 Demostración de divisibilidad (Teoría de Números) |
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 Mar 19 2009, 08:39 PM
Publicado:
#1
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Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 894 Registrado: 30-October 08 Desde: Viña del mar Miembro Nº: 37.383 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
Bueno, estoy cursando 2do año en la carrera Matemáticas en la PUCV, el ramo se llama Teoría de Números y me están pasando divisibilidad. Me piden demostrar lo siguiente sin usar inducción.
  Noten que hay que demostrar que (n-1)^2 es dificible por el otro numero. Logre demostrar que era divisible para (n-1) pero me falta hacerlo por el cuadrado. Si me ayudan se los agraderecé, Aios  !
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Mar 19 2009, 09:06 PM
Publicado:
#2
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 Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-June 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 6.347 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Sexo: |
mm..
Mensaje modificado por Acid.SOul el Mar 19 2009, 09:07 PM |
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Mar 19 2009, 09:47 PM
Publicado:
#3
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 Dios Matemático  Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 309 Registrado: 2-December 08 Desde: Cerro Navia Miembro Nº: 40.183 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{El problema tambien se puede expresar como:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Probar que n}}^{n - 1} \equiv 1(\bmod {\text{ (n - 1)}}^2 ) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Caso 1: Si n es impar }} \Rightarrow {\text{n = 2k + 1, alg\'u n k }} \in {\text{ N}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{(2k + 1)}}^{2k} \equiv (4k^2 + 4k + 1)^k \equiv (4k + 1)^k (\bmod {\text{ (2k)}}^2 ) \hfill \\<br /> (4k + 1)^k \equiv (4k)^0 1^k (kC0) + (4k)^1 1^{k - 1} (kC1) + (4k)^2 t \equiv 1 + 4k^2 \equiv 1(\bmod {\text{ (2k)}}^2 ) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Luego por transitividad se tiene que}} \hfill \\<br /> {\text{(2k + 1)}}^{2k} \equiv 1(\bmod {\text{ (2k)}}^2 ) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Obs: t}} \in {\text{N}}{\text{. (}}aCb{\text{): a sobre b}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Caso 2: Si n es par }} \Rightarrow {\text{n = 2k + 2, alg\'u n k }} \in {\text{ N}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{(2k + 2)}}^{2k + 1} = ((2k + 1) + 1)^{2k + 1} = (2k + 1)^0 1^{2k + 1} ((2k + 1)C0) + \hfill \\<br /> + (2k + 1)^1 1^{2k} ((2k + 1)C1) + (2k + 1)^2 u, \hfill \\<br /> {\text{alg\'u n }}u{\text{ }} \in {\text{N}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Entonces}} \hfill \\<br /> {\text{ (2k + 2)}}^{2k + 1} \equiv (2k + 1)^0 1^{2k + 1} ((2k + 1)C0) + (2k + 1)^1 1^{2k} ((2k + 1)C1){\text{ }}(\bmod {\text{ (2k + 1)}}^2 ) \hfill \\<br /> (2k + 1)^0 1^{2k + 1} ((2k + 1)C0) + (2k + 1)^1 1^{2k} ((2k + 1)C1){\text{ }} = 1 + (2k + 1)^2 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Por lo tanto}} \hfill \\<br /> {\text{ (2k + 2)}}^{2k + 1} \equiv 1 + (2k + 1)^2 \equiv 1{\text{ }}(\bmod {\text{ (2k + 1)}}^2 ) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Espero no haberme equivocado}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> Saludos \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/3ad369547ad78800ec87ea30ec85cbe8.png)
Mensaje modificado por psepulveda el Mar 19 2009, 09:54 PM |
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Mar 21 2009, 12:54 AM
Publicado:
#4
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 894 Registrado: 30-October 08 Desde: Viña del mar Miembro Nº: 37.383 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
Gracias no se me habia ocurrido demostrarlo por casos, gracias nuevamente y saludos
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