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Desigualdad -3-, Perimetros y SemiPerimetros...

Retro_15 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 17 2009, 02:17 PM Publicado: #1
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 45 Registrado: 28-November 08 Desde: Cualquier parte... Miembro Nº: 39.791 Nacionalidad: Sexo:	Considerar un cuadrilatero Convexo $TEX: \[<br />ABCD<br />\]$ . Demuestre que la suma de las longitudes de sus diagonales es menor que el perimetro pero es mayor que el semiperimetro. Salu2

diego__albo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 8 2009, 02:02 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 272 Registrado: 14-May 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 23.146 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	a] Demostrar que la suma de las longitudes de las diagonales es menor que el perimetro del cuadrilatero - Al trazar las diagonales en un cuadrilatero convexo cualquiera, se forman 2 triangulos [ $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeS4SLyLaam<br />% yqaiaadkeacaWGdbGaaeiiaiaabMhacaqGGaGaeS4SLyLaamyqaiaa<br />% dseacaWGdbaaaa!3FE7!<br />\[<br />\vartriangle ABC{\text{ y }}\vartriangle ADC<br />\]<br />$ ] [Donde AC y BD son diagonales]. Por desigualdad triangular, se tiene en ambos triangulos que: $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaadaWhda<br />% qaaiaadgeacaWGdbaacaGLHdcacqGH8aapdaWhdaqaaiaadgeacaWG<br />% cbaacaGLHdcacqGHRaWkdaWhdaqaaiaadkeacaWGebaacaGLHdcaca<br />% GGFbGaai4xaiaac+facaGGFbGaai4xaiaaigdaaeaadaWhdaqaaiaa<br />% dkeacaWGebaacaGLHdcacqGH8aapdaWhcaqaaiaadkeacaWGdbaaca<br />% GLxdcacqGHRaWkdaWhdaqaaiaadoeacaWGebaacaGLHdcacaGGFbGa<br />% ai4xaiaac+facaGGFbGaai4xaiaaikdaaeaacaWGtbGaamyDaiaad2<br />% gacaWGHbGaamOBaiaadsgacaWGVbGaai4xaiaaigdacaGGFbGaamyE<br />% aiaac+facaaIYaGaaiilaiaadohacaWGLbGaai4xaiaad+gacaWGIb<br />% GaamiDaiaadMgacaWGLbGaamOBaiaadwgacaGG6aaabaWaa8Xaaeaa<br />% caWGbbGaam4qaaGaayz4GaGaey4kaSYaa8XaaeaacaWGcbGaamiraa<br />% Gaayz4GaGaeyipaWZaa8XaaeaacaWGbbGaamOqaaGaayz4GaGaey4k<br />% aSYaa8XaaeaacaWGcbGaamiraaGaayz4GaGaey4kaSYaa8Haaeaaca<br />% WGcbGaam4qaaGaay51GaGaey4kaSYaa8XaaeaacaWGdbGaamiraaGa<br />% ayz4Gaaaaaa!8619!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> \overleftrightarrow {AC} < \overleftrightarrow {AB} + \overleftrightarrow {BD}\_\_\_\_\_1 \hfill \\<br /> \overleftrightarrow {BD} < \overrightarrow {BC} + \overleftrightarrow {CD}\_\_\_\_\_2 \hfill \\<br /> Sumando\_1\_y\_2,se\_obtiene: \hfill \\<br /> \overleftrightarrow {AC} + \overleftrightarrow {BD} < \overleftrightarrow {AB} + \overleftrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} + \overleftrightarrow {CD} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Por lo tanto, la suma de las diagonales es menor al perimetro del cuadrilatero ABCD b] Demostrar que la suma de las longitudes de las diagonales es mayoe que el semi-perimetro del cuadrilatero Notar que se se forma el paralelogramo EFGH a partir de la union de los puntos medios del cuadrilatero ABCD, y que ademas, notar tambien que se forma el paralelogramo ACIJ, estableciendose D como el punto medio del paralelogramo anterior. Observando la figura, es posible notar que se forman 4 paralelogramos: BEFK, BCID, BKGH y BDJA. Se observa que BEFK es semejante con BCID, al prolongarse K de modo que al llegar al punto B, BK fuese igual a KD. Al ser los lados BK y EF paralelos, se implica tambien que estos son iguales. Tambien se obtiene que el lado BE es la mitad del lado BC, al ser E el punto medio del segmento BC. Por el hecho de ser paralelos los segmentos BE y KF, tambien se implica que son iguales, y como el analisis es analogo para los paralelogramos BKGH y BDJA, los 4 paralelogramos son semejantes, y que los lados de los paralelogramos BEFK y BKGH valen la mitad que los lados de los paralelogramos BCID y BDJA. Por otro lado, y gracias a esto, se afirma que los lados de los triangulos ECF y BCD formados en la figura, estan en la razon 1:2 respectivamente, al valer los lados del triangulo EFC, 2 veces los lados del triangulo BCD, y como obviamente $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGOmaiabg6<br />% da+iaaigdaaaa!37FA!