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Uno de cajas, Resuelto por Luffy [avanzado]

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Gp20 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2006, 07:48 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 558 Registrado: 14-May 05 Desde: Maipú, Stgo, Chile Miembro Nº: 27 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Si usted quiere formar 5 pilas de cajas con la siguientes condiciones:<br />\begin{itemize}<br />\item Cada pila debe tener entre 1 y 5 cajas.<br />\item Cada pila no puede tener más cajas que la pila de la izquierda.<br />\end{itemize}<br />\par ¿De cuántas formas distintas podemos hacer esto?.$ -------------------- El peor defecto del ignorante es que ignora su propia ignorancia................ Educación2020 - Registra tu apoyo individual!!!!

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 8 2007, 02:03 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Calcularemos ordenadamente todas las formas posibles:$ $TEX: $1^{\circ}$) Variando la cantidad de cajas de la \'ultima pila:$ $TEX: $55555$$ $TEX: $55554$$ $TEX: $55553$$ $TEX: 55552$ $TEX: 55551$ $TEX: Tenemos 5 en total.$ $TEX: $2^{\circ}$)Analizemos que ocurre al variar la $4^{\circ}$ pila:$ $TEX: 55544$ $TEX: 55543$ $TEX: 55542$ $TEX: 55541$ $TEX: Tenemos 4, entonces deducimos que cambiando la $4^{\circ}$ por un 3 obtenemos 3 maneras mas, si lo cambiamos por un 2 obtenemos 2 formas m\'as y si lo cambiamos por un 1 obtenemos solo 1 m\'as.$ $TEX: Entonces llevamos $1+2+3+4+5=\displaystyle\sum_{k=1}^5k$$ $TEX: $3^{\circ}$) Si variamos ahora la $3^{\circ}$ pila:$ $TEX: Notamos que al dejarla en valor 4 la $4^{\circ}$ y $5^{\circ}$ pila parten desde el 4 solamente, entonces ser\'a la misma cantidad de formas que dejando la $3^{\circ}$ pila en 5, menos las formas en que hay un 5 en la $4^{\circ}$ o $5^{\circ}$ pila (las cuales son 5). Entonces ser\'ia para el $3^{\circ}$ igual a 4:$ $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^5k -5=\displaystyle\sum_{k=1}^4k$$ $TEX: Analogamente deducimos para 3,2,1 es $\displaystyle\sum_{k=1}^3k;\displaystyle\sum_{k=1}^2k;\displaystyle\sum_{k=1}^1k$ respectivamente.$ $TEX: Entonces en total llevamos:$ $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^1k+\displaystyle\sum_{k=1}^2k+\displaystyle\sum_{k=1}^3k+\displaystyle\sum_{k=1}^4k+\displaystyle\sum_{k=1}^5k=\displaystyle\sum_{k=1}^5\dfrac{k(k+1)}{2}$$ $TEX: $4^{\circ}$) Variando la $2^{\circ}$ pila:$ $TEX: Notamos que al dejarla en 4, la $3^{\circ}$ , $4^{\circ}$ y $5^{\circ}$ pila parten del 4, entonces ser\'a la misma cantidad de formas que dejando la $2^{\circ}$ pila en 5, menos las formas en que hay un 5 en la $3^{\circ}$, $4^{\circ}$ o $5^{\circ}$ pila (las cuales son $\displaystyle\sum_{k=1}^5k$). Entonces ser\'ia para el $2^{\circ}$ igual a 4:$ $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^5\dfrac{k(k+1)}{2}-\displaystyle\sum_{k=1}^5k=\displaystyle\sum_{k=1}^4\dfrac{k(k+1)}{2}$$ $TEX: Analogamente para 3,2,1 es $\displaystyle\sum_{k=1}^3\dfrac{k(k+1)}{2},\displaystyle\sum_{k=1}^2\dfrac{k(k+1)}{2},\displaystyle\sum_{k=1}^1\dfrac{k(k+1)}{2}$ respectivamente.$ $TEX: Entonces hacemos el recuento:$ $TEX: $\displaystyle\sum_{k=1}^1\dfrac{k(k+1)}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^2\dfrac{k(k+1)}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^3\dfrac{k(k+1)}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^4\dfrac{k(k+1)}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^5\dfrac{k(k+1)}{2}=$$ $TEX: $\displaystyle\sum_{j=1}^5\displaystyle\sum_{k=1}^j\dfrac{k(k+1)}{2}=$$ $TEX: $\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{j=1}^5\left( \displaystyle\sum_{k=1}^jk^2+\displaystyle\sum_{k=1}^jk\right)=$$ $TEX: $\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{j=1}^5\left( \dfrac{j(j+1)(2j+1)}{6}+\dfrac{j(j+1)}{2}\right)=$$ $TEX: $\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{j=1}^5\left( \dfrac{j(j+1)(j+2)}{3}\right)$$ $TEX: $\displaystyle\sum_{j=1}^5\left( \dfrac{j(j+1)(j+2)}{6}\right)$$ $TEX: $5^{\circ}$) Finalmente variando la $1^{\circ}$ pila:$ $TEX: Notamos que al dejarla en 4, la $2^{\circ}$, $3^{\circ}$ , $4^{\circ}$ y $5^{\circ}$ pila parten del 4, entonces ser\'a la misma cantidad de formas que dejando la $1^{\circ}$ pila en 5, menos las formas en que hay un 5 en la $2^{\circ}$, $3^{\circ}$, $4^{\circ}$ o $5^{\circ}$ pila (las cuales son $\displaystyle\sum_{k=1}^5\dfrac{k(k+1)}{2}$). Entonces ser\'ia para el $1^{\circ}$ igual a 4:$ $TEX: $\displaystyle\sum_{j=1}^5\left( \dfrac{j(j+1)(j+2)}{6}\right)-\displaystyle\sum_{j=1}^5\left( \dfrac{j(j+1)}{2}\right)=\displaystyle\sum_{j=1}^4\left( \dfrac{j(j+1)(j+2)}{6}\right)$$ $TEX: Analogamente para 3,2,1 es $\displaystyle\sum_{j=1}^3\dfrac{j(j+1)(j+2)}{6},\displaystyle\sum_{j=1}^2\dfrac{j(j+1)(j+2)}{6},\displaystyle\sum_{j=1}^1\dfrac{j(j+1)(j+2)}{6}$ respectivamente.$ $TEX: Entonces la cantidad de formas en total es:$ $TEX: $\displaystyle\sum_{i=1}^5\left(\displaystyle\sum_{j=1}^i \dfrac{j(j+1)(j+2)}{6}\right)=$$ $TEX: $\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^5\left(\displaystyle\sum_{j=1}^i (j^2+j)(j+2)\right)=$$ $TEX: $\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^5\left(\displaystyle\sum_{j=1}^ij^3+3j^2+2j\right)=$$ $TEX: $\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^5\left(\displaystyle\sum_{j=1}^ij^3+3\displaystyle\sum_{j=1}^ij^2+2\displaystyle\sum_{j=1}^ij\right)=$$ $TEX: $\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^5\left(\dfrac{i^2(i+1)^2}{4}+3\dfrac{i(i+1)(2i+1)}{6}+2\dfrac{i(i+1)}{2}\right)=$$ $TEX: $\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^5\left(\dfrac{i^2(i+1)^2}{4}+\dfrac{i(i+1)(2i+1)}{2}+i(i+1)\right)=$$ $TEX: $\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^5\left(\dfrac{i^2(i+1)^2}{4}+\dfrac{i(i+1)(2i+1)}{2}+i(i+1)\right)=$$ $TEX: $\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^5\left(\left(\dfrac{i(i+1)}{4}\right)(i^2+i+4i+2+4)\right)=$$ $TEX: $\displaystyle\sum_{i=1}^5\left(\dfrac{i(i+1)(i^2+5i+6)}{24}\right)=$$ $TEX: $\dfrac{1(2)(12)}{24}+\dfrac{2(3)(20)}{24}+\dfrac{3(4)(30)}{24}+\dfrac{4(5)(42)}{24}+\dfrac{5(6)(56)}{24}=$$ $TEX: $1+5+15+35+70=$$ $TEX: $\boxed{126}$ formas diferentes$

-DietricH- Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 7 2010, 12:43 AM Publicado: #3
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 17 Registrado: 9-May 08 Miembro Nº: 22.638 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: En Difícil D: $\displaystyle\sum_{i=1}^{nCajas} \displaystyle\sum_{j=1}^i \displaystyle\sum_{k=1}^j\dfrac{k(k+1)}{2} $$

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