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Propuesto 41, Factores Primos

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Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 3 2009, 12:15 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $${\text{Calcular }}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\tfrac{{2^{\nu \left( n \right)} }}{{n^s }}} ,{\text{donde }}\nu \left( n \right){\text{es el n\'u mero de factores primos distintos de }}n$$$ . $TEX: $${\text{Usar lo anterior para calcular }}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\tfrac{{2^{\nu \left( n \right)} }}<br />{{n^2 }}}$$$ . $TEX: $$\nu \left( 1 \right) = 0$$$ $TEX: $$\Re \left( s \right) > 1$$$ -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2009, 03:05 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: $2^{v(n)}$$ se puede escribir como la convolución de la función aritmética idénticamente igual a 1 y la función aritmética que es el valor absoluto de la función de Möbius. Luego, la serie de Dirichlet de $TEX: $2^{v(n)}$$ es igual al producto de la suma de la serie de Dirichlet de 1 y la suma de la de la serie de Dirichlet de $TEX: $\|\mu\|$$ . Esto es, $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{v(n)}}{n^{s}} = \left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}\right) \left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\|\mu(n)\|}{n^{s}} \right) = \zeta(s)f(s)$$ donde $TEX: $\displaystyle f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\|\mu(n)\|}{n^{s}}$$ . El problema se ha reducido entonces a la obtención de una expresión cerrada para $TEX: $f(s)$$ . Esto lo haremos con ayuda de la función $TEX: $g$$ que obtenemos al convolucionar a $TEX: $\mu$$ y $TEX: $\|\mu\|$$ . Como $TEX: $g(n) = (\mu \ast \|\mu\|)(n) = \left\{ \begin{array}{ll}<br /> \mu(m) & \mathrm{si} \quad n = m^{2},\\<br /> 0 & \mathrm{e.o.c.}\end{array} \right.$$ y $TEX: $(\mu \ast 1)(n) = \left\{ \begin{array}{ll}<br /> 1 & \mathrm{si} \quad n = 1,\\<br /> 0 & \mathrm{e.o.c.} \end{array} \right.$$ se sigue que $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\|\mu(n)\|}{n^{s}} = \zeta(s) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{g(n)}{n^{s}}$.$ De la igualdad anterior y de la fórmula (generalizada y standard) de Euler del producto se sigue ahora que $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{g(n)}{n^{s}} = \prod_{p-\mathrm{primo}} \left(1 + \frac{g(p)}{p^{s}} + \frac{g(p^{2})}{p^{2s}} + \ldots\right) = \prod_{p-\mathrm{primo}} \left[1 + \frac{g(p^{2})}{p^{2s}} \right] = \prod_{p-\mathrm{primo}} \left(1 - \frac{1}{p^{2s}} \right) = \frac{1}{\zeta(2s)}.$$ Así, $TEX: $\displaystyle f(s) = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}$$ y de ahí que $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{v(n)}}{n^{s}} = \zeta(s)f(s) = \frac{\zeta^{2}(s)}{\zeta(2s)}$$ . -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2009, 03:42 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Para evaluar la suma de la segunda serie utilizamos lo obtenido en el post previo y el resultado central de este trabajo. La suma solicitada es $TEX: $\displaystyle \frac{\zeta^{2}(2)}{\zeta(4)} = \frac{\pi^{4}/36}{\pi^{4}/90} = \frac{5}{2}.$$ Para mayor información sobre la evaluación del denominador de la fracción anterior ir a la demostración 8 del escrito traducido por Krizalid o preguntar con Jean. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2009, 11:45 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(coquitao @ Sep 11 2009, 04:05 AM) $TEX: $2^{v(n)}$$ se puede escribir como la convolución de la función aritmética idénticamente igual a 1 y la función aritmética que es el valor absoluto de la función de Möbius. Luego, la serie de Dirichlet de $TEX: $2^{v(n)}$$ es igual al producto de la suma de la serie de Dirichlet de 1 y la suma de la de la serie de Dirichlet de $TEX: $\|\mu\|$$ . Esto es, $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{v(n)}}{n^{s}} = \left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}\right) \left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\|\mu(n)\|}{n^{s}} \right) = \zeta(s)f(s)$$ donde $TEX: $\displaystyle f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\|\mu(n)\|}{n^{s}}$$ . El problema se ha reducido entonces a la obtención de una expresión cerrada para $TEX: $f(s)$$ . Esto lo haremos con ayuda de la función $TEX: $g$$ que obtenemos al convolucionar a $TEX: $\mu$$ y $TEX: $\|\mu\|$$ . Como $TEX: $g(n) = (\mu \ast \|\mu\|)(n) = \left\{ \begin{array}{ll}<br /> \mu(m) & \mathrm{si} \quad n = m^{2},\\<br /> 0 & \mathrm{e.o.c.}\end{array} \right.$$ y $TEX: $(\mu \ast 1)(n) = \left\{ \begin{array}{ll}<br /> 1 & \mathrm{si} \quad n = 1,\\<br /> 0 & \mathrm{e.o.c.} \end{array} \right.$$ se sigue que $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\|\mu(n)\|}{n^{s}} = \zeta(s) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{g(n)}{n^{s}}$.$ De la igualdad anterior y de la fórmula (generalizada y standard) de Euler del producto se sigue ahora que $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\|\mu(n)\|}{n^{s}} = \prod_{p-\mathrm{primo}} \left(1 + \frac{g(p)}{p^{s}} + \frac{g(p^{2})}{p^{2s}} + \ldots\right) = \prod_{p-\mathrm{primo}} \left[1 + \frac{g(p^{2})}{p^{2s}} \right] = \prod_{p-\mathrm{primo}} \left(1 - \frac{1}{p^{2s}} \right) = \frac{1}{\zeta(2s)}.$$ Así, $TEX: $\displaystyle f(s) = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}$$ y de ahí que $TEX: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{v(n)}}{n^{s}} = \zeta(s)f(s) = \frac{\zeta^{2}(s)}{\zeta(2s)}$$ . CITA(coquitao @ Sep 11 2009, 04:42 AM) Para evaluar la suma de la segunda serie utilizamos lo obtenido en el post previo y el resultado central de este trabajo. La suma solicitada es $TEX: $\displaystyle \frac{\zeta^{2}(2)}{\zeta(4)} = \frac{\pi^{4}/36}{\pi^{4}/90} = \frac{5}{2}.$$ Para mayor información sobre la evaluación del denominador de la fracción anterior ir a la demostración 8 del escrito traducido por Krizalid o preguntar con Jean. Magnífica respuesta, me saco el sombrero. Pediría dejarlo en destacado, si no hay atados con eso; en caso contrario dejarlo en resueltos (como les plazca). Atentamente Jean Mensaje modificado por Jean Renard Granier el Sep 11 2009, 08:49 PM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

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