 Prueba 2 Matematicas II, semestre de verano en bachi |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad de Chile > Matemáticas 2  |
 Jan 21 2009, 07:17 AM
Publicado:
#1
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 Principiante Matemático Destacado  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 26-April 08 Desde: Ph.D (c) Miembro Nº: 21.247 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Prueba 2 de Matematicas II}} \hfill \\<br /> {\text{Programa Academico de Bachillerato}} \hfill \\<br /> {\text{Verano}}{\text{, 2008}}{\text{, 2009}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Tiempo:120 minutos}} \hfill \\<br /> {\text{Nombre:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{1}}{\text{. Calcule el volumen del solido que resulta al girar la curva}} \hfill \\<br /> y = \frac{3}<br />{{\sqrt {x^3 + 2x^2 + 2x + 1} }} \hfill \\<br /> {\text{En torno al eje X entre x = 0 y x = 1}} \hfill \\<br />\\<br /> {\text{2}}{\text{. Resuelva los siguientes ejercicios}} \hfill \\<br /> {\text{(a) Calcule el limite}} \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}<br />{{\sqrt n \sqrt {n + 1} }} + \frac{1}<br />{{\sqrt n \sqrt {n + 2} }} + \frac{1}<br />{{\sqrt n \sqrt {n + 3} }} + ... + \frac{1}<br />{{\sqrt n \sqrt {n + (n - 1)} }} + \frac{1}<br />{{\sqrt n \sqrt {n + n} }} \hfill \\<br /> {\text{(b) Determine si la siguiente igualdad es cierta}} \hfill \\<br /> \int\limits_1^e {\ln (x)dx} = \int\limits_1^e {\frac{1}<br />{x}dx} \hfill \\<br /> {\text{© Pruebe que si a y b son numeros positivos distintos de 1}}{\text{, se tiene que log}}_a (b^x ) = x\log _a (b){\text{, para cualquier valor de x}} \in \mathbb{R} \hfill \\<br />\\ <br />{\text{3}}{\text{. Resuelva los siguientes ejercicios:}} \hfill \\<br /> {\text{(a) Hallar la ecuacion del plano }}P{\text{ que pasa por el punto (1}}{\text{,3}}{\text{, - 5) y que contiene a la recta}} \hfill \\<br /> {\text{L = }}\left\{ {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 /x + y = z;2x - y = 1 - z} \right\} \hfill \\<br /> {\text{(b) Dados los planos}} \hfill \\<br /> P_1 = \left\{ {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 /3x + 3y = 1} \right\} \hfill \\<br /> P_2 = \left\{ {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 /x = z} \right\} \hfill \\<br /> {\text{Calcular la interseccion }}L \cap P_1 \cap P_2 \hfill \\<br /> {\text{© Determine }}P_1 \cap P_2 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/b93c318514b466097dbfc40c09961484.png)
-------------------- En vez de comprar un perro por una gran suma de dinero, mejor adoptar uno de la calle, sera mas feliz y te querrá mucho mas...
