I1 Álgebra y Geometría

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I1 Álgebra y Geometría, 1S 2009

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Gaston Burrull	Apr 3 2009, 10:09 PM Publicado: #1
Invitado	$TEX: <br />\begin{center}<br />\noindent MAT1103 - Álgebra y Geometría\\<br />Interrogación 1 - Lunes 30 de Marzo de 2009 \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Resuelva la inecuación<br />\[\left\|x+1\right\|+3<\left\|2x+6\right\| .\]<br />\item Resuelva la inecuación<br />\[ x+2\sqrt{x^2+2x-3}\leq \left\|x+3\right\| .\]<br />\item<br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función impar, de período 6, y tal que para $0<x<3$ se cumple $g(x)=\left\|x-2\right\|+\left\|x-1\right\|-2$.\\<br />Grafique $g(x)$ para $-9\leq x\leq 9$, y calcule $g(2009)$.<br />\item Demuestre que la función $f(x)=3x+1+\dfrac{12}{x}$, definida para todo $x\in\mathbb{R}-\left\{ 0\right\}$, es creciente en los intervalos $(-\infty,-2]$ y $[2,\infty)$, y es decreciente en los intervalos $[-2,0)$ y $(0,2]$.<br />\end{enumerate}<br />\item Sean<br />\begin{align}<br />f(x) = \left\{<br />\begin{array}{ll}<br />x-1 & \text{si}\ x<0, \\<br />x^2-1& \text{si}\ x\geq 0<br />\end{array}<br />\right. \qquad y \qquad <br />& g(x) = \left\{<br />\begin{array}{ll}<br />2x+1 & \text{si}\ x<2, \\<br />x^2-x-12& \text{si}\ x\geq 2.<br />\end{array}<br />\right.<br />\end{align}<br />Calcule $f(g(x)).$<br />\item Encuentre el resto que resulta de dividir el polinomio $x^{2009}-2x^{2008}+x^2+1$ por $x^3-2x^2-x+2$.\\<br />\textbf{Ayuda:} ¡No intente realizar la división! Use el hecho de que 1 es una raíz de $x^3-2x^2-x+2$.<br />\end{enumerate}<br />$

Zephyr~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 20 2011, 12:56 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.065 Registrado: 24-November 08 Desde: In my Crazy Mind ♫~ Miembro Nº: 39.334 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\begin{enumerate}<br />\item Resuelva la inecuación<br />\[\left\|x+1\right\|+3<\left\|2x+6\right\| .\]<br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: \noindent Utilizando la definición de valor absoluto:\\<br />\begin{align}<br />\|x+1\| = \left\{<br />\begin{array}{ll}<br />x+1 & \text{si}\ x\geq -1, \\<br />-(x+1) & \text{si}\ x < -1<br />\end{array}<br />\right. \qquad \\<br />\qquad & \\\|2x+6\| = \left\{<br />\begin{array}{ll}<br />2x+6 & \text{si}\ x\geq \-3, \\<br />-(2x+6)& \text{si}\ x<-3.<br />\end{array}<br />\right.<br />\end{align}<br />Caso I: $]- \infty, -3[$\\<br />\\<br />$-(x+1)+3<-(2x+6)$\\<br />\\<br />$-x+2<-2x-6$\\<br />\\<br />$S_{1}=x<-8$\\<br />\\<br />Caso 2: $]-3,-1[$\\<br />\\<br />$-(x+1)+3<2x+6$\\<br />\\<br />$-x+2<2x+6$\\<br />\\<br />$S_{2}=x> -\dfrac{4}{3}$\\<br />\\<br />Caso 3 $]-1,\infty[$\\<br />\\<br />$x+1+3<2x+6$\\<br />\\<br />$S_{3}=x>-1$\\<br />\\<br />Finalmente: $S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3}=]-\infty,-8[ \cup ]-\dfrac{4}{3},\infty[$$ Mensaje modificado por Zephyr~ el Jan 20 2011, 01:26 PM -------------------- and User

