Factorización de una Matriz.

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Factorización de una Matriz.

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Juveteku Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 13 2009, 01:59 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 28 Registrado: 1-September 08 Desde: Conchalí Miembro Nº: 33.587 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Demostrar que si $A$ es una matriz cuadrada, $n \times n$, de rango $n$, entonces $e^{At}=Se^{Lt} S^{-1}$, donde $S$ es la matriz de vectores propios de $A$, $L$ es una matriz diagonal, y $t$ es un parametro (tiempo).$

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 4 2015, 10:01 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Juveteku @ Apr 13 2009, 02:59 PM) $TEX: Demostrar que si $A$ es una matriz cuadrada, $n \times n$, de rango $n$, entonces $e^{At}=Se^{Lt} S^{-1}$, donde $S$ es la matriz de vectores propios de $A$, $L$ es una matriz diagonal, y $t$ es un parametro (tiempo).$ $TEX: \noindent Es necesario suponer que $A$ es diagonalizable. Luego, $A=SLS^{-1}$, donde $L$ es la matriz diagonal de los valores propios de $A$ y $S$ es la matriz que en la columna i-ésima tiene un vector propio asociado al valor propio en la columna i-ésima de $L$.<br /><br />Notar que <br />\begin{align}<br />A^n&=(SLS^{-1})^n\\<br />&=(SLS^{-1})(SLS^{-1})\displaystyle\underset{n\text{ veces}}{\ldots\ldots }(SLS^{-1})\\<br />&=SL(S^{-1}S)L(S^{-1}S)\displaystyle\ldots(S^{-1}S)LS^{-1}\\<br />&=SL^nS^{-1}<br />\end{align}<br />y así, $(At)^n=S(Lt)^nS^{-1}$, y por lo tanto:<br />\begin{align}<br />\mathrm{e}^{At}&=I+At+A^2\frac{t^2}{2!}+\ldots+A^n\frac{t^n}{n!}+\ldots\\<br />&=I+SLtS^{-1}+\frac{S(Lt)^2S^{-1}}{2!}+\ldots+\frac{S(Lt)^nS^{-1}}{n!}+\ldots\\<br />&=S\left(I+Lt+\frac{(Lt)^2}{2!}+\ldots+\frac{(Lt)^n}{n!}+\ldots\right)S^{-1}\\<br />&=Se^{Lt} S^{-1}<br />\end{align}<br />$ -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2015, 08:48 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: La matriz<br />$A = \begin{pmatrix}<br />1 & 1\\<br />0 & 1\\<br />\end{pmatrix} $ es de orden 2 y rango 2, pero no es diagonalizable.<br /><br /><br />$

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2015, 01:06 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	CITA(nmg1302 @ May 5 2015, 09:48 AM) $TEX: La matriz<br />$A = \begin{pmatrix}<br />1 & 1\\<br />0 & 1\\<br />\end{pmatrix} $ es de orden 2 y rango 2, pero no es diagonalizable.<br />$ Corrijo en mi demo. El tema es que en el enunciado falta que $TEX: $A$$ sea diagonalizable, de lo contrario $TEX: $S$$ es singular y $TEX: $S^{-1}$$ no está definida. -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

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