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No lo he visto, sería el colmo

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Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 9 2009, 05:57 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent Los n\'umeros reales $x_1,x_2,...,x_n$ satisfacen\\<br />$$x_1+x_2+...+x_n=0,<br />x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=1$$\\<br />Pruebe que el producto de algun par de esos numeros es menor o igual a $-1/n$$ Perdon por el error... traspase mal Mensaje modificado por Felipe_ambuli el Mar 9 2009, 09:13 PM

gpipe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2009, 06:38 PM Publicado: #2
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 36 Registrado: 18-August 07 Miembro Nº: 8.943 Nacionalidad: Sexo:	elevando la primera al cuadrado,restando la segunda y dividiendo por 2 se llega a que $TEX: $x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+...+x_{n-1}x_n=-1/2$$ sea $TEX: ab$ el menor producto de 2 $TEX: $x_i$$ luego $TEX: $-1/2=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+...+x_{n-1}x_n\ge abn(n-1)/2$$ luego $TEX: $ab\le -1/n(n-1) $$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2009, 06:41 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Las soluciones de gpipe y mia estan incorrectas. El error radica en lo siguiente. Hemos probado que $TEX: $ab$$ es menor o igual que $TEX: $-1/n(n+1)$$ , pero no nos dimos cuenta de que $TEX: $-1/n$$ es menor que $TEX: $-1/n(n+1)$$ . El problema sigue vivo. Disculpen las molestias Mensaje modificado por Vargüitas DSLU el Mar 11 2009, 03:36 PM -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2009, 06:58 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Hola. Buenas respuestas, pero quiero ver como interpretan lo siguiente: Tomen el máximo y el mínimo de los x_i y tomen una cuadrática que involucre eso. Ah, quien es gpipe _$? Mensaje modificado por Felipe_ambuli el Mar 10 2009, 06:59 PM

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2009, 07:41 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Primero supongamos que no existe $ x_i:x_i\le 0$ para algun $1\le i\le n$, entonces $\sum_{i=1}^nx_i\ge 0$ con igualdad si y solo si $x_1=x_2=...=x_n$ lo cual es imposible porque la suma de sus cuadrados es $1$, por lo tanto existe a lo menos un $x_i$ negativo. De esto, podemos afirmar que $\min\{x_i\}\le 0$ y $\max\{x_i\}\ge 0$, luego consideremos lo siguiente :$ $TEX: $(\max\{x_i\}-x_i)(x_i-\min\{x_i\})\ge 0$$ $TEX: Entonces:$ $TEX: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\max\{x_i\}-x_i)(x_i-\min\{x_i\})=-n\max\{x_i\}\min\{x_i\}-1\ge 0\Rightarrow \max\{x_i\}\min\{x_i\}\le -\dfrac{1}{n}$$ como se queria demostrar, saludos -------------------- blep

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 17 2010, 10:21 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(snw @ Mar 12 2009, 10:41 PM) $TEX: Primero supongamos que no existe $ x_i:x_i\le 0$ para algun $1\le i\le n$, entonces $\sum_{i=1}^nx_i\ge 0$ con igualdad si y solo si $x_1=x_2=...=x_n$ lo cual es imposible porque la suma de sus cuadrados es $1$, por lo tanto existe a lo menos un $x_i$ negativo. De esto, podemos afirmar que $\min\{x_i\}\le 0$ y $\max\{x_i\}\ge 0$, luego consideremos lo siguiente :$ $TEX: $(\max\{x_i\}-x_i)(x_i-\min\{x_i\})\ge 0$$ $TEX: Entonces:$ $TEX: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(\max\{x_i\}-x_i)(x_i-\min\{x_i\})=-n\max\{x_i\}\min\{x_i\}-1\ge 0\Rightarrow \max\{x_i\}\min\{x_i\}\le -\dfrac{1}{n}$$ como se queria demostrar, saludos Esta solución esta correcta mati, asi que debería pasarse a resueltos

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