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> Demostracion, por induccion
IncuboyD~
mensaje Mar 29 2009, 03:20 AM
Publicado: #1


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Necesito saber como se resuelve este tipo de induccion.

Demostrar que para cada número natural TEX: $n$ ...
TEX: $$u_n = \frac{(1+\sqrt{5})^{n}-(1-\sqrt{5})^{n}}{2^n\sqrt{5}}, u_n \in \mathbb{N}$$

Mensaje modificado por IncuboyD~ el Mar 29 2009, 03:20 AM
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IncuboyD~
mensaje Mar 29 2009, 02:44 PM
Publicado: #2


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nadie? :B
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coquitao
mensaje Mar 18 2010, 01:07 AM
Publicado: #3


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Checa esto (en especial el penúltimo post):

http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=40969&st=10


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Leonardo Maurici...
mensaje Mar 18 2010, 01:31 PM
Publicado: #4


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CITA(coquitao @ Mar 18 2010, 02:07 AM) *
Checa esto (en especial el penúltimo post):

http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=40969&st=10


emmm... interesante, llevo una hoja entera intentando sacar con lo ke tu dices este ejercicio y no me sale aun xd


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CITA(Marcel Claude @ Oct 13 2013, 22:10 PM) *
Venezuela es más democrático que Chile


XD
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coquitao
mensaje Mar 18 2010, 02:13 PM
Publicado: #5


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Calma pueblo, calma pueblo. Sale porque sale y en media hoja (espero). La pregunta clave aquí es: ¿qué tanto sabes acerca de los números de Fibonacci?

Solución. Demuestra que los números TEX: $u_{n}$ son tales que TEX: $u_{1}=u_{2}=1$ y además satisfacen la recurrencia TEX: $u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}$ para cada natural n mayor o igual a 3. Es en la demostración de la recurrencia donde se ocupa lo que mencionaba yo en el post del otro link. En efecto:

TEX: $\displaystyle \frac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{2^{n+1}\sqrt{5}} = \frac{2[(1+\sqrt{5})^{n}-(1-\sqrt{5})^{n}]+4[(1+\sqrt{5})^{n-1}-(1-\sqrt{5})^{n-1}]}{2^{n+1}\sqrt{5}} = \frac{(1+\sqrt{5})^{n}-(1-\sqrt{5})^{n}}{2^{n}\sqrt{5}}+\frac{(1+\sqrt{5})^{n-1}-(1-\sqrt{5})^{n-1}}{2^{n-1}\sqrt{5}} = u_{n}+u_{n-1}.$

y la prueba termina. QED.

Es de notar que la prueba se puede hacer sin pasar por la recurrencia, pero sería un tanto más larga.


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Leonardo Maurici...
mensaje Mar 18 2010, 02:19 PM
Publicado: #6


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CITA(coquitao @ Mar 18 2010, 03:13 PM) *
Calma pueblo, calma pueblo. Sale porque sale y en media hoja (espero).

Solución. Demuestra que los números TEX: $u_{n}$ son tales que TEX: $u_{1}=u_{2}=1$ y además satisfacen la recurrencia TEX: $u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}$ para cada natural n mayor o igual a 3. Es en la demostración de la recurrencia donde se ocupa lo que mencionaba yo en el post del otro link. En efecto:

TEX: $\displaystyle \frac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{2^{n+1}\sqrt{5}} = \frac{2[(1+\sqrt{5})^{n}-(1-\sqrt{5})^{n}]+4[(1+\sqrt{5})^{n-1}-(1-\sqrt{5})^{n-1}]}{2^{n+1}\sqrt{5}} = \frac{(1+\sqrt{5})^{n}-(1-\sqrt{5})^{n}}{2^{n}\sqrt{5}}+\frac{(1+\sqrt{5})^{n-1}-(1-\sqrt{5})^{n-1}}{2^{n-1}\sqrt{5}} = u_{n}+u_{n-1}.$

y la prueba termina. QED.

Es de notar que la prueba se puede hacer sin pasar por la recurrencia, pero sería un tanto más larga.


hahaha murio con el ultimo paso ke diste, habia llegado a le segundo pero no se me ocurrio eso de separarlo en 2 fracciones smile.gif
Gracias


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CITA(Marcel Claude @ Oct 13 2013, 22:10 PM) *
Venezuela es más democrático que Chile


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