XI OMCS (2000), Uruguay Opciones

[Killua]

11ª OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS DEL CONO SUR
Montevideo, Uruguay, 2000

Primera Prueba

Problema 1: Decida si existe tal que posee la siguiente propiedad: sus dígitos, leídos de izquierda a derecha, están en orden no creciente.

Problema 2: En un tablero de distribuimos los enteros de a , uno en cada casilla. Luego, se colocan sobre el tablero (sin superponerse) fichas de , que cubren perfectamente cuatro casillas. La suma de los cuatro números cubiertos por cada ficha, debe ser menor que .

Muestre una distribución de números, que maximice el número de fichas que pueden ser colocadas.

Pruebe que no es posible lograr una distribución que permita colocar más fichas.

Problema 3: Un cuadrado de lado 2 es dividido en rectángulos, por varias rectas paralelas a su lados (algunas horizontales y otras verticales). Se colorean los rectángulos alternadamente de blanco y negro, similar a tablero de ajedrez. Pruebe que, si el área blanca es igual al área negra, entonces se puede formar, con los rectángulos negros y sin superposición, un rectángulo mayor de dimensiones

Segunda Prueba

Problema 4: Sean un cuadrado (en sentido horario) y un punto. Construya el cuadrado (en sentido horario). Pruebe que es tangente al circuncírculo del

Problema 5: Considere la siguiente operación en : elegir un punto en y realizar la rotación con centro en él, en y en sentido antihorario. ¿Es posible, luego de una sucesión finita de operaciones, pasar del triángulo de vértices al triángulo de vértices ?

Problema 6: Determine si existe un entero positivo divisible por el producto de su dígitos, tal que ese producto es mayor que

Resumen de soluciones

Problema 1: Pendiente de solución.
Problema 2: Pendiente de solución.
Problema 3: Pendiente de solución.
Problema 4: Aquí, resuelto por Killua.
Problema 5: Pendiente de solución.
Problema 6: Pendiente de solución.

Saludos

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p5) ... haciendo una rotacion positiva de 90 grados con centro en un punto cualquiera R de coordenadas enteras (p,q) , el resto de los puntos los podemos generalizar como T=(p+x,p+y) , donde x,y son enteros positivos o negativos dependiendo de la posicion del punto con respecto al punto R
De esta forma luego de la rotacion el punto T quedara denotado por
T`= (p-y,q+x) , luego de otra rotacion la mismo punto T``=(p-x,q-y), luego de otra T```=(p+y,q-x) y luego de otra volveremos al punto T=(p+x,q+y)
notemos que la suma del par ordenado de los punto producidos por su rotación, no cambia de paridad, es decir, denotando S(T) como la suma de los pares ordenados de T , tenemos que
S(T)=(p+q)+x+y=S(T`)=(p+q)+(x-y) mod(2)
<=> x+y=x-y mod (2) <=> y=-y mod (2) lo que es cierto

Revisando los pares ordenados de los puntos del primer triangulo, para poder formar el segundo, ambos deben tener la misma cantidad de putnos cuya suma depares ordenados sea par.
Pero notemos que el primero un solo punto cuya suma de pares ordenados es par (0+0=0) , mientras que el segundo tiene dos (0+0=0 y 1+1=2)
Luego es imposible formar el segundo triangulo a partir del primero ediante rotaciones positivas de 90 grados

[Gp20]

Hola. Se agradecería que la respuesta se pasara a Latex. esto contribuye al orden y la estética del foro.

Saludos

[Killua]

Solución al problema 4


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Saludos

[Ariel S]

Problema 4.