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Jan 21 2009, 05:55 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:  |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 2.a - \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}<br />{{\sqrt n \sqrt {n + 1} }} + \frac{1}<br />{{\sqrt n \sqrt {n + 2} }} + ... + \frac{1}<br />{{\sqrt n \sqrt {n + \left( {n - 1} \right)} }} + \frac{1}<br />{{\sqrt n \sqrt {n + n} }} \hfill \\<br /> {\text{Expresando como suma:}} \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}<br />{{\sqrt n }}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}<br />{{\sqrt {n + k} }}} \hfill \\<br /> {\text{Factorizamos la ra\'iz por }}\sqrt n {\text{ y nos queda:}} \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}<br />{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}<br />{{\sqrt {1 + \frac{k}<br />{n}} }}} \hfill \\<br /> {\text{Por suma de Riemann se tiene que:}} \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}<br />{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}<br />{{\sqrt {1 + \frac{k}<br />{n}} }}} = \int\limits_0^1 {\frac{1}<br />{{\sqrt {1 + x} }}} \hfill \\<br /> {\text{Desarrollando la integral:}} \hfill \\<br /> \int\limits_0^1 {\frac{1}<br />{{\sqrt {1 + x} }}} = \left. {2\sqrt {1 + x} } \right|_0^1 = 2\sqrt 2 - 2\sqrt 1 = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/68677bf1e7787df2f2a475fd069f936b.png)
Mensaje modificado por LanderGuitar el Jan 21 2009, 05:56 PM --------------------         El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jan 21 2009, 06:41 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 1. - \hfill \\<br /> f\left( x \right) = \frac{3}<br />{{\sqrt {x^3 + 2x^2 + 2x + 1} }} \hfill \\<br /> {\text{El volumen se obtiene de la siguiente manera:}} \hfill \\<br /> V_{f\left( x \right)} = \pi\int\limits_b^a {\left( {f\left( x \right)} \right)^2 dx} = \int\limits_0^1 {\frac{9}<br />{{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}}dx} \hfill \\<br /> V_{f\left( x \right)} = 9\int\limits_0^1 {\frac{1}<br />{{\left( {x^2 + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}dx} \hfill \\<br /> {\text{Por fracciones parciales}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \frac{{Ax + B}}<br />{{x^2 + x + 1}} + \frac{C}<br />{{x + 1}} = \frac{1}<br />{{\left( {x^2 + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \hfill \\<br /> \left( {A + C} \right)x^2 + \left( {A + B + C} \right)x + \left( {B + C} \right) = 1 \hfill \\<br /> {\text{De donde tenemos que:}} \hfill \\<br /> A = - 1 \hfill \\<br /> B = 0 \hfill \\<br /> C = 1 \hfill \\<br /> {\text{Entonces:}} \hfill \\<br /> V_{f\left( x \right)} = 9\int\limits_0^1 {\frac{{ - x}}<br />{{x^2 + x + 1}} + \frac{1}<br />{{x + 1}}dx} = - 9\int\limits_0^1 {\frac{x}<br />{{x^2 + x + 1}}dx} + 9\int\limits_0^1 {\frac{1}<br />{{x + 1}}dx} \hfill \\<br /> V_{f\left( x \right)} = - 9\int\limits_0^1 {\frac{1}<br />{{x + x^{ - 1} + 1}}dx} + 9\left( {\left. {\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_0^1 } \right) \hfill \\<br /> V_{f\left( x \right)} = - 9\int\limits_0^1 {\frac{1}<br />{{\left( {x^{\frac{1}<br />{2}} + x^{ - \frac{1}<br />{2}} } \right)^2 - 1}}dx} + 9\ln \left( 2 \right) = \hfill \\<br /> V_{f\left( x \right)} = - 9\left. {\left( {\frac{1}<br />{2}\ln \left| {\frac{{x^{\frac{1}<br />{2}} + x^{ - \frac{1}<br />{2}} - 1}}<br />{{x^{\frac{1}<br />{2}} + x^{ - \frac{1}<br />{2}} + 1}}} \right|} \right)} \right|_0^1 + 9\ln \left( 2 \right) \hfill \\<br /> V_{f\left( x \right)} = 9\pi\ln \left( 2 \right) - \frac{9\pi}<br />{2}\ln \left( 3 \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/32807de8a74d538b753a73f4d75bb35c.png) Tuve un pequeño error arriba... era la integral de la función al cuadrado, eso multiplicado por ![TEX: \[\pi\]](./tex/13e7b24480f75864362081c7a90223e0.png)
Mensaje modificado por LanderGuitar el Jan 25 2009, 05:19 PM -------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jan 21 2009, 06:53 PM
Publicado:
#4
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 2.b - \hfill \\<br /> \int\limits_1^e {\ln \left( x \right)} dx = \int\limits_1^e {\frac{{dx}}<br />{x}} \hfill \\<br /> \left. { - u + u\ln \left( u \right)} \right|_1^e = \left. {\ln \left( x \right)} \right|_1^e \hfill \\<br /> 1 = 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/2847bd3f2312cd25fa5bde6fb3c8d457.png) Esta es la manera flayte de hacerlo. xD! -------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jan 21 2009, 07:37 PM
Publicado:
#5
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
En el 3.a-... la recta tiene 2 ecuaciones?
