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¿Qué es FMAT?

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Certamen 1, Dmat, 2008

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 5 2009, 10:46 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: <br />\noindent 1. Sea $0<a_1<1$ y $\forall n\geq 1\colon a_{n+1}=1-\sqrt{1-a_n}$.<br />\begin{enumerate}<br />\item[a)] Probar que $\forall n\geq 1,\,0<a_n<1$.<br />\item[b)] Demostrar que $\{a_n\}$ es una sucesión decreciente.<br />\item[c)] Determinar, si existe, $\lim a_n$.<br />\end{enumerate}<br />2. Sea $(X,d)$ un espacio métrico.<br />\begin{enumerate}<br />\item[a)] Establezca la relación entre los conjuntos $\overline{A}\cap \overline{B}$ y $\overline{A\cap B}$, para cualquier par de subconjuntos $A,B \subseteq X$.<br />\item[b)] Para $A\subseteq X$ se define la frontera de $A$ por $\operatorname{Fr } (A) = \overline{A}\cap \overline{A^c}$. Probar que $\operatorname{Fr }(\operatorname{Int }(A)) \subseteq\operatorname{Fr }(A)$ y que la igualdad no es necesariamente cierta.<br />\end{enumerate}<br />3. Para la función $f\colon X\to Y$ entre los espacios métricos $X$ e $Y$, discuta la implicación<br />\begin{center}<br />$f$ continua en $X\quad\Rightarrow\quad f$ uniformemente continua en $X$<br />\end{center}<br />Es decir, determine bajo qué condición para los espacios métricos es válida y dé la demostración de ella. Además, muestre un contraejemplo de un caso en que la implicación no valga (debe probar las afirmaciones que haga sobre continuidad).\\[5mm]<br />4. Por definición, un subconjunto $A$ de un espacio métrico $X$ se denomina \textit{conexo<br />por arcos} ssi para todo par de puntos $x, y \in A$ existe una aplicación continua<br />(curva) $\alpha : [0, 1] \to A \subseteq X$ tal que $\alpha(0) = x$ y $\alpha(1) = y$. Demuestre que:<br />$A$ conexo por arcos $\Rightarrow A$ conexo.\\[5mm]<br />5. Construya una aplicación inyectiva $\phi: [0, 1[ \times [0, 1[\to [0, 1[$ y demuestre que<br />ninguna aplicación inyectiva entre estos conjuntos puede ser continua.<br />$ Para este certamen el tiempo era de 100 minutos. Cada problema son 12 puntos. Saludos! -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2009, 11:28 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Jugo Cesar Rodriguez @ Mar 5 2009, 11:46 AM) $TEX: <br />4. Por definición, un subconjunto $A$ de un espacio métrico $X$ se denomina \textit{conexo<br />por arcos} ssi para todo par de puntos $x, y \in A$ existe una aplicación continua<br />(curva) $f : [0, 1] \to A \subseteq X$ tal que $f(0) = x$ y $f(1) = y$. Demuestre que:<br />$A$ conexo por arcos $\Rightarrow A$ conexo.<br /><br />$ $TEX: Se mostrar\'{a} que si $A$ es no conexo, entonces $A$ no puede ser conexo<br />por arcos (es el contrarrec\'{\i}proco de la proposici\'{o}n original)<br /><br />Sea $X$ un espacio métrico (aunque en general, el resultado sigue siendo válido en un espacio topol\'{o}gico). Dado que $A\subset X$ es no conexo,<br />existen abiertos disjuntos $U,V\subset X$ tales que<br />\[<br />A\subset U\cup V,A\cap U\neq \varnothing \text{ y }A\cap V\neq \varnothing<br />\]<br /><br />Supongamos que $A$ es conexo por arcos, es decir, $\forall p,q\in A$, existe<br />una aplicaci\'{o}n continua<br />\[<br />f:[0,1]\rightarrow A\text{ tal que }f(0)=p,f(1)=q<br />\]<br /><br />donde $p\in A\cap U$ y $q\in A\cap V$.<br /><br />Dado que $U$ y $V$ son abiertos, se tiene que $f^{-1}(U)$ y $f^{-1}(V)$ son<br />abiertos. Son tambi\'{e}n disjuntos (caso contrario, existir\'{\i}a un<br />elemento en com\'{u}n $t$ tal que su im\'{a}gen $f(t)$ est\'{a} en $U$ y en $%<br />V$, lo que no puede ser ya que $U$ y $V$ son disjuntos). As\'{\i}, se tiene<br />que $0\in f^{-1}(U)$ (pues $f(0)=p\in U$) y an\'{a}logamente $1\in f^{-1}(V)$%<br />, y adem\'{a}s%<br />\[<br />\lbrack 0,1]=f^{-1}(A)\subset f^{-1}(U\cup V)=f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)<br />\]<br /><br />Esto significa que $[0,1]$ no es conexo, lo que es una contradicci\'{o}n con<br />el hecho de que los intervalos son siempre conexos en $\mathbb{R}$. Por lo tanto, $A$ no es<br />conexo por arcos.