Control 2 Mate III 2009 - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Programa de Enseñanza Media > Escuela de Verano > Escuela de Verano > Matemática > Matemáticas III

Reply to this topic

Start new topic

Control 2 Mate III 2009

rock&mati rock&mati Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2009, 10:29 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 316 Registrado: 2-May 08 Desde: a la &$€¬~#@ del mundo Miembro Nº: 21.900 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bueno, creo que no entendere jamas funciones, aca dejo el control 2, aporten soluciones xd. $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaadaqjEa<br />% qaaiaabcfacaqGXaGaaeOlaiaab2caaaaabaGaaeikaiaabMgacaqG<br />% PaGaaeiiaiaabseacaqGLbGaaeyBaiaabwhacaqGLbGaae4Caiaabs<br />% hacaqGYbGaaeyzaiaabccacaqG1bGaae4CaiaabggacaqGUbGaaeiz<br />% aiaab+gacaqGGaGaaeysaiaab6gacaqGKbGaaeyDaiaabogacaqGJb<br />% GaaeyAaiaab+gacaqGUbGaaeiiaiaabghacaqG1bGaaeyzaiaabcca<br />% caqGOaGaeyiaIiIaamOBaiabgwMiZkaaigdacaqGPaGaaeiiaiaaik<br />% dacqGHflY1caaI3aWaaWbaaSqabeaacaWGUbaaaOGaae4kaiaaboda<br />% cqGHflY1caqG1aWaaWbaaSqabeaacaqGUbaaaOGaaeylaiaabwdaca<br />% qGGaGaaeyzaiaabohacaqGGaGaaeizaiaabMgacaqG2bGaaeyAaiaa<br />% bohacaqGPbGaaeOyaiaabYgacaqGLbGaaeiiaiaabchacaqGVbGaae<br />% OCaiaabccacaaI2aGaaiOlaaqaaiaabIcacaqGPbGaaeyAaiaabMca<br />% caqGGaGaae4qaiaabggacaqGSbGaae4yaiaabwhacaqGSbGaaeyzai<br />% aabccacaqGLbGaaeOBaiaabccacaqGMbGaaeyDaiaab6gacaqGJbGa<br />% aeyAaiaab+gacaqGUbGaaeiiaiaabsgacaqGLbGaaeiiaiaad6gaca<br />% GGSaGaaeiiaiaabogacaqGVbGaaeOBaiaabohacaqGPbGaaeizaiaa<br />% bwgacaqGYbGaaeyyaiaab6gacaqGKbGaae4BaiaabccacaWGUbGaey<br />% yzImRaaGOmaiaacYcacaqGGaGaaeiBaiaabggacaqGGaGaae4Caiaa<br />% bwhacaqGTbGaaeyyaiaabccacaqGZbGaaeyAaiaabEgacaqG1bGaae<br />% yAaiaabwgacaqGUbGaaeiDaiaabwgacaqG6aaabaaabaGaaeiiaiaa<br />% bccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaae<br />% iiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqG<br />% GaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabc<br />% cacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeii<br />% aiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGa<br />% GaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccadaaeWbqaamaabmaabaWa<br />% a0baaSqaaiaadUgaaeaacaWGUbaaaaGccaGLOaGaayzkaaGaam4Aam<br />% aaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeaacaqGRbGaaeypaiaabgdaaeaacaWG<br />% UbaaniabggHiLdaakeaaaeaacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaae<br />% iiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqG<br />% GaGaaeiiaiaabMeacaqGUbGaaeizaiaabMgacaqGJbGaaeyyaiaabo<br />% gacaqGPbGaae4Baiaab6gacaqG6aGaaeiiaiaadUgadaahaaWcbeqa<br />% aiaaikdaaaGccqGH9aqpcaWGRbGaey4kaSIaam4AaiaacIcacaWGRb<br />% GaeyOeI0IaaGymaiaacMcaaaaa!FA58!