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Killer_Instint Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 5 2009, 04:44 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.189 Registrado: 17-September 08 Desde: chernobyl Miembro Nº: 34.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Si se cumple que }}x^2 - \sqrt 3 x + 1 = 0 \hfill \\<br /> {\text{Calcule el valor de }}x^{2009} + \frac{1}<br />{{x^{2009} }} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Estudiante II año de Ingenieria Civil en Obras Civiles - UACh $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \underline {{\text{Algunas Constantes}}} {\text{:}} \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Catalan : }}G = \sum\limits_{K = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^k }}<br />{{\left( {2k + 1} \right)^2 }}} {\text{ }}\left( {{\text{no demostrado}}} \right) \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Liouville: }}\sum\limits_{k = 0}^\infty {10^{ - k} } = 0,1100010000000000.. \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Hilbert: }}\sqrt 2 ^{\sqrt 2 } \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Euler}} - {\text{Mascheroni: }}\gamma = 0,577215...({\text{no demostrado)}} \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Morse}} - {\text{Thue: 0}}{\text{,01101001}}... \hfill \\<br /> \bullet {\text{ }}i^i = 0,207879576..... \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Copeland}} - {\text{Erdos: 0}}{\text{,23571113171923}}... \hfill \\<br /> \bullet {\text{ }}\pi = 3,14159265... \hfill \\<br /> \bullet {\text{ }}e = 2,71828183.... \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$

xdanielx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 5 2009, 06:03 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 3.360 Registrado: 11-March 08 Miembro Nº: 16.617	$TEX: $x^2 - \sqrt 3 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = \sqrt 3$$ Es valido ya que x es distinto de cero Elevemos al cubo $TEX: $$<br />\left( {x + \frac{1}<br />{x}} \right)^3 = \sqrt 3 ^3 \Leftrightarrow x^3 + 3\left( {\sqrt 3 } \right) + \frac{1}<br />{{x^3 }} = 3\sqrt 3 \Rightarrow x^3 = - \frac{1}<br />{{x^3 }}<br />$$$ $TEX: $$<br />x^3 = - \frac{1}<br />{{x^3 }}/(\;)^{\frac{{2009}}<br />{3}} <br />$$$ $TEX: $$<br />x^{2009} = - \frac{1}<br />{{x^{2009} }} \Rightarrow x^{2009} + \frac{1}<br />{{x^{2009} }} = 0<br />$$$

Killer_Instint Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 5 2009, 09:10 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.189 Registrado: 17-September 08 Desde: chernobyl Miembro Nº: 34.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Veo tu desarrollo y digo q esta bien, de echo yo procedi de la misma forma en un principio, pero la verdad viendo y aplicando otros criterios llego a lo siguiente: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Las raices de }}x^2 - \sqrt 3 x + 1 = 0{\text{ son }}r = e^{\frac{{\pi i}}<br />{6}} {\text{ y }}s = \overline r .{\text{ Ademas }}r^{12} = 1 \hfill \\<br /> {\text{y 2009}} \equiv {\text{5}}\left( {\bmod 12} \right){\text{, tenemos que }}r^{2009} = r^5 {\text{ }} = e^{\frac{{5\pi i}}<br />{6}} . \hfill \\<br /> {\text{Es decir}}{\text{, }}r^{2009} + \frac{1}<br />{{r^{2009} }} = e^{\frac{{5\pi i}}<br />{6}} + e^{\frac{{ - 5\pi i}}<br />{6}} = 2\cos \left( {\frac{{5\pi }}<br />{6}} \right) = \sqrt 3 \hfill \\<br /> {\text{Por otra parte}}{\text{, }}s^{2009} + \frac{1}<br />{{s^{2009} }} = \overline {r^{2009} + \frac{1}<br />{{r^{2009} }}} = \overline {\sqrt 3 } = \sqrt 3 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Estudiante II año de Ingenieria Civil en Obras Civiles - UACh $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \underline {{\text{Algunas Constantes}}} {\text{:}} \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Catalan : }}G = \sum\limits_{K = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^k }}<br />{{\left( {2k + 1} \right)^2 }}} {\text{ }}\left( {{\text{no demostrado}}} \right) \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Liouville: }}\sum\limits_{k = 0}^\infty {10^{ - k} } = 0,1100010000000000.. \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Hilbert: }}\sqrt 2 ^{\sqrt 2 } \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Euler}} - {\text{Mascheroni: }}\gamma = 0,577215...({\text{no demostrado)}} \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Morse}} - {\text{Thue: 0}}{\text{,01101001}}... \hfill \\<br /> \bullet {\text{ }}i^i = 0,207879576..... \hfill \\<br /> \bullet {\text{ Constante de Copeland}} - {\text{Erdos: 0}}{\text{,23571113171923}}... \hfill \\<br /> \bullet {\text{ }}\pi = 3,14159265... \hfill \\<br /> \bullet {\text{ }}e = 2,71828183.... \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$

