bonita, con productos y algo mas

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bonita, con productos y algo mas, [medio]

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Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 10 2006, 09:27 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent<br />Sean $m,n$ naturales, y sean los reales $\alpha_{ij}$ para todos $i=1,2,...,m$; $j=1,2,...,n$.\\<br />Demostrar que\\<br />$\displaystyle<br />\prod_{j=1}^{n}\left(1-\prod_{i=1}^{m}cos^2 \alpha_{ij}\right)+<br />\prod_{i=1}^{m}\left(1-\prod_{j=1}^{n}sen^2 \alpha_{ij}\right)\ge 1$<br />$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2020, 08:29 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	Utilizaré la misma técnica usada aquí: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=52415 $TEX: Consideremos la colección de monedas $(a_{ij})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$ donde la probabilidad de que salga cara ($c$) en $a_{ij}$ es $\sin^2{(\alpha_{ij})}$ (y de que salga sello ($s$) es $\cos^2{(\alpha_{ij})}$), lanzamos todas las monedas independientemente y notamos que: \\<br />$\prod_{j=1}^{n}{(1-\prod_{i=1}^{m}{\cos^2(\alpha_{ij})})} = \prod_{j=1}^{n}{\mathbb{P}(\{ \exists i : a_{ij} = c \})} = \mathbb{P}(\{ \forall j, \exists i : a_{ij} = c \})$ donde se usá la independencia de los eventos. Análogamente, se prueba que\\<br />$\prod_{j=1}^{n}{(1-\prod_{i=1}^{m}{\sin^2(\alpha_{ij})})} = \mathbb{P}(\{ \forall i, \exists j : a_{ij} = s\})$ y por tanto \\<br />$1-\prod_{j=1}^{n}{(1-\prod_{i=1}^{m}{\sin^2(\alpha_{ij})})} = \mathbb{P}(\{ \exists i, \forall j : a_{ij} = c\})$ pero de acá vemos que $\{ \exists i, \forall j : a_{ij} = c\}\subset \{ \forall j, \exists i : a_{ij} = c \}$, por tanto\\<br />$\mathbb{P}(\{ \exists i, \forall j : a_{ij} = c\})\leq \mathbb{P}(\{ \forall j, \exists i : a_{ij} = c \})$ y finalmente\\<br />$\prod_{j=1}^{n}{(1-\prod_{i=1}^{m}{\cos^2(\alpha_{ij})})} + \prod_{j=1}^{n}{(1-\prod_{i=1}^{m}{\sin^2(\alpha_{ij})})}\geq 1$ $\blacksquare$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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