<br />\[<br />2 > 1<br />\]<br />$ , se implica, utilizando desigualdad triangular, que: $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaadaWhda<br />% qaaiaadweacaWGdbaacaGLHdcacqGHRaWkdaWhdaqaaiaadoeacaWG<br />% gbaacaGLHdcacqGH+aGpdaWhdaqaaiaadweacaWGgbaacaGLHdcaca<br />% GGFbGaai4xaiaac+facaGGOaGaaGymaaqaaiGaccfacaWGLbGaamOC<br />% aiaad+gacaGGFbGaamyyaiaadYgacaGGFbGaamyBaiaadMgacaWGZb<br />% GaamyBaiaad+gacaGGFbGaamiDaiaadMgacaWGLbGaamyBaiaadcha<br />% caWGVbGaaiOoaaqaamaaFmaabaGaamOqaiaadseaaiaawgoiaiabg6<br />% da+maaFmaabaGaamyraiaadoeaaiaawgoiaiabgUcaRmaaFmaabaGa<br />% am4qaiaadAeaaiaawgoiaiabg6da+maaFmaabaGaamyraiaadAeaai<br />% aawgoiaiaac+facaGGFbGaai4xaiaacIcacaaIYaaabaGaamiraiaa<br />% dwgacaWGTbGaam4BaiaadohacaWG0bGaamOCaiaadggacaWGUbGaam<br />% izaiaad+gacaWGZbGaamyzaiaac+facaWGWbGaam4BaiaadkhacaGG<br />% FbGaam4yaiaad+gacaWGUbGaamiDaiaadkhacaWGHbGaamizaiaadM<br />% gacaWGJbGaam4yaiaadMgacaWGVbGaamOBaiaacQdaaeaacaWGtbGa<br />% amyDaiaadchacaWGVbGaamOBaiaadEgacaWGHbGaamyBaiaad+gaca<br />% WGZbGaai4xaiaadghacaWG1bGaamyzaiaacQdaaeaacaWGfbGaam4q<br />% aiabgUcaRiaadoeacaWGgbGaeyOpa4JaamOqaiaadseaaeaaciGGjb<br />% GaaiyBaiaadchacaWGSbGaamyAaiaadogacaWGHbGaamOCaiaadMga<br />% caWGHbGaai4xaiaadghacaWG1bGaamyzaiaac+facaaIYaGaamyrai<br />% aadoeacqGH9aqpcaWGfbGaam4qaiaacYcacaWG5bGaai4xaiaadgha<br />% caWG1bGaamyzaiaac+facaaIYaGaam4qaiaadAeacqGH9aqpcaWGdb<br />% GaamOraaqaaiaacIcacqGHsgIRcqGHqgcRcaGGPaGaaiilaiaadMha<br />% caGGFbGaam4yaiaad+gacaWGTbGaam4Baiaac+facaWGWbGaam4Bai<br />% aadkhacaGGFbGaamyzaiaadYgacaGGFbGaamiCaiaadkhacaWGPbGa<br />% amOBaiaadogacaWGPbGaamiCaiaadMgacaWGVbGaai4xaiaadsgaca<br />% WGLbGaai4xaiaadsgacaWGLbGaam4CaiaadMgacaWGNbGaamyDaiaa<br />% dggacaWGSbGaamizaiaadggacaWGKbGaaiilaiaad6gacaWGVbGaai<br />% 4xaiaadwgacaWGZbaabaGaamiCaiaad+gacaWGZbGaamyAaiaadkga<br />% caWGSbGaamyzaiaac+facaWGHbGaamOzaiaadMgacaWGYbGaamyBai<br />% aadggacaWGYbGaai4xaiaadghacaWG1bGaamyzaiaac+facaWGfbGa<br />% am4qaiabgUcaRiaadoeacaWGgbGaeyypa0JaamOqaiaadseacaGGSa<br />% GaamyCaiaadwhacaWGLbGaamizaiaadggacaGGFbGaamyzaiaadYga<br />% caGGFbGaamyDaiaad6gacaWGPbGaam4yaiaad+gacaGGFbGaam4yai<br />% aadggacaWGZbGaam4BaaqaaiaadchacaWGVbGaam4CaiaadMgacaWG<br />% IbGaamiBaiaadwgacaGG6aaabaGaamyraiaadoeacqGHRaWkcaWGdb<br />% GaamOraiabgYda8iaadkeacaWGebaaaaa!2508!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> \overleftrightarrow {EC} + \overleftrightarrow {CF} > \overleftrightarrow {EF}\_\_\_(1 \hfill \\<br /> \operatorname{P} ero\_al\_mismo\_tiempo: \hfill \\<br /> \overleftrightarrow {BD} > \overleftrightarrow {EC} + \overleftrightarrow {CF} > \overleftrightarrow {EF}\_\_\_(2 \hfill \\<br /> Demostrandose\_por\_contradiccion: \hfill \\<br /> Supongamos\_que: \hfill \\<br /> EC + CF > BD \hfill \\<br /> \operatorname{Im} plicaria\_que\_2EC = EC,y\_que\_2CF = CF \hfill \\<br /> ( \to \leftarrow ),y\_como\_por\_el\_principio\_de\_desigualdad,no\_es \hfill \\<br /> posible\_afirmar\_que\_EC + CF = BD,queda\_el\_unico\_caso \hfill \\<br /> posible: \hfill \\<br /> EC + CF < BD \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br /><br />$ Aplicando analogamente este analisis para los triangulos AHG y ABD, sumando ambas desigualdades se tiene: $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8Xaaeaaca<br />% WGbbGaam4qaaGaayz4GaGaey4kaSYaa8XaaeaacaWGcbGaamiraaGa<br />% ayz4GaGaeyOpa4ZaaSaaaeaadaWhdaqaaiaadkeacaWGdbaacaGLHd<br />% caaeaacaaIYaaaaiabgUcaRmaalaaabaWaa8XaaeaacaWGdbGaamir<br />% aaGaayz4GaaabaGaaGOmaaaacqGHRaWkdaWcaaqaamaaFmaabaGaam<br />% yqaiaadseaaiaawgoiaaqaaiaaikdaaaGaey4kaSYaaSaaaeaadaWh<br />% daqaaiaadgeacaWGcbaacaGLHdcaaeaacaaIYaaaaaaa!510F!<br />\[<br />\overleftrightarrow {AC} + \overleftrightarrow {BD} > \frac{{\overleftrightarrow {BC}}}<br />{2} + \frac{{\overleftrightarrow {CD}}}<br />{2} + \frac{{\overleftrightarrow {AD}}}<br />{2} + \frac{{\overleftrightarrow {AB}}}<br />{2}<br />\]<br /><br />$ , demostrando lo pedido Salu2 Mensaje modificado por diego__albo el Nov 8 2009, 02:44 AM --------------------

