Olimpiada Nacional Nivel Mayor Año 2004 Opciones

[Rurouni Kenshin]

Bueno..pensando desde ya en la Olimpiada Nacional les posteo los problemas de la Clasificacion y de la Final Nacional del Nivel Mayor de la Olimpiada Nacional de Matematicas..asi que posteen sus soluciones...(aqui hasta los entrenadores se podrian pegar su ayudadita posteando los que ellos hicieron )





Bueno...estoy algo cansado..espero mas ratito animarme a postear los problemas de la fase Final del Nivel Mayor...

Saludos


PD:Espero que posteen sus soluciones asi como espero que los entrenadores nos delumbren con las soluciones que ellos entregaron cuando dieron la prueba...(me consta que en ocasiones eran mas novedosas que las soluciones del jurado de la Olimpiada )

[Rurouni Kenshin]

Bueno..y como lo prometido es deuda..aqui van los problemas de la Final Nacional
P1 ) Una empresa con 2004 trabajadores,celebro su aniversario invitando a todos a un almuerzo servido en una mesa redonda.Cuando se sentaron alrededor de esta mesa los 2004 trabajadores, formaron un circulo de personas y al poco tiempo descubrieron que todos ellos tenian salario distinto y ademas que la diferencia entre los sueldos de dos vecinos cualesquiera,en la mesa redonda,era de 2000 o bien 3000 pesos.Calcule la maxima diferencia que puede haber entre los sueldos de estos trabajadores.

P2 ) Todo punto de una recta esta pintado de color rojo o bien de color azul.Demuestre que siempre existen tres puntos A,B,C que estan pintados de igual color y son tales que el punto B es el punto medio del segmento AC.

P3 ) El perimetro,es decir, la suma de las longitudes de todos los lados de un cuadrilatero convexo ABCD, es igual a 2004 metros; mientras que la longitud de su diagonal AC es igual a 1001 metros.
Investigue si la longitud de la otra diagonal BD puede:
i)Ser igual a solo un metro
ii)ser igual a la longitud de la diagonal AC

P4 ) Se toma el numero 2^2004 y se calcula la suma S de todos sus digitos.Luego se calcula la suma de todos los digitos de S para obtener R.A continuacion se calcula la suma de todos los digitos de R y asi sucesivamentehasta llegar a un numero de un solo digito.Encuentrelo.(Por ejemplo si tomamos 2^7-128,encontramos que S=11,R=2.Asi en este caso de 2^7 el digito buscado sera 2)

P5 ) Sobre la superficie infinita del mar flota una mancha de petroleo negra y acotada.Al cabo de cada minuto la mancha y el mar cambian segun la sigueinte ley:en cada punto P del mar(o de la mancha) se considera un disco D de radio 1 centrado en P.Si mas de la mitad del area dentro del disco D tiene color negro,el punto P permanecera negro durante el proximo minuto.Si mas de la mitad del area dentro del disco D esta de color azul marino,el punto P tendra color azul marino durante el minuto siguiente.En el caso de que tanto el area limpia como la contaminada dentro del disco D sean iguales,su centro P no cambiara de color.¿Puede aquella mancha "vivir" siempre o desaparecera en algun momento?

P6 ) Los segmentos AB,BC y CD de la poligonal ABCD tienen la misma longitud y son tangentes a una circunferencia S,de centro el punto O.Sea P el punto de tangencia de BC con S, y sea Q el punto de interseccion de las rectas AC y BD.Demuestre que el punto Q es colineal con los puntos P y O.

[orly]

Ya pues chiquillos, animense a tratar de resolver los problemas, ya llevan algún tiempo ahí, y todavía ningún post tratando de solucionar alguno, bueno, ánimo y sigan intentando (voy a seguir al pie de la letra las instrucciones de David, y no postearé las soluciones mias)...

[Caetano]

Solucion problema 6 final: (aprendiendo a ocupar cabri )


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img112.imageshack.us/img112/7417/fmat113qu.png');}" />


Trazemos los segmentos OB y OC. Tenemos que <ABO=<OBC=x, puesto que los triangulos BTO y BPO son congruentes (<OTB=<OPB=90, entonces BT^2=OB^2 - OT^2 y BP^2=OB^2 - OP^2, pero OT=OP, por que son radios de S, entonces BT^2=BP^2 => BT=BP, y por lo tanto BTO y BPO son congruentes por LLL ), y analogamente <PCO=<RCO=y. Como los triangulos ABC y BCD son isosceles, entonces la bisectriz que va del angulo "verticial" tambien es altura, y por lo tanto OB perp AC y OC perp BD. Ahora notemos en el triangulo BOC ya hay dos alturas trazadas. y por lo tanto el segmento que va de O a BC pasando por Q tambien lo es, y por lo tanto OP' perp BC. Pero OP tambien es perp a BC (P es el punto de tangencia), y por lo tanto P y P' coinciden. Luego, O, Q y P son colineales.

Nos vemos :hola:

[MasterIN®]

Hola...taba bn desaperecido...pero...bueno....vamos a hacer algo...almenos la parte uno del problema 3 x ahora...la dos.,.no alcanzo a hacerla ahora....asi q después la posteo...

