 Solo para valientes, Geometría 2, Nivel Medio |
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 Mar 8 2009, 09:51 AM
Publicado:
#1
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 Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 35 Registrado: 4-March 09 Miembro Nº: 44.037 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaqGtb<br />% GaaeyzaiaabggacaqGGaGaamyqaiabg2da9maabmaabaGaaGimaiaa<br />% cYcacaaIWaaacaGLOaGaayzkaaGaaeiiaiaabMhacaqGGaGaamOqai<br />% abg2da9maabmaabaGaaG4maiaacYcacaaIWaaacaGLOaGaayzkaaGa<br />% aeOlaiaabccacaqGfbGaaeOBaiaabogacaqG1bGaaeyzaiaab6gaca<br />% qG0bGaaeOCaiaabwgacaqGGaGaaeiBaiaabggacaqGGaGaaeyzaiaa<br />% bogacaqG1bGaaeyyaiaabogacaqGPbGaae48aiaab6gacaqGGaGaae<br />% izaiaabwgacaqGSbGaaeiiaiaabYgacaqG1bGaae4zaiaabggacaqG<br />% YbGaaeiiaiaabEgacaqGLbGaae4Baiaab2gacaqGPdGaaeiDaiaabk<br />% hacaqGPbGaae4yaiaab+gacaqGGaGaaeizaiaabwgacaqGGaGaaeiD<br />% aiaab+gacaqGKbGaae4BaiaabohacaqGGaGaaeiBaiaab+gacaqGZb<br />% GaaeiiaaqaaiaabchacaqG1bGaaeOBaiaabshacaqGVbGaae4Caiaa<br />% bccacaWGqbGaeyypa0ZaaeWaaeaacaWG4bGaaiilaiaadMhaaiaawI<br />% cacaGLPaaacaqGGaGaaeizaiaabwgacaqGSbGaaeiiaiaabchacaqG<br />% SbGaaeyyaiaab6gacaqGVbGaaeiiaiaabshacaqGHbGaaeiBaiaabw<br />% gacaqGZbGaaeiiaiaabghacaqG1bGaaeyzaiaabQdacaqGGaGaeyii<br />% IaTaamiuaiaadgeacaWGcbGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaG<br />% OmaaaacqGHGic0caWGqbGaamOqaiaadgeaaaaa!A3D9!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Sea }}A = \left( {0,0} \right){\text{ y }}B = \left( {3,0} \right){\text{. Encuentre la ecuaci\'on del lugar geom\'etrico de todos los }} \hfill \\<br /> {\text{puntos }}P = \left( {x,y} \right){\text{ del plano tales que: }}\angle PAB = \frac{1}<br />{2}\angle PBA \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/271f3b689cabeeaa59b59bdbec793163.png)
-------------------- Estudiante de primer año de Ingeniería Comercial en la Universidad Autónoma de Chile
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Oct 4 2013, 12:47 AM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad:  Sexo: |
![TEX: <br />Se acuerdo a las coordenadas $A,B,P$, se obtienen los siguientes vectores directores:<br />\[ \overrightarrow{AB} = (1,0) \hspace{2mm} \overrightarrow{AP} = (x,y) \hspace{2mm} \overrightarrow{BA} = (-1,0) \hspace{2mm} \overrightarrow{BP} = (x-3,y) \]<br /><br />Sea $\alpha$ el ángulo formado por los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AP}$.<br />Sea $\beta$ el ángulo formado por los vectores $\overrightarrow{BA}$ y $\overrightarrow{BP}$.<br /><br />Entonces,<br />\[ \cos(\alpha) = \frac{(1,0)\cdot(x,y)}{ \| (1,0) \| \cdot \| (x,y) \|} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \]<br />y<br />\[ \cos(\beta) = \frac{(-1,0) \cdot (x-3,y)}{\| (-1,0) \| \cdot \| (x-3,y) \|} = \frac{3-x}{\sqrt{(x-3)^2+y^2}} \]<br /><br />Se sabe que $\alpha = 2\beta$. De aquí, se deduce que<br />\begin{align*}<br /> \cos(\alpha) &= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\<br /> \cos(2\beta) &= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\<br /> 2\cos^2(\beta) - 1 &= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\<br /> 2\cdot \frac{(3-x)^2}{(x-y)^2+y^2} - 1 &= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\<br /> \frac{(x-3)^2-y^2}{(x-3)^2+y^2} &= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}<br />\end{align*}<br />](/tex-image/0392a87cd723afc4f8eb4e90ef3e2298.png) Intentanto esbozar al ojímetro las condiciones de esta curva, tengo la tincada que es como la 'aleta' de una pseudo-hipérbola que se abre hacia la izquierda. Mensaje modificado por Laðeralus el Oct 4 2013, 03:19 AM |
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Oct 4 2013, 11:06 AM
Publicado:
#3
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.875 Registrado: 27-December 07 Desde: ∂Ω©ȹʕѺϧگἐᾋ1©Ӹ█₯►☻X TH.....I FORGOR Miembro Nº: 14.122 Nacionalidad: Universidad:  Sexo: |
de hecho no estas tan alejado:
Considere el triangulo PAB con  . podemos usar la cotangente de  (debido a que la tangente es inapropiada en este caso  )el cual vale  . para el angulo PBA tenemos que y por la formula del angulo doble:  Multiplicando por y (distinto de 0):  el cual claramente es una hiperbola horizontal. los elementos de ella se deducen facilmente notando que  , por lo que la ecuacion particular: representa una hiperbola cuyo radio real es 1 y radio imaginario es  .el caso patologico es cuando y=0 ya que evidentemente todo el eje x cumple tal aseveracion... en este caso seria la hiperbola mencionada + el eje x. saludos claudio. -------------------- Claudio Henriquez Tapia Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024. [indent] everywhere at the end of FMAT ｆｍａｔ ｎｅｅｄｓ .... To Survive... 3ch03s facts: Frases para el bronce by 3ch03s: Fmat dejame subir mas citas! TB-3030303 que es YTP-Tennis: |