master_c	Mar 5 2013, 07:50 PM Publicado: #4
Invitado	CITA(carlipex @ Apr 5 2009, 04:44 PM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Si se cumple que }}x^2 - \sqrt 3 x + 1 = 0 \hfill \\<br /> {\text{Calcule el valor de }}x^{2009} + \frac{1}<br />{{x^{2009} }} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ en estos momentos se me ocurre $TEX: $$<br />x^2 - \sqrt 3 x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \pm \frac{i}<br />{2}<br />$$$ $TEX: $$<br />x = \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \pm \frac{i}<br />{2} = \sqrt {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}<br />{2}} \right)^2 + \left( { \pm \frac{1}<br />{2}} \right)^2 } e^{i\arctan \left( { \pm \frac{1}<br />{{\sqrt 3 }}} \right)} = cis\left( {\arctan \left( { \pm \frac{1}<br />{{\sqrt 3 }}} \right)} \right) = cis\left( { \pm \frac{\pi }<br />{6}} \right)<br />$$$ ahora escribamos $TEX: $$<br />x^{2009} + \frac{1}<br />{{x^{2009} }} = \left( {x^{12} } \right)^{167} \cdot x^5 + \frac{1}<br />{{\left( {x^{12} } \right)^{167} \cdot x^5 }}<br />$$$ y notese que $TEX: $$<br />\left( {cis\left( { \pm \frac{\pi }<br />{6}} \right)} \right)^{12} = cis\left( { \pm 2\pi } \right) = \cos \left( { \pm 2\pi } \right) + i\sin \left( { \pm 2\pi } \right) = 1<br />$$$ entonces $TEX: $$<br />x^{2009} + \frac{1}<br />{{x^{2009} }} = x^5 + \frac{1}<br />{{x^5 }}<br />$$$ ahora notese que $TEX: $$<br />\left( {cis\left( { \pm \frac{\pi }<br />{6}} \right)} \right)^5 = cis\left( { \pm \frac{{5\pi }}<br />{6}} \right) = cis\left( { \pm \left( {\pi - \frac{\pi }<br />{6}} \right)} \right) = cis\left( { \pm \pi \mp \frac{\pi }<br />{6}} \right) = \cos \left( { \pm \pi \mp \frac{\pi }<br />{6}} \right) + i\sin \left( { \pm \pi \mp \frac{\pi }<br />{6}} \right)<br />$$$ pero $TEX: $$<br />\cos \left( { \pm \pi + \left( { \mp \frac{\pi }<br />{6}} \right)} \right) = \cos \left( { \pm \pi } \right)\cos \left( { \mp \frac{\pi }<br />{6}} \right) - \sin \left( { \pm \pi } \right)\sin \left( { \mp \frac{\pi }<br />{6}} \right) = - \cos \left( {\frac{\pi }<br />{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2}<br />$$$ analogamente $TEX: $$<br />\sin \left( { \pm \pi + \left( { \mp \frac{\pi }<br />{6}} \right)} \right) = \sin \left( { \pm \pi } \right)\cos \left( { \mp \frac{\pi }<br />{6}} \right) + \cos \left( { \pm \pi } \right)\sin \left( { \mp \frac{\pi }<br />{6}} \right) = - \sin \left( { \mp \frac{\pi }<br />{6}} \right) = \pm \frac{1}<br />{2}<br />$$$ entonces $TEX: $$<br />x^{2009} + \frac{1}<br />{{x^{2009} }} = x^5 + \frac{1}<br />{{x^5 }} = - \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \pm \frac{i}<br />{2} + \frac{1}<br />{{ - \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \pm \frac{i}<br />{2}}} = - \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \pm \frac{i}<br />{2} - \frac{1}<br />{{\frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \mp \frac{i}<br />{2}}} \cdot \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \pm \frac{i}<br />{2}}}<br />{{\frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \pm \frac{i}<br />{2}}}<br />$$$ $TEX: $$<br /> = - \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \pm \frac{i}<br />{2} - \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \pm \frac{i}<br />{2}}}<br />{{\frac{3}<br />{4} - \left( { - \frac{1}<br />{4}} \right)}} = - \frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \pm \frac{i}<br />{2} - \left( {\frac{{\sqrt 3 }}<br />{2} \pm \frac{i}<br />{2}} \right) = - \sqrt 3 <br />$$$ asjkaskj 3 resultados diferentes pero killer _ instint se equivoca en la parte de $TEX: $$<br />2\cos \left( {\frac{{5\pi }}<br />{6}} \right) = - \sqrt 3 <br />$$$ saludos

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