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Calculo Demostraciones, Maldito ejercicio help

hellvier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 9 2009, 02:07 AM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 9-April 09 Miembro Nº: 47.613 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	si X,Y,Z perteneces a los reales demostrar que (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) Mayor o igual a 9

danielomalmsteen Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 9 2009, 06:28 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.413 Registrado: 13-March 08 Desde: Al frente del mundo Magico Miembro Nº: 16.846 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	HINT: $TEX: \[<br />{\text{MA}} \geqslant {\text{MH}}<br />\]<br />$ --------------------

xdanielx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 9 2009, 04:41 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 3.360 Registrado: 11-March 08 Miembro Nº: 16.617	por cauchy $TEX: $$<br />\left( {\sqrt x ^2 + \sqrt y ^2 + \sqrt z ^2 } \right)\left( {\sqrt {\frac{1}<br />{x}} ^2 + \sqrt {\frac{1}<br />{y}} ^2 + \sqrt {\frac{1}<br />{z}} ^2 } \right) \geqslant \left( {\sqrt x \cdot \sqrt {\frac{1}<br />{x}} + \sqrt y \cdot \sqrt {\frac{1}<br />{y}} + \sqrt z \cdot \sqrt {\frac{1}<br />{z}} } \right)^2 <br />$$$ $TEX: $$<br />\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}<br />{x} + \frac{1}<br />{y} + \frac{1}<br />{z}} \right) \geqslant \left( 3 \right)^2 = 9<br />$$$

Killer_Instint Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 9 2009, 05:09 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.189 Registrado: 17-September 08 Desde: chernobyl Miembro Nº: 34.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(danielomalmsteen @ Apr 9 2009, 07:28 AM) HINT: $TEX: \[<br />{\text{MA}} \geqslant {\text{MH}}<br />\]<br />$ Sigue siendo valida la desigualdad de medias para todos los reales??? -------------------- Estudiante II año de Ingenieria Civil en Obras Civiles - UACh $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \underline {{\text{Algunas Constantes}}} {\text{:}} \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Catalan : }}G = \sum\limits_{K = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^k }}<br />{{\left( {2k + 1} \right)^2 }}} {\text{ }}\left( {{\text{no demostrado}}} \right) \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Liouville: }}\sum\limits_{k = 0}^\infty {10^{ - k} } = 0,1100010000000000.. \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Hilbert: }}\sqrt 2 ^{\sqrt 2 } \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Euler}} - {\text{Mascheroni: }}\gamma = 0,577215...({\text{no demostrado)}} \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Morse}} - {\text{Thue: 0}}{\text{,01101001}}... \hfill \\<br /> \bullet {\text{ }}i^i = 0,207879576..... \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Copeland}} - {\text{Erdos: 0}}{\text{,23571113171923}}... \hfill \\<br /> \bullet {\text{ }}\pi = 3,14159265... \hfill \\<br /> \bullet {\text{ }}e = 2,71828183.... \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$

Bel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2012, 01:42 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 269 Registrado: 3-June 09 Miembro Nº: 53.075 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(danielomalmsteen @ Apr 9 2009, 07:28 AM) HINT: $TEX: \[<br />{\text{MA}} \geqslant {\text{MH}}<br />\]<br />$ Coomo? no caxe el hint, algun consejo para demostrarlo sin usar Cauchy??

danielxbeats Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2012, 01:47 PM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 171 Registrado: 2-July 11 Miembro Nº: 91.387 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Bel @ Apr 8 2012, 02:42 PM) Coomo? no caxe el hint, algun consejo para demostrarlo sin usar Cauchy?? es obvio que x.y.z deben ser reales positivos pues sino no se cumple (probar con (x,y,z)=(-1000,1,1)) entonces es valido usar la desigualdad entre las medias, $TEX: $$<br />\frac{{x + y + z}}<br />{3} \geqslant \frac{3}<br />{{\frac{1}<br />{x} + \frac{1}<br />{y} + \frac{1}<br />{z}}}<br />$$$ saludos -------------------- Pasión por los números Estudiante 4to año Ingeniería Civil en Obras Civiles $TEX: $$<br />\int_0^1 {\int_0^1 {\int_0^1 {...\int_0^1 {\frac{{dx_1 dx_2 dx_3 ...dx_n }}<br />{{1 - x_1 x_2 x_3 ...x_n }} = \zeta } } } } \left( n \right)<br />$$$ $TEX: $$\int_{0}^{1}x^{x}dx=-\sum_{n=1}^{+\infty }\left (-n \right )^{-n}$$$ $TEX: $$\int_{0}^{1}x^{-x}dx=\sum_{n=1}^{+\infty }n^{-n}$$$

