 Circunferencia y Número Aúreo, Resuelto por felper |
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 Mar 17 2009, 02:23 PM
Publicado:
#1
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Principiante Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 12 Registrado: 1-May 08 Desde: Trujilllo - Peru Miembro Nº: 21.772 Nacionalidad:  Sexo:   |
La circunferencia es tangente a AB en el punto B y su diámetro es igual a AB. Demuestre que AB es el segmento aúreo de AD y que AC es el segmento áureo de AB
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Mar 17 2009, 03:03 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
[Asumiendo que O es el centro de la circunferencia]
Demuestre que el segmento AB es el segmento áureo de AD: El problema, equivale a demostrar que CD es el segmento áureo de AD (el enunciado nos dice que son iguales). Por el teorema de la tangente a la circunferencia (si se pide demostrar, avisas y lo hago), se tiene: ![TEX: \[<br />\begin{array}{l}<br /> AB^2 = CD^2 = AC*AD \\ <br /> CD^2 = AC*AD \\ <br /> \frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{CD}}{{AC}} \\ <br /> \end{array}<br />\]<br />](./tex/5117552dea9f842b7747bc1e10cd933b.png) Demuestre que el segmento AC es el segmento áureo de AB: Acudimos nuevamente al teorema de las tangentes: ![TEX: \[<br />\begin{array}{l}<br /> AB^2 = AC*AD \\ <br /> CD^2 = AC*AD \\ <br /> CD^2 = AC*(AC + CD) \\ <br /> CD^2 = AC^2 + AC*CD \\ <br /> AC^2 = CD^2 - AC*CD \\ <br /> AC^2 = CD(CD - AC) \\ <br /> \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{{CD - AC}}{{AC}} \\ <br /> \end{array}<br />\]<br />](./tex/2959672a03dd62a0a2d5f987c048beb3.png) Para entender más rápidamente la demostración, situar un punto A' sobre CD simétrico a A respecto a C. -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto. |
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