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{{\text{P1}}{\text{. - }}} \hfill \\<br /> {\text{(i) Demuestre usando Induccion que (}}\forall n \geqslant 1{\text{) }}2 \cdot 7^n {\text{ + 3}} \cdot {\text{5}}^{\text{n}} {\text{ - 5 es divisible por }}6. \hfill \\<br /> {\text{(ii) Calcule en funcion de }}n,{\text{ considerando }}n \geqslant 2,{\text{ la suma siguiente:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{ }}\sum\limits_{{\text{k = 1}}}^n {\left( {_k^n } \right)k^2 } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{ Indicacion: }}k^2 = k + k(k - 1) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaadaqjEa<br />% qaaiaabcfacaqGYaGaaeOlaiaab2caaaaabaGaaeikaiaabggacaqG<br />% PaGaaeiiaiaabofacaqGLbGaaeyyaiaabccacaWGgbGaaeiiaiaabw<br />% gacaqGSbGaaeiiaiaabogacaqGVbGaaeOBaiaabQgacaqG1bGaaeOB<br />% aiaabshacaqGVbGaaeiiaiaabsgacaqGLbGaaeiiaiaabYgacaqGHb<br />% Gaae4CaiaabccacaqGMbGaaeyDaiaab6gacaqGJbGaaeyAaiaab+ga<br />% caqGUbGaaeyzaiaabohacaqGGaGaaeizaiaabwgacaqGGaGaeSyhHe<br />% QaaeiiaiaabwgacaqGUbGaaeiiaiabl2riHkaab6cacaqGGaGaae4u<br />% aiaabwgacaqGGaGaaeizaiaabwgacaqGMbGaaeyAaiaab6gacaqGLb<br />% GaaeiiaiaabYgacaqGHbGaaeiiaiaabAgacaqG1bGaaeOBaiaaboga<br />% caqGPbGaae4Baiaab6gacaqGGaGaeuOPdyKaaeOoaiaadAeacqGHsg<br />% IRcqWIDesOcaqGGaGaaeyCaiaabwhacaqGLbGaaeiiaiaabggaaeaa<br />% caqGJbGaaeyyaiaabsgacaqGHbGaaeiiaiaabccacaWGMbGaeyicI4<br />% SaamOraiaabccacaqGSbGaaeyzaiaabccacaqGHbGaae4Caiaab+ga<br />% caqGJbGaaeyAaiaabggacaqGGaGaeuOPdyKaaiikaiaadAgacaGGPa<br />% Gaeyypa0JaamOzaiaacIcacaaIWaGaaiykaiaac6cacaqGGaGaaeii<br />% aiaabseacaqGLbGaaeyBaiaabwhacaqGLbGaae4CaiaabshacaqGYb<br />% GaaeyzaiaabccacaqGXbGaaeyDaiaabwgacaqGGaGaeuOPdyKaaeii<br />% aiaabwgacaqGZbGaaeiiaiaabwhacaqGUbGaaeyyaiaabccacaqGMb<br />% GaaeyDaiaab6gacaqGJbGaaeyAaiaab+gacaqGUbGaaeiiaiaaboha<br />% caqGVbGaaeOyaiaabkhacaqGLbGaaeyEaiaabwgacaqGJbGaaeiDai<br />% aabMgacaqG2bGaaeyyaiaab6caaeaaaeaacaqGOaGaaeOyaiaabMca<br />% caqGGaGaae4uaiaabwgacaqGHbGaaeOBaiaabccacaqGfbGaeyiyIK<br />% RaeyybIySaaeiiaiaabccacaqG5bGaaeiiaiaadgeacqGHgksZcaWG<br />% fbGaaeiiaiaacIcacaqGMbGaaeyAaiaabQgacaqGVbGaaiykaiaac6<br />% cacaqGGaGaae4uaiaabwgacaqGGaGaaeizaiaabwgacaqGMbGaaeyA<br />% aiaab6gacaqGLbGaaeOBaiaabccacaqGSbGaaeyyaiaabohacaqGGa<br />% GaaeOzaiaabwhacaqGUbGaae4yaiaabMgacaqGVbGaaeOBaiaabwga<br />% caqGZbGaaeiiaiaabccacaWGMbGaaeiiaiaabMhacaqGGaGaam4zai<br />% aabccacaqGKbGaaeyzaiaabccacqaHbpGCcaGGOaGaamyraiaacMca<br />% caqGGaGaaeyzaiaab6gacaqGGaGaeqyWdiNaaiikaiaadweacaGGPa<br />% Gaaeiiaiaab2gacaqGLbGaaeizaiaabMgacaqGHbGaaeOBaiaabsha<br />% caqGLbaabaGaamOzaiaacIcacaWGybGaaiykaiabg2da9iaadgeacq<br />% GHQicYcaWGybGaaeiiaiaabMhacaqGGaGaam4zaiaacIcacaWGybGa<br />% aiykaiabg2da9iaadgeacqGHPiYXcaWGybGaaiOlaiaabccacaqGGa<br />% GaaeiuaiaabggacaqGYbGaaeyyaiaabccacaqG0bGaae4Baiaabsga<br />% caqGVbGaaeiiaiaadIfacqGHgksZcaWGfbGaaiOlaaqaaiaacIcaca<br />% qGPbGaaiykaiaabccacaqGebGaaeyAaiaabohacaqGJbGaaeyDaiaa<br />% bshacaqGHbGaaeiiaiaabwgacaqGUbGaaeiiaiaabAgacaqG1bGaae<br />% OBaiaabogacaqGPbGaae4Baiaab6gacaqGGaGaaeizaiaabwgacaqG<br />% GaGaamyqaiaabccacaqGSbGaaeyyaiaabccacaqGWbGaae4Baiaabo<br />% hacaqGPbGaaeOyaiaabMgacaqGSbGaaeyAaiaabsgacaqGHbGaaeiz<br />% aiaabccacaqGKbGaaeyzaiaabccacaqGXbGaaeyDaiaabwgacaqGGa<br />% GaamOzaiaabccacaqGVbGaaeiiaiaadEgacaqGGaGaae4Caiaabwga<br />% caqGHbGaaeOBaiaabccacaqGZbGaae4BaiaabkgacaqGYbGaaeyzai<br />% aabMhacaqGLbGaaeOBaiaabogacaqG0bGaaeyAaiaabAhacaqGHbGa<br />% ae4CaiaabccacaqGOaGaae4yaiaabggacaqGKbGaaeyyaiaabccaca<br />% qG1bGaaeOBaiaabggacaqGGaGaaeiCaiaab+gacaqGYbGaaeiiaaqa<br />% aiaabohacaqGLbGaaeiCaiaabggacaqGYbGaaeyyaiaabsgacaqGVb<br />% Gaaeykaiaab6cacaqGGaGaaeOsaiaabwhacaqGZbGaaeiDaiaabMga<br />% caqGMbGaaeyAaiaabghacaqG1bGaaeyzaaqaaiaacIcacaqGPbGaae<br />% yAaiaacMcacaqGebGaaeyzaiaabshacaqGLbGaaeOCaiaab2gacaqG<br />% PbGaaeOBaiaabggacaqGYbGaaeiiaiaabwhacaqGUbGaaeiiaiaabo<br />% gacaqGVbGaaeOBaiaabQgacaqG1bGaaeOBaiaabshacaqGVbGaaeii<br />% aiaadgeacaqGGaGaaeiCaiaabggacaqGYbGaaeyyaiaabccacaqGLb<br />% GaaeiBaiaabccacaqGJbGaaeyDaiaabggacaqGSbGaaeiiaiaabcca<br />% caWGMbGaaeiiaiaabwgacaqGZbGaaeiiaiaabkgacaqGPbGaaeiDai<br />% aabwgacaqGJbGaaeiDaiaabMgacaqG2bGaaeyyaiaabYcacaqGGaGa<br />% aeyEaiaabccacaqGVbGaaeiDaiaabkhacaqGVbGaaeiiaiaabchaca<br />% qGHbGaaeOCaiaabggacaqGGaGaaeyzaiaabYgacaqGGaGaae4yaiaa<br />% bwhacaqGHbGaaeiBaiaabccacaWGNbGaaeiiaiaabwgacaqGZbGaae<br />% iiaiaabkgacaqGPbGaaeyEaiaabwgacaqGJbGaaeiDaiaabMgacaqG<br />% 2bGaaeyyaiaab6caaeaacaqGGaGaaeOsaiaabwhacaqGZbGaaeiDai<br />% aabMgacaqGMbGaaeyAaiaabghacaqG1bGaaeyzaiaab6caaaaa!E8AC!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{{\text{P2}}{\text{. - }}} \hfill \\<br /> {\text{(a) Sea }}F{\text{ el conjunto de las funciones de }}\mathbb{R}{\text{ en }}\mathbb{R}{\text{. Se define la funcion }}\Phi {\text{:}}F \to \mathbb{R}{\text{ que a}} \hfill \\<br /> {\text{cada }}f \in F{\text{ le asocia }}\Phi (f) = f(0).{\text{ Demuestre que }}\Phi {\text{ es una funcion sobreyectiva}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{(b) Sean E}} \ne \emptyset {\text{ y }}A \subseteq E{\text{ }}({\text{fijo}}).{\text{ Se definen las funciones }}f{\text{ y }}g{\text{ de }}\rho (E){\text{ en }}\rho (E){\text{ mediante}} \hfill \\<br /> f(X) = A \cup X{\text{ y }}g(X) = A \cap X.{\text{ Para todo }}X \subseteq E. \hfill \\<br /> ({\text{i}}){\text{ Discuta en funcion de }}A{\text{ la posibilidad de que }}f{\text{ o }}g{\text{ sean sobreyenctivas (cada una por }} \hfill \\<br /> {\text{separado)}}{\text{. Justifique}} \hfill \\<br /> ({\text{ii}}){\text{Determinar un conjunto }}A{\text{ para el cual }}f{\text{ es bitectiva}}{\text{, y otro para el cual }}g{\text{ es biyectiva}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{ Justifique}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaadaqjEa<br />% qaaiaabcfacaqGZaGaaeOlaiaab2caaaaabaGaaeikaiaabggacaqG<br />% PaGaaeiiaiaaboeacaqGVbGaaeOBaiaabohacaqGPbGaaeizaiaabw<br />% gacaqGYbGaaeyzaiaabccacaqGLbGaaeiBaiaabccacaqGJbGaae4B<br />% aiaab6gacaqGQbGaaeyDaiaab6gacaqG0bGaae4BaiaabccacaWGbb<br />% Gaeyypa0ZaaiWaaeaacaaIXaGaeyOeI0YaaSaaaeaacaaIXaaabaGa<br />% amOBaaaacaGG8bGaamOBaiabgIGiolablwriLcGaay5Eaiaaw2haai<br />% aab6cacaqGGaGaaeyraiaab6gacaqGJbGaaeyDaiaabwgacaqGUbGa<br />% aeiDaiaabkhacaqGLbGaaeiiaiaabwgacaqGSbGaaeiiaiaabohaca<br />% qG1bGaaeiCaiaabkhacaqGLbGaaeyBaiaab+gacaqGGaGaaeizaiaa<br />% bwgacaqGGaGaamyqaiaabccacaqG5bGaaeiiaiaabchacaqGYbGaae<br />% yDaiaabwgacaqGIbGaaeyzaiaabccacaqGXbGaaeyDaiaabwgacaqG<br />% GaaabaGaaeyzaiaabAgacaqGLbGaae4yaiaabshacaqGPbGaaeODai<br />% aabggacaqGTbGaaeyzaiaab6gacaqG0bGaaeyzaiaabccacaqGLbGa<br />% ae4CaiaabccacaqGLbGaaeiBaiaabccacaqGZbGaaeyDaiaabchaca<br />% qGYbGaaeyzaiaab2gacaqGVbGaaeOlaaqaaaqaaiaabIcacaqGIbGa<br />% aeykaiaabccacaqGtbGaaeyzaiaabggacaqGGaGaamOqaiabgAOinl<br />% abl2riHkaab6cacaqGGaGaamOqaiabgcMi5kabgwGiglaab6cacaqG<br />% GaGaamOqaiaabccacaqGHbGaae4yaiaab+gacaqG0bGaaeyyaiaabs<br />% gacaqGVbGaaeiiaiaabohacaqG1bGaaeiCaiaabwgacaqGYbGaaeyA<br />% aiaab+gacaqGYbGaaeyBaiaabwgacaqGUbGaaeiDaiaabwgacaqGUa<br />% GaaeiiaiaabofacaqGLbGaaeyyaiaabccacqaHXoqycqGHiiIZcqWI<br />% DesOcaqGGaGaaeizaiaabggacaqGKbGaae4Baiaab6cacaqGGaGaae<br />% 4uaiaabwgacaqGGaGaaeizaiaabwgacaqGMbGaaeyAaiaab6gacaqG<br />% LbGaaeiiaiaabwgacaqGSbGaaeiiaiaabogacaqGVbGaaeOBaiaabQ<br />% gacaqG1bGaaeOBaiaabshacaqGVbGaaeOoaaqaaiaabccacaqGGaGa<br />% aeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccaca<br />% qGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaa<br />% bccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaae<br />% iiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqG<br />% GaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaabc<br />% cacaqGGaGaaeiiaiaabccacaqGGaGaaeiiaiaadkeacqGHRaWkcqaH<br />% XoqycqGH9aqpdaGadaqaaiaadkgacqGHRaWkcqaHXoqycaGG8bGaam<br />% OyaiabgIGiolaadkeaaiaawUhacaGL9baaaeaaaeaacaqGOaGaaeyA<br />% aiaabMcacaqGGaGaaeiraiaabwgacaqGTbGaaeyDaiaabwgacaqGZb<br />% GaaeiDaiaabkhacaqGLbGaaeiiaiaabghacaqG1bGaaeyzaiaabcca<br />% caqG0bGaaeyyaiaab6gacaqG0bGaae4BaiaabccacaWGcbGaaeiiai<br />% aabogacaqGVbGaaeyBaiaab+gacaqGGaGaamOqaiabgUcaRiabeg7a<br />% HjaabccacaqGWbGaae4BaiaabohacaqGLbGaaeyzaiaab6gacaqGGa<br />% Gaae4CaiaabwhacaqGWbGaaeOCaiaabwgacaqGTbGaae4Baiaab6ca<br />% aeaacaqGOaGaaeyAaiaabMgacaqGPaGaaeiiaiaabseacaqGLbGaae<br />% yBaiaabwhacaqGLbGaae4CaiaabshacaqGYbGaaeyzaiaabccacaqG<br />% XbGaaeyDaiaabwgacaqGGaGaae4CaiaabwhacaqGWbGaaeikaiaadk<br />% eacqGHRaWkcqaHXoqycaqGPaGaaeypaiaabohacaqG1bGaaeiCaiaa<br />% bIcacaWGcbGaaeykaiaabUcacqaHXoqycaqGUaaaaaa!58AC!