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Resuelva en N, x^3+y^3=x^2y^2

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 11 2009, 05:49 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Resuelva en $TEX: $\mathbb{N}$$ $TEX: $x^3+y^3=x^2y^2$$ cualquiera puede responder!

La.Catiita Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 11 2009, 06:53 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 22-January 09 Desde: Concepción Miembro Nº: 42.436 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Me siento tonta... no logro razonar... igual eta bueno el problemita...

Ma Lin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 11 2009, 11:23 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 309 Registrado: 2-December 08 Desde: Cerro Navia Miembro Nº: 40.183 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución: $TEX: <br />\[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Sea }}x = k \cdot y,{\text{ (con }}k \in N{\text{) el cambio de variable a usar}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \Rightarrow (ky)^3 + y^3 = (ky)^2 y^2 \hfill \\<br /> \Rightarrow (k^3 + 1)y^3 = (k^2 )y^4 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Como estamos buscando soluciones enteras, podemos afirmar que }}y \ne 0. \hfill \\<br /> \Rightarrow (k^3 + 1) = (k^2 )y \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Despejando }}y{\text{ se obtiene:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> y = \frac{{k^3 + 1}}<br />{{k^2 }} = k + \frac{1}<br />{{k^2 }} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Luego, el valor de }}x{\text{ est\'a dado por:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> x = k \cdot (k + \frac{1}<br />{{k^2 }}) = k^2 + \frac{1}<br />{k} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Finalmente el conjunto soluci\'on est\'a dado por:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{(x, y) = (}}k^2 + \frac{1}<br />{k},k + \frac{1}<br />{{k^2 }}{\text{)}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Y como se nos est\'a pidiendo soluciones naturales, se tiene que dar:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{k},\frac{1}<br />{{k^2 }} \in N{\text{ (y esto se logra solamente cuando }}k = 1{\text{)}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Por lo tanto la soluci\'on buscada es: (x, y) = (2,2)}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Salu2}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 12 2009, 12:05 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Estás diciendo que todas las soluciones son de la forma (ky,y), con k natural. Es decir: estás diciendo que x debe ser múltiplo de y. No estás justificando esa suposición, por lo tanto todavía esperamos una solución para el problema -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Ma Lin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 12 2009, 12:14 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 309 Registrado: 2-December 08 Desde: Cerro Navia Miembro Nº: 40.183 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Feb 12 2009, 02:05 PM) Estás diciendo que todas las soluciones son de la forma (ky,y), con k natural. Es decir: estás diciendo que x debe ser múltiplo de y. No estás justificando esa suposición, por lo tanto todavía esperamos una solución para el problema Justificación: Caso 1: Si x e y son impares: Este caso no puede ocurrir ya que $TEX: $x^{3}+y^{3}$$ sería par, y $TEX: $x^{2}y^{2}$$ sería impar. Caso 2: x par, y impar (S.P.G): Este caso no puede ocurrir ya que $TEX: $x^{3}+y^{3}$$ sería impar, y $TEX: $x^{2}y^{2}$$ sería par. Luego el único caso posible de solución es que x e y sean pares. Luego es posible encontrar un $TEX: $k \in Q$$ (sorry), que cumple la propiedad de que $TEX: $x=ky$$ Pd: Creo que con eso debe quedar claro. Saludos.

