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> Semana del 28 de Julio al 3 de Agosto, Sin solución publicada: 2, 3, 4, 5, 6, 7
Claudio Espinoza
mensaje Oct 23 2006, 03:38 PM
Publicado: #31


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CITA(Francisco Muñoz @ Jul 31 2005, 11:27 PM)
Bueno aqui va mi propuesto de la semana:

Problema 5:

encuentre todos los enteros m y n tales TEX: $2\cdot m^2 + n^2 = 2\cdot mn+3\cdot n$   

espero que se entretengan y lo resuelvan.
Sin otro particular se despide, Francisco Muñoz Espinoza
*


Segunda solución

TEX: $2\cdot m^2 + n^2 = 2\cdot mn+3\cdot n$
TEX: $4\cdot m^2 + 2n^2 = 4\cdot mn+6\cdot n$
TEX: $(2m-n)^2+(n-3)^2=9$

Solo podemos descomponer 9 como suma de 2 cuadrados perfectos de la siguiente manera: TEX: $9=(\pm 3)^2+0=0+(\pm 3)^2$

TEX: $2m-n=3$ y $n-3=0\rightarrow (m,n)=(3,3)$
TEX: $2m-n=-3$ y $n-3=0\rightarrow (m,n)=(0,3)$
TEX: $2m-n=0$ y $n-3=3\rightarrow (m,n)=(3,6)$
TEX: $2m-n=0$ y $n-3=-3\rightarrow (m,n)=(0,0)\blacksquare$
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Dana
mensaje Dec 20 2006, 10:00 PM
Publicado: #32


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CITA(Gp20 @ Jul 29 2005, 01:03 AM)
Problema 2:

Tenemos a una pulga que sólo puede avanzar en línea recta, y puede dar saltos de longitud unitaria. Ella debe recorrer una longitud igual a 5 unidades en EXACTAMENTE 9 saltos (lo que implica que en su recorrido se puede devolver), y además la pulga no puede salirse de los márgenes de su recorrido (o sea, no puede retroceder de su posición inicial ni pasarse de su posición final). Con estos datos, determine la cantidad total de formas distintas en que puede hacer el recorrido.
*


Hola todos! he estado leyendo el foro desde hace un tiempo y decidí comenzar a postear. Elegí un problemita simple a modo de entrenamiento y éste me resultó entretenido (hace ya varios años que no resuelvo estas cosas... a ver qué sale jpt_blush.gif)

Para lograr avanzar 5 unidades en 9 saltos la pulga debe avanzar 7 veces y retrocedes 2.

Si considero A = avanzar y R = retroceder entonces entre una secuencias de 7 avances AAAAAAA debe ubicar los dos retrocesos. Dependiendo de cuándo se haga el primer retroceso es cuándo se podrá realizar el otro. Para el primer retroceso (en principio) hay 6 posiblidades: AOAOAOAOAOAOA una por cada O.

Voy a ir viendo donde se puede realizar el segundo retroceso (que lo marco con O) para cada una de las posibles ubicaciones del primer retroceso:

- Si el primer retroceso es: ARAAAAAA el segundo puede ser: ARAOAOAOAOAOA no puede ser inmediatamente después del primero porque la pulga se estaría saliendo de los límites. En fin, así hay 5 alternativas.
- Si el 1er retroceso es: AARAAAAA el segundo puede ser: AAROAOAOAOAOA. Es decir otras 5 alternativas.
- Si el 1er retroceso es: AAARAAAA el segundo puede ser: AAAROAOAOAOA. 4 alternativas.
- Si el 1er retroceso es: AAAARAAA el segundo puede ser: AAAAROAOAOA. 3 alternativas.
- Si el 1er retroceso es: AAAAARAA el segundo puede ser: AAAAAROAOA. 2 altenativas
- No se puede hacer el 1er retroceso en la ultima posición AAAAAARA porque ya la pulga se salió de los límites.

Total: 5 + 5 + 4 + 3 + 2 = 19

Creo que la notación no fue muy feliz, espero se entienda.
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