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Oct 4 2013, 11:11 AM
Publicado:
#4
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Sexo:  |
Este resultado es general y puede ver una demostración geométrica (sin uso de coordenadas) en el libro de Yaglom "Transformaciones geométricas"
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Oct 4 2013, 11:45 AM
Publicado:
#5
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
CITA(Kaissa @ Oct 4 2013, 11:11 AM)  Este resultado es general y puede ver una demostración geométrica (sin uso de coordenadas) en el libro de Yaglom "Transformaciones geométricas" No lo puedo encontrar  ¿Te refieres a que hay una familia de hipérbolas que cumplen eso? |
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Oct 4 2013, 12:39 PM
Publicado:
#6
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo: |
CITA(Laðeralus @ Oct 4 2013, 11:45 AM) No lo puedo encontrar ¿Te refieres a que hay una familia de hipérbolas que cumplen eso? No, me refiero a que el LG de los puntos tales que forman un ángulo doble que otro respecto de dos ptos fijos en el plano, es una hipérbola y me parece mucho (no recuerdo con exactitud) es una de las hipérbolas con nombre (como la de Kiepert). Aunque eso es materia de cónicas que yo sinceramente recién comienzo a leer. -------------------- |
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Oct 4 2013, 01:00 PM
Publicado:
#7
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.875 Registrado: 27-December 07 Desde: ∂Ω©ȹʕѺϧگἐᾋ1©Ӹ█₯►☻X TH.....I FORGOR Miembro Nº: 14.122 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
CITA(Kaissa @ Oct 4 2013, 12:39 PM) No, me refiero a que el LG de los puntos tales que forman un ángulo doble que otro respecto de dos ptos fijos en el plano, es una hipérbola y me parece mucho (no recuerdo con exactitud) es una de las hipérbolas con nombre (como la de Kiepert). Aunque eso es materia de cónicas que yo sinceramente recién comienzo a leer. y todo gracias a propiedades del angulo doble... con lo que hice no hubo mucha cosa con las coordenadas en todo caso, fue bastante geometrico. es esa la demostracion que saldria en el libro o es mas con topicos mas profundos o cuasi-olimpicos? en todo caso.. ahora que lo pienso, para y=0 no puede ser todo el eje x... porque fuera del trazo el angulo PAB o PBA seria de 180... no de 0, tiene que ser solo el trazo [0,3] + la hiperbola. aunque creo que lo sabes, no te parece que el LG que mencionas deberia contener tambien el trazo que une los puntos fijos tambien? pareceria el simbolo del quake 1 o 2 ajajaj. saludos. -------------------- Claudio Henriquez Tapia Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024. [indent] everywhere at the end of FMAT ｆｍａｔ ｎｅｅｄｓ .... To Survive... 3ch03s facts: Frases para el bronce by 3ch03s: Fmat dejame subir mas citas! TB-3030303 que es YTP-Tennis: |
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Oct 4 2013, 03:21 PM
Publicado:
#8
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
¡¡Ahhh, ya descubrí mi error!!
Es ultra idiota. El lugar geométrico que tu obtuve fue la misma hipérbola que calculaste tu, solo que la mía estaba centrada 1 unidad más a la derecha. Eso me pasó porque cometí el siguiente error. Mi error fue cuando dije:  Era al revés  Tenía que decir:  Corrigiendo mi error, aquí va: ![TEX: <br />De acuerdo a las coordenadas $A,B,P$, se obtienen los siguientes vectores directores:<br />\[ \overrightarrow{AB} = (1,0) \hspace{2mm} \overrightarrow{AP} = (x,y) \hspace{2mm} \overrightarrow{BA} = (-1,0) \hspace{2mm} \overrightarrow{BP} = (x-3,y) \]<br /><br />Sea $\alpha$ el ángulo formado por los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AP}$.<br />Sea $\beta$ el ángulo formado por los vectores $\overrightarrow{BA}$ y $\overrightarrow{BP}$.<br /><br />Entonces,<br />\[ \cos(\alpha) = \frac{(1,0)\cdot(x,y)}{ \| (1,0) \| \cdot \| (x,y) \|} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \]<br />y<br />\[ \cos(\beta) = \frac{(-1,0) \cdot (x-3,y)}{\| (-1,0) \| \cdot \| (x-3,y) \|} = \frac{3-x}{\sqrt{(x-3)^2+y^2}} \]<br /><br />Se sabe que $\beta = 2\alpha$. De aquí, se deduce que<br />\begin{align*}<br /> \cos(\beta) &= \frac{3-x}{\sqrt{(x-3)^2+y^2}} \\<br /> \cos(2\alpha) &= \frac{3-x}{\sqrt{(x-3)^2+y^2}} \\<br /> 2\cos^2(\beta) - 1 &= \frac{3-x}{\sqrt{(x-3)^2+y^2}} \\<br /> \cdot \frac{2x^2}{x^2+y^2} - 1 &= \frac{3-x}{\sqrt{(x-3)^2+y^2}} \\<br /> \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} &= \frac{3-x}{\sqrt{(x-3)^2+y^2}} \\<br /> (x-1)^2 - \frac{y^2}{3} &= 1<br />\end{align*}<br />](/tex-image/8144e8439cdc46cb0b3def0c346f03dd.png) El último paso se justifica elevando al cuadrado y reducir. Mensaje modificado por Laðeralus el Oct 4 2013, 03:40 PM |
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