Decidi tomar un enfoque distinto para este problema. En vez de utilizar Geometria Euclidiana, voy a resolver el problema mediante Geometria Analitica.
Planteo al Origen del eje de coordenadas como el punto A, entonces:
A=(0,0), B=(0,x), C=(x,x) y D=(x,0), con x igual al largo del lado del cuadrado.
Como P pertenece al lado BC, pertenece a la recta que contiene al segmento BC. Esta recta es paralela al eje OX, entonces, todos sus puntos tienen igual valor en las ordenadas. Entonces, P=(p,x). Para hallar las coordenadas el punto S debemos aplicar rotacion de 90 grados del vector AP, obteniendo asi que S=(x,-p). Con estos tres puntos del cuadardo APRS podemos hallar el cuarto. Por equipolencia, A+R=S+P. Entonces, R=(p+x,x-p).
Como debemos demostrar que el circuncirculo del triangulo ABC es tangente a RC, bastaria con probar que el angulo ACR=90.
Recordamos que en Analitica, la forma de probar perpendicularidad es probando que ambos vectores tienen producto vectorial nulo. Entonces, tomamos los vectores AC=C-A=(x,x) y RC=C-R=(p,-p). Hallamos el producto vectorial de esos vectores. AC*RC=(x,x)*(p,-p)=xp-xp=0. Entonces, AC es perpendicular a CR. Por ende, CR es tangente al circuncirculo del Triangulo ABC.
Un saludo como siempre,

Ariel S.

[Claudio Espinoza]

Problema 1: Decida si existe tal que posee la siguiente propiedad: sus dígitos, leídos de izquierda a derecha, están en orden no creciente.

Solución:

Claramente de existir n, n deber ser mayor que 2, pues 16 y 256 no cumplen esa propiedad, luego dicho número debe ser múltiplo al menos de , es decir sus ũltimos k dĩgitos deben ser un múltiplo de , para k desde 1 hasta 12. Ahora toda potencia de 16 termina en 6, luego el dígito de las decenas sólo puede ser 7 o 9, por el criterio del 4. Si fuese 9, todos los demás dígitos deben ser 9, pero 996 no es múltiplo de 8. Luego el dígito de las decenas es 7. Nuevamente por el criterio del 8, el dígio de las centenas es 7 o 9, si fuese 9 ,todos los demás dígitos deben ser 9. pero 9976 no es múltiplo de 16. entonces el dígito de las centenas es 7. Entonces el número termina en 776, por el criterio del 16, el dígito de las unidaes de millar debe ser 7 o 9, si fuese 9 los demás digitos deben ser9, pero 999776 no es mũltiplo de 64, luego el número termina en 7776, luego por el criterio del 32 el dígito de las decenas de millar debe ser 8, entonces el número termina en 87776, por el criterio del 64 el dígino de las centenas de millar debe ser 9, luego todos los demás dígitos deben ser 9, pero 9987776 no es múltiplo de 128, lo que termina la demostración de que no existe tal número.

P.D. Gracias a Sebastian por la corrección.

Mensaje modificado por Claudio Espinoza el Jan 30 2008, 05:19 PM

[Claudio Espinoza]

Problema 6: Determine si existe un entero positivo divisible por el producto de su dígitos, tal que ese producto es mayor que

Solución

LEMA: Para todo número natural existe un número de dígitos formado sólo con las cifras 1 y 2 tales que es múltiplo de .
Demostración
n=1 A(n)=2
n=2 A(n)=12
n=3 A(n)=112
Por inducción, supongamos que existe, entonces tenemos 2 casos:

, entonces elegimos , claramente divide a y además tiene como primera cifra al 2 y las demás coinciden con las cifras de . Luego $A(n)$ esta formado sólo con los dígitos 1 y 2.

, entonces elegimos , claramente divide a y además tiene como primera cifra al 1 y las demás coinciden con las cifras de . Luego esta formado sólo con los dígitos 1 y 2.

El lema está demostrado.

En el problema escogemos untal que , entonces es múltiplo de . Sea la cantidad de dígitos 1 de , entonces formamos el número de la siguiente manera, a la izquierda de colocamos dígitos 2. Luego la cantidad de dígitos 2 de es . Entonces el producto de dígitos de es , además como los últimos dígitos de es múltiplo de , entonces es múltiplo de Luego es múltiplo del producto de sus dígitos y este producto es mayor que .

[Kaissa]

El P4 es realmente simple!

Extendemos BC más allá de C hasta X tal que <CXR=90.
Entonces:
tr PBA congruente con tr RXP, entonces XR=PB y por diferencia tambien RC=BP; por tanto tr RXC es isósceles y así <RCX=45.
Si O es circuncentro de tr ABC entonces obvio que <OCD=45.
Sumando, tenemos que <RCO=90 y el resultado está listo.