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igualdad con un minimo, con numeros complejos zzz

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Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2009, 04:13 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Sean $TEX: $z_1,z_2,z_3$$ numeros complejos tales que $TEX: $\|z_1\|=\|z_2\|=\|z_3\|=j$$ , $TEX: $z_2\not= z_3$$ . Pruebe que $TEX: $min_{a\in \mathbb{R}} \|az_2+(1-a)z_3-z_1\|=\frac{1}{2j}\|z_1-z_2\|\cdot \|z_1-z_3\|$.$ limitese a postear si ya se sabe el desarrollo

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2009, 06:53 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Complejos.png ( 121.76k ) Número de descargas: 8 $TEX: Sean $A, B, C$ los afijos de $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, respectivamente, y $O$ el origen del plano complejo. Por enunciado $AO=BO=CO$. Previamente notemos que $az_{2}+(1-a)z_{3}-z_{1}=a(z_{2}-z_{3})+(z_{3}-z_{1})$ Llamemos $R$ al afijo de $(z_{2}-z_{3})$. Claramente $a(z_{2}-z_{3})$ es una recta que pasa por el origen. Por otra parte, los afijos de $O, z_{i}, z_{j}, z_{i}- z_{j}$ son los vertices de un paralelogramo, luego $O,B,C,R$ son los vertices de un paralelogramo. Este problema es equivalente al siguiente $\to OR//BC$. Ocupando lo expuesto aca, podemos reformular el problema de la sig forma$ $TEX: "Sea $\triangle ABC$ un triangulo de circumcentro $O$. A travez de $O$ trazamos una paralela a $BC$. Sea $P$ un punto variable sobre esa paralela. Sea $M$ un punto tal que OACM es un paralelogramo, y Q un punto tal que MOPQ es un paralelogramo. Entonces se cumple que <br /><br />$OQ\ge \displaystyle \frac{AB \cdot AC}{2R}$<br /><br />Donde R es el circumradio del $\triangle ABC$"<br />$ $TEX: Para resolver este problema, sean $H$ y $N$ las proyecciones ortogonales de $A$ y $O$ sobre $BC$ y $MQ$, respectivamente. Podemos ver que $OQ\ge ON$ (con igualdad si y solo si $N=Q$). Ahora, notemos que $AH=ON$ (pues $\triangle AHC\sim \triangle ONM$). Por otra parte, es sabido que $S_{ABC}=\displaystyle \frac{BC\cdot AH}{2}=\displaystyle \frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R}\to AH=\displaystyle \frac{AB\cdot AC}{2R}$. Por lo tanto $OQ\ge ON=AH=\displaystyle \frac{AB\cdot AC}{2R}$ $\blacksquare$$ Espero que este bien. Saludos. -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 9 2009, 04:55 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	También le di una interpretación geométrica, pero es distinta a la exhibida arriba: Sean A, B, C los afijos de z₁, z₂, z₃ , respectivamente. Entonces ABC es un triángulo inscrito en una circunferencia con centro O, origen del plano complejo. az₁+(1-a)z₂, con a real, es la ecuación de la recta BC. Entonces el mínimo en el lado izquierdo de la igualdad es la menor de las longitudes de segmentos AP, con P en la recta BC. O sea, la longitud de la altura. Si R es el radio de la circunferencia circunscrita, entonces este problema es una reinterpretación del problema 5, Olimpiada del Cono Sur 1992. Imagino que ese problema está publicado (y resuelto) en algún lugar de FMAT que ahora no recuerdo. (PD: estoy sin tiempo para intentar una solución sin interpretación geométrica). -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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