-------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jan 22 2009, 07:49 AM
Publicado:
#6
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Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 26-April 08 Desde: Ph.D (c) Miembro Nº: 21.247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
CITA(LanderGuitar @ Jan 21 2009, 08:37 PM)  En el 3.a-... la recta tiene 2 ecuaciones? segun lo que hemos visto en matematicas2, una ecuacion en ![TEX: \[<br />\mathbb{R}^3 <br />\]<br />](./tex/31d6ceb743fc54a5aa6aba61c0aac189.png) define un plano, dos ecuaciones una recta, y tres ecuaciones una punto...PD: para hallar la ecuacion parametrica y cartesiana de la recta, se debe hallar el conjunto solucion del sistema ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> x + y - z = 0 \hfill \\<br /> 2x - y + z = 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/ff0d7473171f99f2aba8b9e709e5e1ed.png) que es como esta caracterizada la recta Espero que ayude  JaNe! -------------------- En vez de comprar un perro por una gran suma de dinero, mejor adoptar uno de la calle, sera mas feliz y te querrá mucho mas...
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Jan 22 2009, 02:23 PM
Publicado:
#7
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
Llegué a esto:
![TEX: <br />\[<br />25x - 2y - 2z = 29<br />\]<br />](./tex/4032ba49bd4b00ef9470037d07305dcd.png) No sé si estará bien. >.< -------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jan 22 2009, 09:10 PM
Publicado:
#8
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
En el 3.b- llego a esto:
![TEX: <br />\[<br />\left( {\frac{1}<br />{3},0,\frac{1}<br />{3}} \right)<br />\]<br />](./tex/3f9b9f6367fb2230ea00249a88fa434b.png) 3.c- Me da la siguiente recta: ![TEX: \[<br />\left( {t,\frac{1}<br />{3} - t,t} \right)<br />\]<br />](./tex/d77accebe88bd7b4c17fa4dbdec33075.png)
-------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Jan 28 2009, 11:34 AM
Publicado:
#9
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Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 26-April 08 Desde: Ph.D (c) Miembro Nº: 21.247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
segun lo que me corrigio el profe en la prueba las respuestas de la 3 son:
a. ![TEX: \[<br />25x - 2y + 2z = 29<br />\]<br />](./tex/7fa70c5aab4f86d5fac1e7413cae1720.png) b. ![TEX: \[<br />({\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/<br /> {\vphantom {1 3}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}<br />\!\lower0.7ex\hbox{$3$}},0,{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/<br /> {\vphantom {1 3}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}<br />\!\lower0.7ex\hbox{$3$}})<br />\]](./tex/82f449c90659d6c453ab31c58c0a5743.png) c. ![TEX: \[<br />P_1 \cap P_2 = \left\{ {\lambda (1,1,1) + (0,{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/<br /> {\vphantom {1 3}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}<br />\!\lower0.7ex\hbox{$3$}},0)/\lambda \in \mathbb{R}} \right\}<br />\]<br />](./tex/76d161d139d8cacbdb7401a3bb6b12a9.png) -------------------- En vez de comprar un perro por una gran suma de dinero, mejor adoptar uno de la calle, sera mas feliz y te querrá mucho mas...
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Jan 28 2009, 12:33 PM
Publicado:
#10
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
CITA(zukaretsu @ Jan 28 2009, 12:34 PM) segun lo que me corrigio el profe en la prueba las respuestas de la 3 son: a. b. c. Cuac, me equivoqué en 2 signos. Pondré de ahí el desarrollo. -------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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