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> Semana del 4 al 10 de Agosto, Sin solución publicada: 1, 7
Claudio Espinoza
mensaje Oct 23 2006, 11:40 PM
Publicado: #21


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CITA
PD: el "clásico" teorema geométrico es el de la recta de Simson (tengo entendido que es sin p entre medio), y me parece haberlo visto explicado en otro sector de FMAT.


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(mucha televisión)
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「Krizalid」
mensaje Dec 27 2006, 07:29 PM
Publicado: #22


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CITA(xsebastian @ Aug 11 2005, 12:58 AM)
Problema 4: Dado un TEX: $\triangle ABC$, y un punto TEX: $P$ sobre su circunferencia circunscrita, llamaremos TEX: $D,E,F$ a las proyecciones ortogonales de TEX: $P$ sobre los lados TEX: $\overline{BC},\overline{CA},\overline{AB}$, respectivamente. Pruebe que los puntos TEX: $D,E,F$ son colineales.

Hubo una demostración expuesta por Claudio Espinoza, pero expondré otra con imagen, pero básicamente lo mismo.



TEX: Unamos $P$ con $C$ y $B$ (se da origen al cuadril\'atero c\'iclico $ABPC$). Sea $\measuredangle {\text{ }}CPF = \varepsilon$. Luego $\beta + (\alpha + \varepsilon ) = 180^\circ$, pero tambi\'en $\beta + (\mu + \varepsilon ) = 180^\circ$ ($ACPF$ es c\'iclico), por lo tanto $\measuredangle {\text{ }}\alpha = \measuredangle {\text{ }}\mu$. Por otra parte, $\alpha = \alpha'$ ($BFDP$ es c\'iclico), pero $\mu = \mu'$ ($CEPD$ es c\'iclico). Finalmente $\measuredangle {\text{ }}\alpha ' = \measuredangle {\text{ }}\mu '$, con lo cual dichos \'angulos est\'an opuestos por el v\'ertice, y en consecuencia se concluye que $E$, $D$ y $F$ son colineales.
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