Prueba por equipos, todos los niveles

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Prueba por equipos, todos los niveles, Elementos de teoría de números

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S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 9 2005, 05:05 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Les regalo esta prueba por equipos, donde se habla de algunos elementos básicos de la teoría de números, como la divisibilidad (concepto básico), los números primos... también veremos una fórmula para contar los divisores de un número Disfruten este material PRUEBA POR EQUIPOS, TODOS LOS NIVELES Definición: Un número natural $TEX: $a$$ se dice divisor del natural $TEX: $c$$ si existe un natural $TEX: $b$$ tal que $TEX: $c=a\cdot b$$ Observamos que también $TEX: $b$$ es un divisor de $TEX: $c$$ Por ejemplo, 2 es divisor de 6 pues $TEX: $6=2\cdot 3$$ . De la misma forma, 3 es divisor de 6. Definición: Un número natural $TEX: $p\geq 2$$ se dirá un número primo si sus únicos divisores son 1 y $TEX: $p$$ . Cuando $TEX: $p\geq 2$$ no es primo, se dice que es un número compuesto Por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 y 31 son números primos, y 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 y 32 son números compuestos Es claro que todo número natural, mayor o igual que 2, es primo o compuesto, y lo que uno debería esperar es que todo número se descompusiera en producto de números primos. De hecho este es un resultado conocido como: Teorema Fundamental de la Aritmética Sea $TEX: $n>1$$ un numero natural. Entonces existen números primos $TEX: $p_1,p_2,...,p_r$$ y números enteros positivos $TEX: $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$$ tales que $TEX: $n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot...\cdot p_r^{\alpha_r}$$ donde $TEX: $p_1<p_2<...<p_r$$ Ejemplo: $TEX: $5544=2^3\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11$$ Parte A Determine siete números naturales distintos, mayores o iguales que 33, tal que la cantidad de divisores de estos números sea igual a 2 Determine siete números naturales distintos, mayores que 33, tal que la cantidad de divisores de estos números sea igual a 4 Encuentre la cantidad de divisores de los siguientes números. $TEX: $2^3$$ $TEX: $2^7$$ $TEX: $2^{12}$$ $TEX: $2^{2005}$$ $TEX: $2\cdot 3^2$$ $TEX: $2^2\cdot 3^3$$ $TEX: $2^5\cdot 3^4$$ $TEX: $2^{2005}\cdot 3^{1983}$$ $TEX: $2\cdot 3^2\cdot 5^2$$ $TEX: $2^3\cdot 3\cdot 5^2$$ $TEX: $2^4\cdot 3^3\cdot 5^2$$ $TEX: $2^{1983}\cdot 3^{2005}\cdot 5^{1985}$$ Determine dos números naturales que tengan seis divisores, y que además sean múltiplos de 6 Demuestre que: Si la cantidad de divisores de un número es igual a 2, entonces el número es primo Si un número tiene tres divisores, entonces ese número es el cuadrado de un número primo Se sabe que el número 48 es múltiplo de 6 y tiene diez divisores. Encuentre otro número con ambas propiedades. Se define $TEX: $d(n)$$ como la cantidad de divisores del número $TEX: $n$$ . Pruebe que, si $TEX: $n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot...\cdot p_r^{\alpha_r}$$ entonces: $TEX: $d(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_r+1)$$ Indicación: Pruebe con números pequeños y generalice Aplicaciones Determine todos los naturales $TEX: $n$$ , múltiplos de 42, tales que $TEX: $d(n)=42$$ Pruebe que, si $TEX: $n$$ es el cuadrado de un natural, entonces $TEX: $d(n)$$ es impar Dos números naturales: $TEX: $m,n$$ , se dicen coprimos si no tienen divisores comunes (aparte del 1). Pruebe que, si $TEX: $m,n$$ son coprimos, entonces $TEX: $d(m\cdot n)=d(m)\cdot d(n)$$ Parte B Determinen todos los números primos menores que 300 Se sabe que la ecuación $TEX: $ax^2+bx-3=0$$ tiene por solución a $TEX: $x=-1$$ , y además que $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ son primos. ¿Cuál es el valor de $TEX: $a^2+b^2$$ ? La suma de dos números primos: $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ , es 34, y la suma de dos números primos: $TEX: $a$$ y $TEX: $c$$ , es 33. ¿Cuánto vale $TEX: $a+b+c$$ ? Determinen todos los números naturales $TEX: $a,b$$ , tales que $TEX: $17=(a-b)(a+b)$$ Determinen todos los números naturales $TEX: $a,b$$ , tales que $TEX: $17=a^2-b^2$$ Encuentre todos los números naturales $TEX: $x<y<z$$ tales que: $TEX: \begin{eqnarray}<br />xyz & = & 684 \\<br />x+y+z & = & 65<br />\end{eqnarray}$ Determine los pares $TEX: $x,y$$ de naturales que cumplen que $TEX: $x^2-y^2$$ es múltiplo de 6 y tiene seis divisores. Si $TEX: $p,q$$ son naturales tales que $TEX: $2^p+1=q^2$$ , pruebe que $TEX: $p=q=3$$ Sea $TEX: $p$$ un entero. Determine todos los enteros $TEX: $k$$ tales que $TEX: $\sqrt{k^2-kp}$$ es un natural. 1º medio: A1, A3(a-h), A4, B1, B2, B3, B4 2º medio: A2, A3(a-h), A5, A6, B2, B5, B6 3º medio: A3(e-l), A7, Aplicaciones (1, 2, 3), B7, B8 4º medio: A3(e-l)*, A7, Aplicaciones (1, 2), B8, B9 los ejercicios a, b, c, e, f piden dar la lista de divisores ** los ejercicios e, f, i piden dar la lista de divisores -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT