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> Una clasica, No se si este
xdanielx
mensaje Feb 3 2009, 12:18 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo


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TEX: Si $a,b > 0$ tales que $a + b = 1$, demuestre que


TEX: $$<br />\left( {a + \frac{1}<br />{a}} \right)^2 + \left( {b + \frac{1}<br />{b}} \right)^2 \geqslant \frac{{25}}<br />{2}<br />$$
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snw
mensaje Feb 23 2009, 12:02 AM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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TEX: Sea $f:{\Bbb R^+}\longrightarrow{\Bbb R^+}$ tal que $f(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2$ es convexa

dem:

TEX: Luego aplicando Jensen a $f$ se tiene que :

TEX: <br />$<br />\begin{gathered}<br /> \dfrac{f(a) + f(b)}{2} \geqslant f\left( {\frac{{a + b}}<br />{2}} \right) = f\left( {\frac{1}<br />{2}} \right) \hfill \\<br />\Rightarrow \left( {\frac{1}<br />{a} + a} \right)^2 + \left( {\frac{1}<br />{b} + b} \right)^2 \geqslant 2\left( {\frac{5}<br />{2}} \right)^2 = \frac{{25}}<br />{2} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />$<br />



Que es lo que se queria probar tongue.gif

Mensaje modificado por snw el Feb 23 2009, 11:07 AM


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blep
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mensaje Mar 31 2009, 03:57 PM
Publicado: #3


Principiante Matemático
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CITA(vivanco @ Feb 3 2009, 01:18 PM) *
TEX: Si $a,b > 0$ tales que $a + b = 1$, demuestre que
TEX: $$<br />\left( {a + \frac{1}<br />{a}} \right)^2 + \left( {b + \frac{1}<br />{b}} \right)^2 \geqslant \frac{{25}}<br />{2}<br />$$

TEX: \noindent $\left(\dfrac{\left( a+\frac{1}{a}\right)^2+\left( b+\frac{1}{b} \right)^2}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\ge \dfrac{\left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)}{2}=\dfrac{1+\frac{a+b}{ab}}{2}=\dfrac{1+\frac{1}{ab}}{2}\ge \dfrac{1+4}{2}\\<br />=\dfrac{5}{2}\Rightarrow \left( a+\frac{1}{a}\right)^2+\left( b+\frac{1}{b} \right)^2\ge \dfrac{25}{2}$.\\<br />Lo que se pedia.\\<br />La primera desigualdad es por $MC\ge MA$ y la segunda por \\<br />$1=a^2+b^2+2ab\ge 2ab+2ab=4ab\Rightarrow \frac{1}{ab}\ge 4$
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