Kura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 20 2011, 01:14 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.918 Registrado: 14-May 08 Desde: The Tower of God Miembro Nº: 23.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Zephyr~ @ Jan 20 2011, 12:56 PM) $TEX: <br />\begin{enumerate}<br />\item Resuelva la inecuación<br />\[\left\|x+1\right\|+3<\left\|2x+6\right\| .\]<br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: \noindent Utilizando la definición de valor absoluto:\\<br />\begin{align}<br />\|x+1\| = \left\{<br />\begin{array}{ll}<br />x+1 & \text{si}\ x\geq -1, \\<br />-(x+1) & \text{si}\ x < -1<br />\end{array}<br />\right. \qquad \\<br />\qquad & \\\|2x+6\| = \left\{<br />\begin{array}{ll}<br />2x+6 & \text{si}\ x\geq \-3, \\<br />-(2x+6)& \text{si}\ x<-3.<br />\end{array}<br />\right.<br />\end{align}<br />Caso I: $]- \infty, -3[$\\<br />\\<br />$-(x+1)+3<-(2x+6)$\\<br />\\<br />$-x+2<-2x-6$\\<br />\\<br />$S_{1}=x<-8$\\<br />\\<br />Caso 2: $]-3,-1[$\\<br />\\<br />$-(x+1)+3<2x+6$\\<br />\\<br />$-x+2<2x+6$\\<br />\\<br />$S_{2}=x> -\dfrac{4}{3}$\\<br />\\<br />Caso 3 $]-1,\infty[$\\<br />\\<br />$x+1+3<2x+6$\\<br />\\<br />$S_{3}=x>-2$\\<br />\\<br />Finalmente: $S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3}=]-\infty,-8[ \cup ]-2,\infty[$$ Me parece que hay un problema: $TEX: $(-2,\infty) \cap (-1, \infty) = (-1,\infty)$$ -------------------- Far over... the misty mountains cold. To dungeons deep and caverns old. We must away ere break of day. To find our long-forgotten gold. The pines were roaring on the height. The winds were moaning in the night. The fire was red, it flaming spread. The trees like torches blazed with light. Apunte: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas! Apunte: Series de Fourier! Problemas Resueltos: EDO! OMG! Soy el ñoño de eléctrica.

Zephyr~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 20 2011, 01:32 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.065 Registrado: 24-November 08 Desde: In my Crazy Mind ♫~ Miembro Nº: 39.334 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kura @ Jan 20 2011, 03:14 PM) Me parece que hay un problema: $TEX: $(-2,\infty) \cap (-1, \infty) = (-1,\infty)$$ Gracias por la observación :B Eso me pasa por volado xd Mensaje modificado por Zephyr~ el Jan 20 2011, 01:33 PM -------------------- and User

Zephyr~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 24 2011, 04:36 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.065 Registrado: 24-November 08 Desde: In my Crazy Mind ♫~ Miembro Nº: 39.334 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Resuelva la inecuación:\\<br />\\<br />$x+2\sqrt{x^2+2x-3}\leq \left\|x+3\right\|$$ $TEX: \noindent Analizando la restricción de lo que está dentro de la raíz se tiene:\\<br />\\<br />$x^2+2x-3 \geq 0$\\<br />\\<br />$(x-1)(x+3) \geq 0$\\<br />\\<br />$S: ]-\infty,-3] \cup [1, \infty [$\\<br />\\<br />Luego, resolviendo la desigualdad se tiene:\\<br />\\<br />\\<br />$x+2\sqrt{x^2+2x-3}\leq \left\|x+3\right\|$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(x+3 \geq x+2\sqrt{x^2+2x-3} \right) \vee \left(x+3 \leq -x-2\sqrt{x^2+2x-3}\right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(3 \geq 2\sqrt{x^2+2x-3} \right) \vee \left(2x+3 \leq -2\sqrt{x^2+2x-3}\right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(\dfrac{3}{2} \geq \sqrt{x^2+2x-3} \right) \vee \left(-x-\frac{3}{2} \geq \sqrt{x^2+2x-3}\right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(\dfrac{9}{4} \geq x^2+2x-3 \right) \vee \left(\left(-x-\frac{3}{2}\right)^2 \geq x^2+2x-3\right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(\dfrac{9}{4} \geq x^2+2x-3 \right) \vee \left(x^2+3x+\frac{9}{4} \geq x^2+2x-3\right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(0 \geq x^2+2x-\dfrac{-21}{4}\right) \vee \left(x \geq -\frac{21}{4} \right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(0 \geq 4x^2+8x-21\right) \vee \left(x \geq -\frac{21}{4} \right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(0 \geq (2x+7)(2x-3)\right) \vee \left(x \geq -\frac{21}{4} \right)$$ $TEX: $S:\left[-\dfrac{7}{2},\dfrac{3}{2}\right] \cap \left[-\frac{21}{4},\infty \right] \cap \left( \left]-\infty,-3 \right] \cup \left[1, \infty \right[ \right)$\\<br />\\<br />Por último:\\<br />\\<br />$S_{Final}:\left[-\dfrac{21}{4},-3\right] \cup \left[1, \dfrac{3}{2}\right]$$ Mensaje modificado por Zephyr~ el Jan 28 2011, 01:32 PM -------------------- and User

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 25 2011, 10:37 AM Publicado: #7
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	QUOTE(Zephyr~ @ Jan 24 2011, 06:36 PM) $TEX: \noindent Resuelva la inecuación:\\<br />\\<br />$x+2\sqrt{x^2+2x-3}\leq \left\|x+3\right\|$$ $TEX: \noindent Analizando la restricción de lo que está dentro de la raíz se tiene:\\<br />\\<br />$x^2+2x-3 \geq 0$\\<br />\\<br />$(x-1)(x+3) \geq 0$\\<br />\\<br />$S: ]-\infty,-3] \cup [1, \infty [$\\<br />\\<br />Luego, resolviendo la desigualdad se tiene:\\<br />\\<br />\\<br />$x+2\sqrt{x^2+2x-3}\leq \left\|x+3\right\|$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(x+3 \geq x+2\sqrt{x^2+2x-3} \right) \vee \left(x+3 \leq -x-2\sqrt{x^2+2x-3}\right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(3 \geq 2\sqrt{x^2+2x-3} \right) \vee \left(2x \leq 2\sqrt{x^2+2x-3}\right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(\dfrac{3}{2} \geq \sqrt{x^2+2x-3} \right) \vee \left(x \leq \sqrt{x^2+2x-3}\right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(\dfrac{9}{4} \geq x^2+2x-3 \right) \vee \left(x^2 \leq x^2+2x-3\right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(\dfrac{9}{4} \geq x^2+2x-3 \right) \vee \left(x^2 \leq x^2+2x-3\right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(0 \geq x^2+2x-\dfrac{-21}{4}\right) \vee \left(0 \leq 2x-3\right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(0 \geq 4x^2+8x-21\right) \vee \left(\dfrac{3}{2} \leq x\right)$\\<br />\\<br />\\<br />$\left(0 \geq (2x+7)(2x-3)\right) \vee \left(\dfrac{3}{2} \leq x\right)$$ $TEX: $S:\left]-\infty,-\dfrac{7}{2}\right] \cup \left[\dfrac{3}{2},\infty\right[$\\<br />\\<br />Por último:\\<br />\\<br />$S_{Final}:\left( \left]-\infty,-\dfrac{7}{2}\right] \cup \left[\dfrac{3}{2},\infty\right[ \right)$$ PD: Termino cuando llegue a mi casa XD Tengo que editar unas cosas :B A modo de "ayuda," esa no es la respuesta.

Zephyr~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 25 2011, 10:38 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.065 Registrado: 24-November 08 Desde: In my Crazy Mind ♫~ Miembro Nº: 39.334 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Krizalid @ Jan 25 2011, 12:37 PM) A modo de "ayuda," esa no es la respuesta. Claro, no he editado u,u -------------------- and User

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 25 2011, 07:24 PM Publicado: #9
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	No, aún no es correcto, dale una nueva mirada.

Zephyr~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 26 2011, 12:56 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.065 Registrado: 24-November 08 Desde: In my Crazy Mind ♫~ Miembro Nº: 39.334 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Espero que ahora sí xd D: -------------------- and User

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