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Otro para entretenerse, integral doble

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nvt Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 26 2009, 11:51 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 156 Registrado: 28-March 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 18.274 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola, $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaqGtb<br />% GaaeyzaiaabggacaqGGaGaamOzaiaacQdacqWIDesOdaahaaWcbeqa<br />% aiaaikdaaaGccqGHsgIRcqWIDesOcaGGUaGaaeiiaiaabcfacaqGHb<br />% GaaeOCaiaabggacaqGGaGaaeyzaiaabYgacaqGSbGaaeyyaiaabcca<br />% caqGKbGaaeyzaiaabAgacaqGPbGaaeOBaiaabggacaqGGaGaaeyzai<br />% aabYgacaqGGaGaae4CaiaabwhacaqGIbGaae4yaiaab+gacaqGUbGa<br />% aeOAaiaabwhacaqGUbGaaeiDaiaab+gacaqGGaGaeuyQdCLaaeikai<br />% aadAgacaGGSaGaamOuamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaacYcacaWG<br />% sbWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaaiykaiaabccacaqGKbGaaeyzai<br />% aabccacqWIDesOdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaqGGaGaae4Caiaa<br />% bwgacaqGNbGaaeO+aiaab6gaaeaacqqHPoWvcaGGOaGaamOzaiaacY<br />% cacaWGsbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaiilaiaadkfadaWgaaWc<br />% baGaaGOmaaqabaGccaGGPaGaaiOoaiabg2da9iaabseacaqGVbGaae<br />% yBaiaacIcacaWGMbGaaiykaiablMIijnaacmaabaWaa8HaaeaacaWG<br />% 4baacaGLxdcacaGG8bGaamOuamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiabgs<br />% MiJoaafmaabaWaa8HaaeaacaWG4baacaGLxdcaaiaawMa7caGLkWoa<br />% cqGHKjYOcaWGsbWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaaGccaGL7bGaayzFaa<br />% GaaeilaiaabccacaqGKbGaae4Baiaab6gacaqGKbGaaeyzaiaabcca<br />% caWGsbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaeiiaiaabMhacaqGGaGaam<br />% OuamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiaabccacaqGZbGaae4Baiaab6ga<br />% caqGGaGaaeOBaiaabQpacaqGTbGaaeyzaiaabkhacaqGVbGaae4Caa<br />% qaaiaabkhacaqGLbGaaeyyaiaabYgacaqGLbGaae4CaiaabccacaqG<br />% WbGaae4BaiaabohacaqGPbGaaeiDaiaabMgacaqG2bGaae4Baiaabo<br />% hacaqGSaGaaeiiaiaabogacaqGVbGaaeOBaiaabccacaWGsbWaaSba<br />% aSqaaiaaigdaaeqaaOGaeyizImQaamOuamaaBaaaleaacaaIYaaabe<br />% aakiaac6cacaqGGaGaaeyqaiaabsgacaqGLbGaaeyBaiaabgoacaqG<br />% ZbGaaeilaiaabccacaqGJbGaae4Baiaab6gacaqGZbGaaeyAaiaabs<br />% gacaqGLbGaaeOCaiaabwgacaqGGaGaamOzaiaacIcadaWhcaqaaiaa<br />% dIhaaiaawEniaiaacMcacqGH9aqpcaWGLbWaaWbaaSqabeaacqGHsi<br />% sldaqbdaqaamaaFiaabaGaamiEaaGaay51GaaacaGLjWUaayPcSdWa<br />% aWbaaWqabeaacaaIYaaaaaaaaOqaaiaadggacaGGPaGaaeiiaiaabo<br />% eacaqGHbGaaeiBaiaabogacaqG1bGaaeiBaiaabwgacaqGGaWaa8Ge<br />% aeaacaWGMbGaaiikamaaFiaabaGaamiEaaGaay51GaGaaiykaiaads<br />% gacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaamizaiaadIhadaWgaaWc<br />% baGaaGOmaaqabaaabaGaeuyQdCLaaeikaiaadAgacaGGSaGaamOuam<br />% aaBaaameaacaaIXaaabeaaliaacYcacaWGsbWaaSbaaWqaaiaaikda<br />% aeqaaSGaaiykaaqab0Gaey4kIiVaey4kIipaaOqaaiaadkgacaGGPa<br />% Gaaeiiaiaab+eacaqGIbGaaeiDaiaabwgacaqGUbGaae4zaiaabgga<br />% caqGGaGaaeyDaiaab6gacaqGHbGaaeiiaiaabwgacaqG4bGaaeiCai<br />% aabkhacaqGLbGaae4CaiaabMgacaqGZdGaaeOBaiaabccacaqGWbGa<br />% aeyyaiaabkhacaqGHbGaaeiiamaapibabaWaauWaaeaadaWhcaqaai<br />% abgEGirdGaay51GaGaciiBaiaac6gacaWGMbGaaiikamaaFiaabaGa<br />% amiEaaGaay51GaGaaiykaaGaayzcSlaawQa7aiaadsgacaWG4bWaaS<br />% baaSqaaiaaigdaaeqaaOGaamizaiaadIhadaWgaaWcbaGaaGOmaaqa<br />% baaabaGaeuyQdCLaaeikamaafmaabaWaa8HaaeaacqGHhis0aiaawE<br />% niaiGacYgacaGGUbGaamOzaiaacIcadaWhcaqaaiaadIhaaiaawEni<br />% aiaacMcaaiaawMa7caGLkWoacaGGSaGaamOuamaaBaaameaacaaIXa<br />% aabeaaliaacYcacaWGsbWaaSbaaWqaaiaaikdaaeqaaSGaaiykaaqa<br />% b0Gaey4kIiVaey4kIipaaOqaaiaahofacaWH1bGaaC4zaiaahwgaca<br />% WHYbGaaCyzaiaah6gacaWHJbGaaCyAaiaahggacaGG6aGaaeiiaiaa<br />% hwhacaWHZbGaaCyzaiaabccacaWHJbGaaC4Baiaah+gacaWHYbGaaC<br />% izaiaahwgacaWHUbGaaCyyaiaahsgacaWHHbGaaC4CaiaabccacaWH<br />% WbGaaC4BaiaahYgacaWHHbGaaCOCaiaahwgacaWHZbGaaeiiaiaahw<br />% gacaWHUbGaaeiiaiabl2riHoaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaac6ca<br />% aaaa!7321!<br />\[\begin{gathered}<br /> {\text{Sea }}f:{\mathbb{R}^2} \to \mathbb{R}.{\text{ Para ella defina el subconjunto }}\Omega {\text{(}}f,{R_1},{R_2}){\text{ de }}{\mathbb{R}^2}{\text{ seg\'u n}} \hfill \\<br /> \Omega (f,{R_1},{R_2}): = {\text{Dom}}(f) \cap \left\{ {\overrightarrow x \|{R_1} \leqslant \left\\| {\overrightarrow x } \right\\| \leqslant {R_2}} \right\}{\text{, donde }}{R_1}{\text{ y }}{R_2}{\text{ son n\'u meros}} \hfill \\<br /> {\text{reales positivos}}{\text{, con }}{R_1} \leqslant {R_2}.{\text{ Adem\'a s}}{\text{, considere }}f(\overrightarrow x ) = {e^{ - {{\left\\| {\overrightarrow x } \right\\|}^2}}} \hfill \\<br /> a){\text{ Calcule }}\iint_{\Omega {\text{(}}f,{R_1},{R_2})} {f(\overrightarrow x )d{x_1}d{x_2}} \hfill \\<br /> b){\text{ Obtenga una expresi\'o n para }}\iint_{\Omega {\text{(}}\left\\| {\overrightarrow \nabla \ln f(\overrightarrow x )} \right\\|,{R_1},{R_2})} {\left\\| {\overrightarrow \nabla \ln f(\overrightarrow x )} \right\\|d{x_1}d{x_2}} \hfill \\<br /> {\mathbf{Sugerencia}}:{\text{ }}{\mathbf{use}}{\text{ }}{\mathbf{coordenadas}}{\text{ }}{\mathbf{polares}}{\text{ }}{\mathbf{en}}{\text{ }}{\mathbb{R}^2}. \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Salu2 -------------------- Estudiante de tercer año de Ingeniería Civil en Computación e Informática, Universidad Andrés Bello.

Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 16 2009, 01:18 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: <br /><br />(a)<br /><br />$ \displaystyle \iint_{\Omega} f \left( \overrightarrow{x} \right) dA = \iint_{\Omega} e^{-(x^2+y^2)} dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{R_{1}}^{R_{2}} r \cdot e^{-r^2} drd\theta = \pi \left( e^{-R_{1}^2} - e^{-R_{2}^2} \right) $<br /><br />\vspace{1cm}<br /><br /><br />(b)<br /><br />$\displaystyle f \left( \overrightarrow{x} \right) = e^{-(x^2+y^2)} $<br /><br />$\displaystyle \ln \left( f \left( \overrightarrow{x} \right) \right) = -(x^2+y^2) $<br /><br />$\displaystyle \nabla \left[ \ln \left( f \left( \overrightarrow{x} \right) \right) \right] = -2(x,y) $<br /><br />$\displaystyle \\| \nabla \left[ \ln \left( f \left( \overrightarrow{x} \right) \right) \right] \\| = 4\sqrt{x^2+y^2} \vspace{7mm} $<br /><br /><br />Finalmente:<br /><br />$ \displaystyle \iint_{\Omega} \\| \nabla \left[ \ln \left( f \left( \overrightarrow{x} \right) \right) \right] \\| dA = 2 \iint_{\Omega} \sqrt{x^2+y^2} dA $<br /><br />$ \displaystyle \iint_{\Omega} \\| \nabla \left[ \ln \left( f \left( \overrightarrow{x} \right) \right) \right] \\| dA = 2 \int_{0}^{2\pi} \int_{R_{1}}^{R_{2}} r^2 drd\theta $<br /><br />$ \displaystyle \iint_{\Omega} \\| \nabla \left[ \ln \left( f \left( \overrightarrow{x} \right) \right) \right] \\| dA = \frac{4\pi}{3} \left( R_{2}^3 - R_{1}^3 \right) $<br /><br /><br />$

nvt Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 10 2009, 08:51 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 156 Registrado: 28-March 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 18.274 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Correcto -------------------- Estudiante de tercer año de Ingeniería Civil en Computación e Informática, Universidad Andrés Bello.

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