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 8 2009, 07:50 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	Otra manera de resolver la parte II: Usando tu mismo dibujo En los 4 sub triangulos que se formaron con las diagonales, para el cuadrilatero ABCD Por la desigualdad del triangulo, se cumple que: $TEX: $e+f>d$$ $TEX: $e+h>a$$ $TEX: $h+g>b$$ $TEX: $g+f>c$$ Sumando las 4 desigualdades, y dividiendo por 2, se obtiene: $TEX: $S(d)>s$$ Donde S(d) es la suma de las diagonales, y s corresponde al semiperimetro Saludos! Mensaje modificado por Hamon el Nov 8 2009, 07:52 AM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 8 2009, 09:54 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	A diego_albo: Tu demostracion para la parte a) es correcta, nada que acotar. Sin embargo, para la parte b), es incorrecta =(. El error radica al suponer que el cuadrilatero BEFK es un paralelogramo. Para que BEFK sea un paralelogramo, el segmento KF debe ser paralelo al lado BC, o equivalentemente K es punto medio de BD, lo cual no se puede asumir. A Hamon: Excelente, tu demostracion a la parte b) era la "esperada" (aunque hay mejores notaciones para S(d) xD, pero bueno, mis notaciones a veces son mas "extrañas" que la que ocupaste) Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

diego__albo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 8 2009, 11:15 AM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 272 Registrado: 14-May 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 23.146 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	no se si no se habra notado mucho en el dibujo xD (o si estoy equivocado me corrigen), solo que en la construccion estableci que el segmento BK fuese igual al segmento KD, de modo que se cumpliese el paralelismo, me quedo algo (muy) mal hecha la construccion de la figura Mensaje modificado por diego__albo el Nov 8 2009, 11:15 AM --------------------

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 8 2009, 11:43 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kain #13 @ Nov 8 2009, 10:54 AM) A Hamon: Excelente, tu demostracion a la parte b) era la "esperada" (aunque hay mejores notaciones para S(d) xD, pero bueno, mis notaciones a veces son mas "extrañas" que la que ocupaste) la verdad queria usar la notacion "S sub d" pero no sabia hacer el sub indice -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

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