Mel S. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 3 2009, 05:44 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 12 Registrado: 27-July 09 Miembro Nº: 56.040 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Feb 11 2009, 07:49 PM) Resuelva en $TEX: $\mathbb{N}$$ $TEX: $x^3+y^3=x^2y^2$$ cualquiera puede responder! $TEX: Sea $(x;y)=d$. Entonces, $x=ad$ y $y=bd$ con (a;b)=1<br /><br />Reemplazando $x=ad$ e $y=bd$, obtenemos:<br /><br />$a^{3}d^{3} + b^{3}d^{3} = d^{4}a^{2}b^{2}$<br /><br />$d^{3}(a^{3}+b^{3}) = d^{4}a^{2}b^{2}$<br /> <br />$a^{3}+b^{3} = da^{2}b^{2}$ <br /><br />Y factorizando $a^{3}+b^{3}$,<br /><br />$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) = da^{2}b^{2}$$ $TEX: Como $(a;b)=1$, $(a+b;a)=1$ y $(a+b;b)=1$ $(a+b;ab)=1$ <br />Entonces $(a+b;ab)=1$ y luego $(a+b;a^{2}b^{2})=1$<br /><br />Análogamente para $a^{2}-ab+b^{2}$, concluimos que $(a^{2}-ab+b^{2};a^{2}b^{2})=1$ <br /><br />De aquí vemos que o $a^{2}-ab+b^{2}=d$ o bien $a^{2}-ab+b^{2}=1$. Analicemos el primer caso. Si $a^{2}-ab+b^{2}=d$ entonces $a+b=a^{2}b^{2}$. Pero $(a+b;a^{2}b^{2})=1$, entonces tendremos dos posibilidades: $a+b=1$, que es imposible ya que $a\ge 1$ y $b\ge 1$; o $a^{2}b^{2}$ por lo que $a=1$ y $b=1$. $x=y=2$<br /><br />Si $a^{2}-ab+b^{2}=1$, entonces $a+b=da^{2}b^{2}$, pero $(a+b;a^{2}b^{2})=1$. De aquí que $a+b=1$, que ya vimos es imposible porque $a\ge 1$ y $b\ge 1$; o $a^{2}b^{2}$ por lo que $a=1$ y $b=1$. $x=y=2$<br />$ $TEX: Única solución $x=y=2$$

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 3 2009, 10:00 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	la solucion esta correcta, bienvenido al foro -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2010, 12:30 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aca va otra respuesta, $TEX: $$x^3+y^3=x^2y^2$$, asumimos sin perdida de generalizacion que $x\ge y$, entonces $x=yk$, con $k\ge 1$ con $k\in\mathbb{Q}$, entonces: $$k^3-k^2y+1=0$$<br />Por teorema de la raiz racional para un polinomio de coeficientes y exponentes enteros, de la forma $a_0x^n+........+a_{n-1}x+a_n$, y siendo $r$ una raiz de este, tal que $r=p/q$, con $p,q\in\mathbb{Z}$, y con $(a_0,a_1,......,a_n)=1$ y $(p,q)=1$, se cumple que $q\|a_0,p\|a_n$,tomando en cuenta esto para el polinomio de la forma $k^3-k^2y+1=0$, siendo $h$ una raiz racional de la ecuacion (es decir que la ecuacion se cumple con $k=h$), y siendo $h=g/j$, se cumple que $j\|1,g\|1$, entonces $h=1$ o $h=-1$, pero si $k=-1$, $k\ge 1$, contradiccion, entonces el unico valor racional posible para $h$ y por lo tanto el valor de $k$, es $k=1$, y por ende $x=y$, entonces la ecuación se remite a $2x^3=x^4$, entonces $x=y=2$, y concluimos$ Saludos Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Mar 4 2010, 02:09 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 4 2010, 02:07 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	. Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Apr 3 2010, 03:55 PM -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 28 2011, 02:20 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Aqui otra solucion: Supongamos que $TEX: $x$$ y $TEX: $y$$ son distintos, entonces existe un primo $TEX: $p$$ tal que $TEX: $e_p(y)\neq e_p(x)$$ , y wlog que $TEX: $e_p(y)>e_p(x)$$ . Entonces $TEX: $e_p(x^3+y^3)=3e_p(x)$$ y $TEX: $e_p(x^2y^2)=2e_p(x)+2e_p(y)$$ . Entonces $TEX: $3e_p(x)=2e_p(x)+2e_p(y)\implies e_p(x)=2e_p(y)>2e_p(x)\implies 0>e_p(x)$$ , contradiccion. Asi que $TEX: $x=y$$ de donde trivialmente $TEX: $x=y=2$$ -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

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