Bel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2012, 02:47 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 269 Registrado: 3-June 09 Miembro Nº: 53.075 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(danielxbeats @ Apr 8 2012, 02:47 PM) es obvio que x.y.z deben ser reales positivos pues sino no se cumple (probar con (x,y,z)=(-1000,1,1)) entonces es valido usar la desigualdad entre las medias, $TEX: $$<br />\frac{{x + y + z}}<br />{3} \geqslant \frac{3}<br />{{\frac{1}<br />{x} + \frac{1}<br />{y} + \frac{1}<br />{z}}}<br />$$$ saludos Pero como justifico este paso, tengo que demostrarlo, porque si es asi no me sale u.u

Bel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2012, 02:52 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 269 Registrado: 3-June 09 Miembro Nº: 53.075 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Bel @ Apr 8 2012, 03:47 PM) Pero como justifico este paso, tengo que demostrarlo, porque si es asi no me sale u.u Mi profesor me sugirio usar que : $TEX: $\left( \displaystyle \frac{a}{b}+\displaystyle \frac{b}{a} \right)\ge 2$$ Mensaje modificado por Bel el Apr 8 2012, 02:53 PM

danielxbeats Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2012, 03:06 PM Publicado: #9
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 171 Registrado: 2-July 11 Miembro Nº: 91.387 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Bel @ Apr 8 2012, 03:52 PM) Mi profesor me sugirio usar que : $TEX: $\left( \displaystyle \frac{a}{b}+\displaystyle \frac{b}{a} \right)\ge 2$$ es las clasicas desigualdades entre las medias, la demostracion creo que esta aca mismo, enfin existen varias formas de abordar esto es muy simple, cmo dices considera lo que dijo tu profesor en todas tus combinaciones y sumalo $TEX: $$\frac{{y + z}}{x} + \frac{{x + z}}{y} + \frac{{x + y}}{z} \geqslant 6$$$ ahora suma +3 en ambos lados de la desigualdad $TEX: $$\frac{{y + z}}{x} + 1 + \frac{{x + z}}{y} + 1 + \frac{{x + y}}{z} + 1 \geqslant 9$$$ $TEX: $$<br />\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}<br />{x} + \frac{1}<br />{y} + \frac{1}<br />{z}} \right) = \frac{{x + y + z}}<br />{x} + \frac{{x + y + z}}<br />{y} + \frac{{x + y + z}}<br />{z} \geqslant 9<br />$$<br />$ ahora si quieres probar lo de tu profesor considera que siempre se tendra para todo numero real no negativo $TEX: $$<br />\left( {\sqrt {\frac{x}<br />{y}} - \sqrt {\frac{y}<br />{x}} } \right)^2 \geqslant 0<br />$$$ expande eso y veras -------------------- Pasión por los números Estudiante 4to año Ingeniería Civil en Obras Civiles $TEX: $$<br />\int_0^1 {\int_0^1 {\int_0^1 {...\int_0^1 {\frac{{dx_1 dx_2 dx_3 ...dx_n }}<br />{{1 - x_1 x_2 x_3 ...x_n }} = \zeta } } } } \left( n \right)<br />$$$ $TEX: $$\int_{0}^{1}x^{x}dx=-\sum_{n=1}^{+\infty }\left (-n \right )^{-n}$$$ $TEX: $$\int_{0}^{1}x^{-x}dx=\sum_{n=1}^{+\infty }n^{-n}$$$

Bel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2012, 03:16 PM Publicado: #10
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 269 Registrado: 3-June 09 Miembro Nº: 53.075 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(danielxbeats @ Apr 8 2012, 04:06 PM) es las clasicas desigualdades entre las medias, la demostracion creo que esta aca mismo, enfin existen varias formas de abordar esto es muy simple, cmo dices considera lo que dijo tu profesor en todas tus combinaciones y sumalo $TEX: $$\frac{{y + z}}{x} + \frac{{x + z}}{y} + \frac{{x + y}}{z} \geqslant 6$$$ ahora suma +3 en ambos lados de la desigualdad $TEX: $$\frac{{y + z}}{x} + 1 + \frac{{x + z}}{y} + 1 + \frac{{x + y}}{z} + 1 \geqslant 9$$$ $TEX: $$<br />\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}<br />{x} + \frac{1}<br />{y} + \frac{1}<br />{z}} \right) = \frac{{x + y + z}}<br />{x} + \frac{{x + y + z}}<br />{y} + \frac{{x + y + z}}<br />{z} \geqslant 9<br />$$<br />$ ahora si quieres probar lo de tu profesor considera que siempre se tendra para todo numero real no negativo $TEX: $$<br />\left( {\sqrt {\frac{x}<br />{y}} - \sqrt {\frac{y}<br />{x}} } \right)^2 \geqslant 0<br />$$$ expande eso y veras Oka muchas gracias (sobretodo por la paciencia) Sip el dato que me dio mi profe ya lo demostre. Saludos

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