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3º del 26 de Agosto, De geometría

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florindo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 27 2006, 12:15 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.352 Registrado: 5-October 05 Miembro Nº: 330 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde PC = 3PB, QD = 2QC y M es el punto de intersección de DP y AQ, entonces el área del $TEX: $\triangle$$ DMQ es A) $TEX: $\frac{k^2}{9}$$ B) $TEX: $\frac{k^2}{3}$$ C) $TEX: $\frac{4k^2}{9}$$ D) $TEX: $\frac{2k^2}{9}$$ E) $TEX: $\frac{k^2}{6}$$ -------------------- En camino al lugar definitivo Savane por siempre MM MMM Yo soy SAVANE

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 27 2006, 09:31 AM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Este es un bello problema...., siempre con mi profe luchábamos con él para que saliese..., qué buenos recuerdos (como si a alguien le importase). $TEX: \noindent En la ilustraci\'on he trazado la altura correspondiente al $\Delta DMQ$. Sea $N$ el punto donde la altura recae sobre la base $\overline {QD}$. No obstante, $\overline {AD} \parallel \overline {BC} \parallel \overline {MN}$ (porque todas las l\'ineas cortan en un mismo \'angulo correspondiente al lado $\overline {CD}$. Por otra parte, sea $\overline {PC} = \displaystyle\frac{3}{4}k$ y $\overline {QD} = \displaystyle\frac{2}{3}k$.\\<br />\\<br />\noindent El $\Delta ADQ \sim \Delta MNQ$ (criterio AA) y de esto:<br /><br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \frac{{\overline {AD} }}<br />{{\overline {MN} }} &= \frac{{\overline {QD} }}<br />{{\overline {QN} }} \\ <br /> \frac{k}<br />{{\overline {MN} }} &= \frac{{\displaystyle\frac{2}<br />{3}k}}<br />{{\overline {QN} }} \\ <br /> \frac{k}<br />{{\overline {MN} }} &= \frac{{2k}}<br />{{3\overline {QN} }} \\ <br /> \frac{1}<br />{{\overline {MN} }} &= \frac{2}<br />{{3\overline {QN} }} \\ <br /> \overline {QN} &= \frac{2}<br />{3}\overline {MN} {\text{ (1)}} \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />\\<br />\noindent Tambi\'en el $\Delta CDP \sim \Delta NDM$ (por el caso anterior), y de aqu\'i:<br /><br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \frac{{\overline {CD} }}<br />{{\overline {ND} }} &= \frac{{\overline {PC} }}<br />{{\overline {MN} }} \\ <br /> \frac{k}<br />{{\overline {ND} }} &= \frac{{\displaystyle\frac{3}<br />{4}k}}<br />{{\overline {MN} }} \\ <br /> \frac{k}<br />{{\overline {ND} }} &= \frac{{3k}}<br />{{4\overline {MN} }} \\ <br /> \frac{1}<br />{{\overline {ND} }} &= \frac{3}<br />{{4\overline {MN} }} \\ <br /> \overline {ND} &= \frac{4}<br />{3}\overline {MN} {\text{ (2)}} \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ $TEX: \noindent Ahora bien, sumando (1) y (2) tendremos:<br /><br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \frac{2}<br />{3}\overline {MN} + \frac{4}<br />{3}\overline {MN} &= \overline {QN} + \overline {ND} \\ <br /> &= \overline {QD} {\text{ \{suma de segmentos\} }} \\ <br /> &= \frac{2}<br />{3}k \\ <br /> \frac{2}<br />{3}\overline {MN} + \frac{4}<br />{3}\overline {MN} &= \frac{2}<br />{3}k \\ <br /> \frac{{2\overline {MN} + 4\overline {MN} }}<br />{3} &= \frac{2}<br />{3}k \\ <br /> 2\overline {MN} + 4\overline {MN} &= 2k \\ <br /> \overline {MN} + 2\overline {MN} &= k \\ <br /> 3\overline {MN} &= k \\ <br /> \overline {MN} &= \frac{k}<br />{3} \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />\\<br />\noindent Luego, el \'area del $\Delta DMQ$ es:<br /><br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> A_{{\text{DMQ}}} &= \frac{{\displaystyle\frac{2}<br />{3}k \times \frac{k}<br />{3}}}<br />{2} \\ <br /> &= \frac{{\displaystyle\frac{2}<br />{9}k^2 }}<br />{2} \\ <br /> &= \frac{{2k^2 }}<br />{{9 \times 2}} \\ <br /> &= \frac{{k^2 }}<br />{9} \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}$

Sebaa_ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 27 2008, 08:46 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 276 Registrado: 22-August 08 Miembro Nº: 32.857 Sexo:	no hay otra manera mas facil??

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