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Ma Lin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 24 2009, 07:14 PM Publicado: #11
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 309 Registrado: 2-December 08 Desde: Cerro Navia Miembro Nº: 40.183 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(felper @ Feb 20 2009, 04:06 PM) La probabilidad de que una cuerda trazada al azar sobre una circunferencia sea mayor que el radio, estará dada por el cociente área sobreada/área total: [attachment=21401:asdf.png] donde el área está limitada por dos cuerdas mínimas paralelas de largo r (es decir, estaríamos encerrando toda el área del círculo en la que si se traza una cuerda, esta medirá a lo menos r). La posición de los trazos respecto a la circunferencia es genérica, por lo que si se traza una cuerda no paralela a las trazadas en el dibujo, bastaría rotar los trazos para así conseguir lo pedido. Ahora, determinamos el área de la figura: [attachment=21402:asdf2.png] como vemos en la figura, para determinar el área sombreadad, sólo debemos determinar el doble del área de un triángulo equilátero de lado r, y dos sectores circulares de arco de 60º (o equivalentemente, uno de 120º): $TEX: \begin{align}<br /> a_{triangulo} &= \dfrac{{r^2 \sqrt 3 }}{4} \\ <br /> 360 &= \pi r^2 \\ <br /> 120 &= x \\ <br /> x &= \dfrac{1}{3}\pi r^2 \\ <br /> a_{sombreada} &= 2\left( {\dfrac{{r^2 \sqrt 3 }}{4} + \dfrac{1}{3}\pi r^2 } \right) \\ <br /> a_{sombreada} &= \left( {\dfrac{{r^2 \sqrt 3 }}{2} + \dfrac{2}{3}\pi r^2 } \right) \\ <br /> \frac{{a_{sombreada} }}{{a_{total} }} &= \dfrac{{\left( {\dfrac{{r^2 \sqrt 3 }}{2} + \dfrac{2}{3}\pi r^2 } \right)}}{{\pi r^2 }} =\boxed{\dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\pi }} + \dfrac{2}{3}} \\ <br /> \end{align}<br />$ créditos a gastón por la ayuda con el tex xd espero esté bien el desarrollo Muy bien!!! Está correcto CITA(Kaissa @ Feb 20 2009, 04:13 PM) $TEX: $ $\\<br />P(evento)=$\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{r\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx}{\displaystyle\int_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx}$.\\<br />soluci\'on alternatva.$ ¿Por qué considerastes esos límites de integración? Al tratar de resolver este problema llegué a un resultado distinto al de felper. Por eso dí la indicación de fundamentar la respuesta. ¿Es posible tener dos soluciones correctas, y distintas? La respuesta está en el siguiente pdf Saludos Archivo(s) Adjunto(s) Paradoja_de_Bertrand.pdf ( 206.75k ) Número de descargas: 33

Sinedra Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 24 2009, 07:53 PM Publicado: #12
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 148 Registrado: 14-March 08 Desde: (4,5,91) Miembro Nº: 16.875 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola, yo lo pense asi, esta bien ? si no, que es lo que esta malo ?

SuKeVinBellaKo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2022, 03:17 AM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 524 Registrado: 2-October 13 Miembro Nº: 122.939 Nacionalidad: Sexo:	CITA(2.718281828 @ May 9 2022, 05:53 PM) Como carajos va a estar correcto? La probabilidad ES 2/3. No me jodan. Esto se llama problema de Bertrand. Pueden buscarlo en Mathworld como circle line picking. Tomar un punto en la circunferencia de manera aleatoria corresponde a que el angulo tiene distribución uniforme, o mas bien dicho, la medida de probabilidad asociada es proporcional a la longitud de los arcos. Lebesgue or whatever. Básicamente si tu tomas aleatoriamente dos puntos en la circunferencia, para que la cuerda sobrepase al radio, el arco que produce la cuerda debe sobrepasar el ángulo de pi/3, es decir, el arco debe abarcar 2/3 de la semi circunferencia. Por argumentos de simple simetría, se tiene que la probabilidad es 2/3. No me jodan. Saludos Claudio. Claudio, me sorprende que digas que cierta respuesta ES correcta. Sabes que en esta paradoja la interpretacion que uno le da al "tomar una cuerda al azar" te da diferentes distribuciones de probabilidad, eso hace que hayan multiples respuestas "correctas". Saludos Kevin, el Bellaco

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