-November 08 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 37.535 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Tomando las recomendaciones... Sea $TEX: $\dfrac{{{m^2} + {n^2} + 1}}{{mn}} = k$$ $TEX: $(k \in N)$$ Se fija $TEX: $k$$ y se consideran todos los pares $TEX: $(m,n)$$ que satisfagan la ecuación es decir: $TEX: $S = \left\{ {\left( {m,n} \right) \in {N^2}\|\dfrac{{{m^2} + {n^2} + 1}}{{mn}} = k} \right\}$$ Sea $TEX: $(M,N) \in S$$ un para que minimize la suma $TEX: $m+n$$ . Sin pérdida de la generalidad asumamos que $TEX: $M > N \ge 1$$ Luego consideremos la ecuación: $TEX: $\dfrac{{{x^2} + {N^2} + 1}}{{xN}} = k$$ es decir $TEX: ${x^2} - Nkx + {N^2} + 1 = 0$$ Notar que una de las raíces de la ecuación es $TEX: $x_1=M$$ la otra se obtiene por las relaciones de las raíces de la ecuación cuadrática es decir $TEX: ${x_2} = Nk - M = \dfrac{{{N^2} + 1}}{M}$$ lo que implica que $TEX: $x_2$$ es un número natural. Luego por que $TEX: $M+N$$ es un mínimo concluimos que $TEX: $M \le \dfrac{{{N^2} + 1}}{M}$$ Lo cual implica que: $TEX: $M^2 \le N^2+1$$ Pero como $TEX: $M>N \ge 1$$ implica que $TEX: $M \ge N+1$$ luego $TEX: $M^2 \ge N^2+2N +1 > N^2+1$$ Lo cual es una contradicción. Entonces $TEX: $M=N$$ y luego tenemos que: $TEX: ${M^2}\|2{M^2} + 1$$ . De aquí se concluye que $TEX: $M^2\|1$$ y entonces $TEX: $M=N=1$$ . Lo cual cumple que: $TEX: $\dfrac{{{M^2} + {N^2} + 1}}{{MN}} = 3$$ PD: Me pareció muy buena esa técnica del "Vieta Jumping" -------------------- Aquiles Esquivel Medrazo Estudiante Cursando 7º Básico

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2009, 10:57 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Prince Loryn @ Jun 1 2009, 11:04 PM) Tomando las recomendaciones... Sea $TEX: $\dfrac{{{m^2} + {n^2} + 1}}{{mn}} = k$$ $TEX: $(k \in N)$$ Se fija $TEX: $k$$ y se consideran todos los pares $TEX: $(m,n)$$ que satisfagan la ecuación es decir: $TEX: $S = \left\{ {\left( {m,n} \right) \in {N^2}\|\dfrac{{{m^2} + {n^2} + 1}}{{mn}} = k} \right\}$$ Sea $TEX: $(M,N) \in S$$ un para que minimize la suma $TEX: $m+n$$ . Sin pérdida de la generalidad asumamos que $TEX: $M > N \ge 1$$ Luego consideremos la ecuación: $TEX: $\dfrac{{{x^2} + {N^2} + 1}}{{xN}} = k$$ es decir $TEX: ${x^2} - Nkx + {N^2} + 1 = 0$$ Notar que una de las raíces de la ecuación es $TEX: $x_1=M$$ la otra se obtiene por las relaciones de las raíces de la ecuación cuadrática es decir $TEX: ${x_2} = Nk - M = \dfrac{{{N^2} + 1}}{M}$$ lo que implica que $TEX: $x_2$$ es un número natural. Luego por que $TEX: $M+N$$ es un mínimo concluimos que $TEX: $M \le \dfrac{{{N^2} + 1}}{M}$$ Lo cual implica que: $TEX: $M^2 \le N^2+1$$ Pero como $TEX: $M>N \ge 1$$ implica que $TEX: $M \ge N+1$$ luego $TEX: $M^2 \ge N^2+2N +1 > N^2+1$$ Lo cual es una contradicción. Entonces $TEX: $M=N$$ y luego tenemos que: $TEX: ${M^2}\|2{M^2} + 1$$ . De aquí se concluye que $TEX: $M^2\|1$$ y entonces $TEX: $M=N=1$$ . Lo cual cumple que: $TEX: $\dfrac{{{M^2} + {N^2} + 1}}{{MN}} = 3$$ PD: Me pareció muy buena esa técnica del "Vieta Jumping" la solución es correcta pero al final justificaría por que m^2\|1, lo cual es claro porque 2m^2+1 es coprimo con m^2 pero hay que convencer a los incrédulos saludos -------------------- blep

iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 9 2009, 06:04 PM Publicado: #9
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	al qe le interese mas esta tecnica hay un pdf en una pagina qe se llama mathematical reflections, el link es el siguiente http://reflections.awesomemath.org/2007_5/vieta_jumping.pdf, la solucion mostrada es bastante similar a la del pdf... me gustaria recalcar qe aparece un problema de la imo de 2007 en vietnam a la cual me toco ir y no me salio hahaha no sabia esta tecnica... pero en fin, nunca es tarde para aprender -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 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Diego Navarro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2011, 11:27 AM Publicado: #10
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 61 Registrado: 8-May 10 Miembro Nº: 70.464 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Estaba mirando este problema y me di cuenta qe esta malo solo un ejemplo (m,n)=(2,1) cumple, entonces no implica que m=n, por lo tanto la respuesta expuesta esta mala, la verdadera respuesta son (1,1) y $TEX: $\ (F_{2n+1},F_{2n-1}) $$ sonde F_k es el k-esimo término de la sucecion de fibonacci, los cuales cumplen que $TEX: $ \dfrac{F_{2n+1}^2+F_{2n-1}^2 +1}{F_{2n+1}F_{2n-1}} =3 $$

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