P3 ) El perimetro,es decir, la suma de las longitudes de todos los lados de un cuadrilatero convexo ABCD, es igual a 2004 metros; mientras que la longitud de su diagonal AC es igual a 1001 metros.
Investigue si la longitud de la otra diagonal BD puede:
i)Ser igual a solo un metro
ii)ser igual a la longitud de la diagonal AC

SOL
i) Veamos la siguiente figura...



Como se ve en la figura, BD = BE + DE y AE + CE = 1001
Ahora bien, aplicaremos algunas desigualdades de triángulos...
¤ BE + AE > AB
¤ BE + CE > BC
¤ DE + CE > CD
¤ DE + AE > AD
--------------------------------
SUMANDO
2(DE + BE) + 2 (AE + CE) > 2004 ( AB+BC+CD+AD=PERÍMETRO=2004)
2(DE + BE) + 2*1001 > 2004
2(DE + BE) + 2002 > 2004 / - 2002
2(DE + BE) > 2 / *1/2
DE + BE >1
--------------------
| BD >1 |
---------------------
Por lo tanto no puede ser 1 ....gracias...

De la dos...solo llevo esto
CD + CB > BC
AB + AD > BC
------------------
SUMANDO
AB + CB + CD + AD > 2*BC
2004 > 2*BC
1002 > BC
Pero creo que algo le falta a eso...no sé...no se ve muy bien lo último....bueno..eso...nos estamos viendo....Adiós
by mAstEr®

[MasterIN®]

P1 Clasificación: Investigue si existe un numero entero positivo N tal que si se borra el primer digito de su expresion decimal,resulta un numero p tal que N es 58 veces p.

R= Sea N=a*10^k + p (donde k es un número entero positivo). Supongamos que el enunciado es verdadero, es decir que N=58p, tenemos que: 58p=a*10^k+p, entonces 57p=a*10^k

La primera conclusión que podemos sacar es que p=10k (aunque esto no nos servirá en el resultado final )

Entonces, veamos que congruencia nos combiene utilizar. Fijémonos que 57=3*19, entonces, podemos usar congruencia en mod. 3 ó 9.

Obsevermos que: 10 ≡ -9 (mod. 19) ==> 10^k ≡ (-9)^k (mod. 19) y que
10 ≡ 1 (mod. 3) ==> 10^k ≡ 1^k (mod. 3) ==> 10^k ≡ 1 (mod.3)

Luego:
57p ≡ a*10^k (mod. 3)
3*19p ≡ a*1 (mod.3)
0 ≡ a (mod. 3)

Entonces, a puede tomar los valores de 3,6 ó 9 (ya que a es un dígito distinto de 0)

57p ≡ a*10^k (mod.19)
3p*19 ≡ a*10^k (mod. 19)
0 ≡ a*(-9)^k (mod. 19)

Luego a=19b , pero como a es un dígito, que puede ser 3,6 ó 9, tenemos una contradicción.

Entonces, no existe N con las condiciones pedidas.

by mAsTeR®

[MasterIN®]

P4 ) Se toma el numero 2^2004 y se calcula la suma S de todos sus digitos.Luego se calcula la suma de todos los digitos de S para obtener R.A continuacion se calcula la suma de todos los digitos de R y asi sucesivamentehasta llegar a un numero de un solo digito.Encuentrelo.(Por ejemplo si tomamos 2^7-128,encontramos que S=11,R=2.Asi en este caso de 2^7 el digito buscado sera 2)

Veamos los siguientes resultados siguiente del número buscado en cada caso:
2^0=1 ==> 1
2^1=2 ==> 2
2^2=4 ==> 4
2^3=8 ==> 8
2^4=16 ==>7
2^5=32 ==>5
2^6=64 =>10 ==> 1
2^7=128 =>11 ==> 2
2^8=256 =>13==> 4
2^9=512 ==>8
2^10= 1024 ==>7
2^11= 2048 =>14 ==> 5
2^12 = 4096=>19 =>10 ==> 1
.....
....
....

Y así se ve como se va formando un ciclo [1,2,4,8,7,5]
Por lo tanto para calcular S de 2^2004 se deber ver el lugar de 2^2004 en el ciclo. Como el ciclo parte en 0, entonces se encuentra en la posición 2^2004 se encuentra en la posición 2005 del ciclo. Ahora 2005 deja resto 1 en la división por 6 (el total de elementos del ciclo), entonces, El número buscado es 1.

by mAsTeR®

[S. E. Puelma Moy...]

Viendo las soluciones que pusiste, comento brevemente una de ellas

El problema donde planteaste , fíjate que el lado derecho es múltiplo de 19, pero no es posible ver que o bien que . El problema es rápido de resolver

[iMPuRe]

Clasificación Problema 1

Sea donde es un dígito y tiene dígitos. Por enunciado y como y tal no existe.

[iMPuRe]

Final Problema 4

Recordemos que todo numero es congruente a la suma de sus cifras en mod.9 (Propuesto para el lector, como indicación utilizar descomposición decimal y mod.9). Usando lo anterior sucesivamente tenemos que el numero final es congruente al inicial en mod.9, notemos que , así el numero final necesariamente es .