$ -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 11 2009, 10:38 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Jugo Cesar Rodriguez @ Mar 5 2009, 10:46 AM) $TEX: <br />\noindent 1. Sea $0<a_1<1$ y $\forall n\geq 1\colon a_{n+1}=1-\sqrt{1-a_n}$.<br />\begin{enumerate}<br />\item[a)] Probar que $\forall n\geq 1,\,0<a_n<1$.<br />\item[b)] Demostrar que $\{a_n\}$ es una sucesión decreciente.<br />\item[c)] Determinar, si existe, $\lim a_n$.<br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: $ $\\<br />Parte (a):\\<br />Por inducci\'on sobre $n$ tenemos que $a_{1}<1$ obviamente y si para alg\'un $k$ se tiene $a_{k}<1$ entonces $1-a_{k}<1$ porque $a_{k}>0$ as\'i que $\sqrt{1-a_{k}}<1$ y finalmente $a_{k+1}=1-\sqrt{1-a_{k}}<1$.\\<br />$ $\\<br />Parte (b):\\<br />De la parte (a) sacamos que $1-a_{k}<1$ y por tanto $1-a_{k}<\sqrt{1-a_{k}}$ luego $a_{k+1}=1-\sqrt{1-a_{k}}<a_{k}$ y la secuencia es decreciente.\\<br />$ $\\<br />Parte ©:\\<br />Postulamos la existencia de $L=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}$ que verifica:\\<br />i- $L\in\mathbb{R}$.\\<br />ii- $L\leq1$.\\<br />entonces cada subsucesi\'on de $a_{n}$ debe tambi\'en converger a $L$, en particular<br />\begin{eqnarray}<br />L=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}&=&\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}(1-\sqrt{1-a_{n}})\\<br />&=&1-\sqrt{1-\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}}=1-\sqrt{1-L}\Longrightarrow L=1-\sqrt{1-L}\Longrightarrow L=1<br />\end{eqnarray}<br />as\'i que el l\'imite es 1.<br />$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2011, 03:48 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 2b. Primero veamos que $TEX: $Fr(Int(A))=\overline{Int(A)}\cap \overline{(Int(A))^c}=\overline{Int(A)}\cap \overline{\overline{A^c}}=\overline{Int(A)}\cap \overline{A^c}$$ . Luego, se cumple que $TEX: $Fr(Int(A))\cup Fr(A)=(\overline{Int(A)}\cap \overline{A^c})\cup (\overline{A}\cap \overline{A^c})$$ . Esto último es igual a $TEX: $\overline{A^c}\cap(\overline{A}\cup \overline{Int(A)})$$ . Como $TEX: $Int(A)\subseteq A$$ , se sigue que $TEX: $\overline{Int(A)}\subseteq \overline{A}$$ . Luego $TEX: $\overline{A}\cup \overline{Int(A)}=\overline{A}$$ . Es decir, $TEX: $\overline{A^c}\cap(\overline{A}\cup \overline{Int(A)})=\overline{A^c}\cap \overline{A}=Fr(A)$$ . Hemos obtenido que $TEX: $Fr(Int(A))\cup Fr(A)=Fr(A)$$ , de donde $TEX: $Fr(Int(A))\subseteq Fr(A)$$ . Sea $TEX: $A$$ cerrado. Como $TEX: $Int(A)=A$$ si y solo si $TEX: $A$$ es abierto (), tenemos que $TEX: $Int(A)\subset A$$ de donde $TEX: $\overline{Int(A)}\subset \overline{A}$$ . Por (), se sigue que al ser A cerrado, $TEX: $\overline{A}\setminus \overline{Int(A)}$$ es no vacío. Sea $TEX: $x\in \overline{A}\setminus \overline{Int(A)}$$ . Como $TEX: $x\not \in \overline{Int(A)}$$ , se sigue que $TEX: $x\not \in Int(A)$$ , de donde $TEX: $x\in \overline{A^c}$$ . Luego, $TEX: $x\in (\overline{A}\cap \overline{A^c})=Fr(A)$$ . Pero $TEX: $x\not \in (\overline{Int(A)}\cap \overline{A^c})=Fr(Int(A))$$ . Por lo tanto no se alcanza necesariamente la igualdad. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2011, 09:59 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La demostración típica de la 4, utiliza varios hechos conocidos: * La unión de conexos con intersección no vacío, es conexa. * [0,1] es conexo. * Las funciones continuas llevan conexos en conexos. Con esto, dado un punto z de un arcoconexo A, para cada x existe una curva $TEX: $C_x:\left[0,1\right]\rightarrow A$$ que empieza en x y termina en x. Luego, A se escribe como $TEX: $A=\bigcup_{x\in A}C_x \left[ 0,1 \right]$$ que es unión de conexos con un punto en común, pues cada $TEX: $C\left[0,1\right]$$ es conexo y $TEX: $C_x(0)=z$$ para todo x en A. -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

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