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{{\text{P3}}{\text{. - }}} \hfill \\<br /> {\text{(a) Considere el conjunto }}A = \left\{ {1 - \frac{1}<br />{n}\|n \in \mathbb{N}} \right\}{\text{. Encuentre el supremo de }}A{\text{ y pruebe que }} \hfill \\<br /> {\text{efectivamente es el supremo}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{(b) Sea }}B \subseteq \mathbb{R}{\text{. }}B \ne \emptyset {\text{. }}B{\text{ acotado superiormente}}{\text{. Sea }}\alpha \in \mathbb{R}{\text{ dado}}{\text{. Se define el conjunto:}} \hfill \\<br /> {\text{ }}B + \alpha = \left\{ {b + \alpha \|b \in B} \right\} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{(i) Demuestre que tanto }}B{\text{ como }}B + \alpha {\text{ poseen supremo}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{(ii) Demuestre que sup(}}B + \alpha {\text{) = sup(}}B{\text{) + }}\alpha {\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$

rock&mati rock&mati Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2009, 10:30 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 316 Registrado: 2-May 08 Desde: a la &$€¬~#@ del mundo Miembro Nº: 21.900 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaadaqjEa<br />% qaaiaabcfacaqGXaGaaeOlaiaab2caaaaabaGaaeikaiaabMgacaqG<br />% PaGaaeiuaiaabggacaqGYbGaaeyyaiaabccacaWGUbGaeyypa0JaaG<br />% ymaiaabccacaqG0bGaaeyzaiaab6gacaqGLbGaaeyBaiaab+gacaqG<br />% ZbGaaeOoaiaabccacaaIYaGaeyyXICTaaG4naiabgUcaRiaaiodacq<br />% GHflY1caaI1aGaeyOeI0IaaGynaiabg2da9iaaikdacqGHflY1caaI<br />% 0aGaeyypa0JaaGOnaiabgwSixlaaisdacaGGUaGaaeiiaiaaboeaca<br />% qGVbGaaeOBaiaabccacaqGSbGaae4BaiaabccacaqGXbGaaeyDaiaa<br />% bwgacaqGGaGaaeyzaiaabohacaqGGaGaaeODaiaabwgacaqGYbGaae<br />% izaiaabggacaqGKbGaaeyzaiaabkhacaqGHbGaaeiiaiaabchacaqG<br />% HbGaaeOCaiaabggacaqGGaGaamOBaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGWb<br />% Gaaiikaiaad6gacaGGPaGaeyO0H4TaamiCaiaacIcacaWGUbGaey4k<br />% aSIaaGymaiaacMcacaGGSaGaaeiiaiaabchacaqGVbGaaeOCaiaabc<br />% cacaqGSbGaae4BaiaabccacaqGJbGaaeyDaiaabggacaqGSbGaaeii<br />% aiaab6gacaqG1bGaaeyzaiaabohacaqG0bGaaeOCaiaabggacaqGGa<br />% Gaaeisaiaab6cacaqGjbGaaeOlaiaabccacaqGLbGaae4Caiaabcca<br />% caqGXbGaaeyDaiaabwgacaqGGaGaaGOmaiabgwSixlaaiEdadaahaa<br />% Wcbeqaaiaad6gaaaGccaqGRaGaae4maiabgwSixlaabwdadaahaaWc<br />% beqaaiaab6gaaaGccaqGTaGaaeynaiabg2da9iaaiAdacaWGRbGaai<br />% OlaaqaaaqaaiaabchacaqGYbGaae4BaiaabkgacaqGLbGaaeyBaiaa<br />% b+gacaqGZbGaaeiiaiaabghacaqG1bGaaeyzaiaabccacaqGWbGaae<br />% yyaiaabkhacaqGHbGaaeiiaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaGaaeiiaiaa<br />% bwgacaqGZbGaaeiiaiaabAhacaqGLbGaaeOCaiaabsgacaqGHbGaae<br />% izaiaabwgacaqGYbGaaeyyaiaabYcacaqGGaGaaeiDaiaabwgacaqG<br />% UbGaaeyzaiaab2gacaqGVbGaae4CaiaabQdaaeaaaeaacaaIYaGaey<br />% yXICTaaG4namaaCaaaleqabaGaamOBaiabgUcaRiaaigdaaaGccaqG<br />% RaGaae4maiabgwSixlaabwdadaahaaWcbeqaaiaad6gacaqGRaGaae<br />% ymaaaakiaab2cacaqG1aaabaGaeyi1HSTaaGymaiaaisdacqGHflY1<br />% caaI3aWaaWbaaSqabeaacaWGUbaaaOGaae4kaiaabgdacaqG1aGaey<br />% yXICTaaeynamaaCaaaleqabaGaamOBaaaakiaab2cacaqG1aaabaGa<br />% eyi1HSTaaGOmaiabgwSixlaaiEdadaahaaWcbeqaaiaad6gaaaGcca<br />% qGRaGaaeymaiaabkdacqGHflY1caaI3aWaaWbaaSqabeaacaWGUbaa<br />% aOGaae4kaiaabodacqGHflY1caqG1aWaaWbaaSqabeaacaWGUbaaaO<br />% Gaae4kaiaabgdacaqGYaGaeyyXICTaaeynamaaCaaaleqabaGaamOB<br />% aaaakiaab2cacaqG1aaabaGaeyi1HS9aaGbaaeaacaaIYaGaeyyXIC<br />% TaaG4namaaCaaaleqabaGaamOBaaaakiaabUcacaqGZaGaeyyXICTa<br />% aeynamaaCaaaleqabaGaamOBaaaakiaab2cacaqG1aaaleaacaqGWb<br />% Gaae4BaiaabkhacaqGGaGaaeisaiaab6cacaqGjbGaeyOKH4QaaGOn<br />% aiaadUgaaOGaayjo+dGaae4kaiaabgdacaqGYaGaeyyXICTaaG4nam<br />% aaCaaaleqabaGaamOBaaaakiaabUcacaqGXaGaaeOmaiabgwSixlaa<br />% bwdadaahaaWcbeqaaiaad6gaaaaakeaacqGHuhY2caaI2aGaam4Aai<br />% abgUcaRiaaigdacaaIYaGaaiikaiaaiEdadaahaaWcbeqaaiaad6ga<br />% aaGccqGHRaWkcaqG1aWaaWbaaSqabeaacaWGUbaaaOGaaiykaaqaai<br />% abgsDiBlaaiAdacaGGOaGaam4AaiabgUcaRiaaikdacqGHflY1caaI<br />% 3aWaaWbaaSqabeaacaWGUbaaaOGaey4kaSIaaGOmaiabgwSixlaabw<br />% dadaahaaWcbeqaaiaad6gaaaGccaGGPaaabaGaeyi1HSTaaGOnaiaa<br />% dUeaaeaaaeaacaqGdbGaae4Baiaab6gacaqGGaGaaeiBaiaab+gaca<br />% qGGaGaaeyCaiaabwhacaqGLbGaaeiiaiaabghacaqG1bGaaeyzaiaa<br />% bsgacaqGHbGaaeiiaiaabsgacaqGLbGaaeyBaiaab+gacaqGZbGaae<br />% iDaiaabkhacaqGHbGaaeizaiaab+gacaqGGaGaaeiCaiaabggacaqG<br />% YbGaaeyyaiaabccacaWGUbGaey4kaSIaaGymaaaaaa!78DD!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{{\text{P1}}{\text{. - }}} \hfill \\<br /> {\text{(i)Para }}n = 1{\text{ tenemos: }}2 \cdot 7 + 3 \cdot 5 - 5 = 2 \cdot 4 = 6 \cdot 4.{\text{ Con lo que es verdadera para }}n = 1 \hfill \\<br /> p(n) \Rightarrow p(n + 1),{\text{ por lo cual nuestra H}}{\text{.I}}{\text{. es que }}2 \cdot 7^n {\text{ + 3}} \cdot {\text{5}}^{\text{n}} {\text{ - 5}} = 6k. \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{probemos que para }}n + 1{\text{ es verdadera}}{\text{, tenemos:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 2 \cdot 7^{n + 1} {\text{ + 3}} \cdot {\text{5}}^{n{\text{ + 1}}} {\text{ - 5}} \hfill \\<br /> \Leftrightarrow 14 \cdot 7^n {\text{ + 15}} \cdot {\text{5}}^n {\text{ - 5}} \hfill \\<br /> \Leftrightarrow 2 \cdot 7^n {\text{ + 12}} \cdot 7^n {\text{ + 3}} \cdot {\text{5}}^n {\text{ + 12}} \cdot {\text{5}}^n {\text{ - 5}} \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \underbrace {2 \cdot 7^n {\text{ + 3}} \cdot {\text{5}}^n {\text{ - 5}}}_{{\text{por H}}{\text{.I}} \to 6k}{\text{ + 12}} \cdot 7^n {\text{ + 12}} \cdot {\text{5}}^n \hfill \\<br /> \Leftrightarrow 6k + 12(7^n + {\text{5}}^n ) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow 6(k + 2 \cdot 7^n + 2 \cdot {\text{5}}^n ) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow 6K \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Con lo que queda demostrado para }}n + 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: <br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaqGOa<br />% GaaeyAaiaabMgacaqGPaGaaeiiaiaabccadaaeWbqaamaabmaabaWa<br />% a0baaSqaaiaadUgaaeaacaWGUbaaaaGccaGLOaGaayzkaaGaam4Aam<br />% aaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabg2da9aWcbaGaae4Aaiaab2dacaqG<br />% XaaabaGaamOBaaqdcqGHris5aOWaaabCaeaadaqadaqaamaaDaaale<br />% aacaWGRbaabaGaamOBaaaaaOGaayjkaiaawMcaaiaacIcacaWGRbGa<br />% ey4kaSIaam4AaiaacIcacaWGRbGaeyOeI0IaaGymaiaacMcacaGGPa<br />% Gaeyypa0ZaamWaaeaadaaeWbqaamaabmaabaWaa0baaSqaaiaadUga<br />% aeaacaWGUbaaaaGccaGLOaGaayzkaaGaam4AaiabgUcaRmaaqahaba<br />% WaaeWaaeaadaqhaaWcbaGaam4Aaaqaaiaad6gaaaaakiaawIcacaGL<br />% PaaaaSqaaiaabUgacaqG9aGaaeymaaqaaiaad6gaa0GaeyyeIuoaki<br />% aadUgacaGGOaGaam4AaiabgkHiTiaaigdacaGGPaaaleaacaqGRbGa<br />% aeypaiaabgdaaeaacaWGUbaaniabggHiLdaakiaawUfacaGLDbaaaS<br />% qaaiaabUgacaqG9aGaaeymaaqaaiaad6gaa0GaeyyeIuoakiabg2da<br />% 9aqaaiabgsDiBpaabmaabaWaaabCaeaadaWcaaqaaiaad6gacaGGHa<br />% aabaGaam4Aaiaacgcadaqadaqaaiaad6gacqGHsislcaWGRbaacaGL<br />% OaGaayzkaaGaaiyiaaaacqGHflY1caWGRbaaleaacaqGRbGaaeypai<br />% aabgdaaeaacaWGUbaaniabggHiLdaakiaawIcacaGLPaaacqGHRaWk<br />% daqadaqaamaaqahabaWaaeWaaeaadaqhaaWcbaGaam4Aaaqaaiaad6<br />% gaaaaakiaawIcacaGLPaaacaWGRbGaaiikaiaadUgacqGHsislcaaI<br />% XaGaaiykaaWcbaGaae4Aaiaab2dacaqGYaaabaGaamOBaaqdcqGHri<br />% s5aaGccaGLOaGaayzkaaaabaGaeyi1HS9aaeWaaeaadaaeWbqaamaa<br />% laaabaGaamOBaiaacgcaaeaacaGGOaGaam4AaiabgkHiTiaaigdaca<br />% GGPaGaaiyiamaabmaabaGaamOBaiabgkHiTiaadUgaaiaawIcacaGL<br />% PaaacaGGHaaaaaWcbaGaae4Aaiaab2dacaqGXaaabaGaamOBaaqdcq<br />% GHris5aaGccaGLOaGaayzkaaGaey4kaSYaaeWaaeaadaaeWbqaamaa<br />% laaabaGaamOBaiaacgcaaeaacaWGRbGaaiyiamaabmaabaGaamOBai<br />% abgkHiTiaadUgaaiaawIcacaGLPaaacaGGHaaaaiabgwSixlaadUga<br />% caGGOaGaam4AaiabgkHiTiaaigdacaGGPaaaleaacaqGRbGaaeypai<br />% aabkdaaeaacaWGUbaaniabggHiLdaakiaawIcacaGLPaaaaeaacqGH<br />% uhY2daqadaqaamaaqahabaWaaSaaaeaacaGGOaGaamOBaiabgkHiTi<br />% aaigdacaGGPaGaaiyiaaqaaiaacIcacaWGRbGaeyOeI0IaaGymaiaa<br />% cMcacaGGHaWaaeWaaeaacaWGUbGaeyOeI0Iaam4AaaGaayjkaiaawM<br />% caaiaacgcaaaaaleaacaqGRbGaaeypaiaabgdaaeaacaWGUbaaniab<br />% ggHiLdGccqGHflY1caWGUbaacaGLOaGaayzkaaGaey4kaSYaaeWaae<br />% aadaaeWbqaamaalaaabaGaamOBaiaacgcaaeaacaGGOaGaam4Aaiab<br />% gkHiTiaaikdacaGGPaGaaiyiamaabmaabaGaamOBaiabgkHiTiaadU<br />% gaaiaawIcacaGLPaaacaGGHaaaaaWcbaGaae4Aaiaab2dacaqGYaaa<br />% baGaamOBaaqdcqGHris5aaGccaGLOaGaayzkaaaabaGaeyi1HS9aae<br />% WaaeaadaaeWbqaamaabmaabaWaa0baaSqaaiaadUgacqGHsislcaaI<br />% XaaabaGaamOBaiabgkHiTiaaigdaaaaakiaawIcacaGLPaaaaSqaai<br />% aabUgacaqG9aGaaeymaaqaaiaad6gaa0GaeyyeIuoakiabgwSixlaa<br />% d6gaaiaawIcacaGLPaaacqGHRaWkdaqadaqaamaaqahabaWaaSaaae<br />% aacaGGOaGaamOBaiabgkHiTiaaikdacaGGPaGaaiyiaaqaaiaacIca<br />% caWGRbGaeyOeI0IaaGOmaiaacMcacaGGHaWaaeWaaeaacaWGUbGaey<br />% OeI0Iaam4AaaGaayjkaiaawMcaaiaacgcaaaaaleaacaqGRbGaaeyp<br />% aiaabkdaaeaacaWGUbaaniabggHiLdGccqGHflY1caWGUbGaaiikai<br />% aad6gacqGHsislcaaIXaGaaiykaaGaayjkaiaawMcaaaqaaiabgsDi<br />% BpaabmaabaGaamOBamaaqahabaWaaeWaaeaadaqhaaWcbaGaam4Aai<br />% abgkHiTiaaigdaaeaacaWGUbGaeyOeI0IaaGymaaaaaOGaayjkaiaa<br />% wMcaaaWcbaGaae4Aaiaab2dacaqGXaaabaGaamOBaaqdcqGHris5aa<br />% GccaGLOaGaayzkaaGaey4kaSYaaeWaaeaadaaeWbqaamaabmaabaWa<br />% a0baaSqaaiaadUgacqGHsislcaaIYaaabaGaamOBaiabgkHiTiaaik<br />% daaaaakiaawIcacaGLPaaaaSqaaiaabUgacaqG9aGaaeOmaaqaaiaa<br />% d6gaa0GaeyyeIuoakiabgwSixlaad6gacaGGOaGaamOBaiabgkHiTi<br />% aaigdacaGGPaaacaGLOaGaayzkaaaabaGaeyi1HSTaamOBamaaqaha<br />% baWaaeWaaeaadaqhaaWcbaGaam4AaiabgkHiTiaaigdaaeaacaWGUb<br />% GaeyOeI0IaaGymaaaaaOGaayjkaiaawMcaaaWcbaGaae4Aaiaab2da<br />% caqGXaaabaGaamOBaaqdcqGHris5aOGaey4kaSIaamOBaiaacIcaca<br />% WGUbGaeyOeI0IaaGymaiaacMcadaaeWbqaamaabmaabaWaa0baaSqa<br />% aiaadUgacqGHsislcaaIYaaabaGaamOBaiabgkHiTiaaikdaaaaaki<br />% aawIcacaGLPaaaaSqaaiaabUgacaqG9aGaaeOmaaqaaiaad6gaa0Ga<br />% eyyeIuoaaOqaaiabgsDiBlaad6gadaaeWbqaamaabmaabaWaa0baaS<br />% qaaiaadUgaaeaacaWGUbGaeyOeI0IaaGymaaaaaOGaayjkaiaawMca<br />% aiabgUcaRiaad6gacaGGOaGaamOBaiabgkHiTiaaigdacaGGPaaale<br />% aacaWGRbGaeyypa0JaaGimaaqaaiaad6gacqGHsislcaaIXaaaniab<br />% ggHiLdGcdaaeWbqaamaabmaabaWaa0baaSqaaiaadUgaaeaacaWGUb<br />% GaeyOeI0IaaGOmaaaaaOGaayjkaiaawMcaaaWcbaGaam4Aaiabg2da<br />% 9iaaicdaaeaacaWGUbGaeyOeI0IaaGOmaaqdcqGHris5aaGcbaGaey<br />% i1HSTaamOBamaaqahabaWaaeWaaeaadaqhaaWcbaGaam4Aaaqaaiaa<br />% d6gacqGHsislcaaIXaaaaaGccaGLOaGaayzkaaGaaiikaiaaigdaca<br />% GGPaWaaWbaaSqabeaacaWGUbGaeyOeI0IaaGymaiabgkHiTiaadUga<br />% aaGccaGGOaGaaGymaiaacMcadaahaaWcbeqaaiaadUgaaaGccqGHRa<br />% WkcaWGUbGaaiikaiaad6gacqGHsislcaaIXaGaaiykaaWcbaGaam4A<br />% aiabg2da9iaaicdaaeaacaWGUbGaeyOeI0IaaGymaaqdcqGHris5aO<br />% WaaabCaeaadaqadaqaamaaDaaaleaacaWGRbaabaGaamOBaiabgkHi<br />% TiaaikdaaaaakiaawIcacaGLPaaacaGGOaGaaGymaiaacMcadaahaa<br />% Wcbeqaaiaad6gacqGHsislcaaIYaGaeyOeI0Iaam4AaaaakiaacIca<br />% caaIXaGaaiykamaaCaaaleqabaGaam4AaaaaaeaacaWGRbGaeyypa0<br />% JaaGimaaqaaiaad6gacqGHsislcaaIYaaaniabggHiLdaakeaacqGH<br />% uhY2caWGUbGaaiikaiaaigdacqGHRaWkcaaIXaGaaiykamaaCaaale<br />% qabaGaamOBaiabgkHiTiaaigdaaaGccqGHRaWkcaWGUbGaaiikaiaa<br />% d6gacqGHsislcaaIXaGaaiykaiaacIcacaaIXaGaey4kaSIaaGymai<br />% aacMcadaahaaWcbeqaaiaad6gacqGHsislcaaIYaaaaaGcbaGamajG<br />% gsDiBlacqc4GUbGamajGgwSixlacqciIYaWaiajGCaaaleqcqcyaia<br />% jGcGaKaoOBaiadqcOHsislcGaKaIymaaaakiadqcOHRaWkcGaKaoOB<br />% aiacqcOGOaGaiajGd6gacWaKaAOeI0IaiajGigdacGaKakykaiadqc<br />% OHflY1cGaKaIOmamacqcihaaWcbKaKagacqcOaiajGd6gacWaKaAOe<br />% I0IaiajGikdaaaaakeaacqGHuhY2caWGUbGaeyyXICTaaGOmamaaCa<br />% aaleqabaGaamOBaiabgkHiTiaaigdaaaGcdaqadaqaaiaaigdacqGH<br />% RaWkdaWcaaqaaiaacIcacaWGUbGaeyOeI0IaaGymaiaacMcaaeaaca<br />% aIYaaaaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iacqc4GUbGamajGgwSixlac<br />% qciIYaWaiajGCaaaleqcqcyaiajGcGaKaoOBaiadqcOHsislcGaKaI<br />% ymaaaakmacqcyadaqaiajGdGaKaUaaaeacqcOaiajGikdacWaKaA4k<br />% aSIaiajGd6gacWaKaAOeI0IaiajGigdaaeacqcOaiajGikdaaaaacG<br />% aKaAjkaiacqcOLPaaacqGH9aqpcaWGUbGaeyyXICTaaGOmamaaCaaa<br />% leqabaGaamOBaaaakmaabmaabaWaaSaaaeaacaaIXaGaey4kaSIaam<br />% OBaaqaaiaaisdaaaaacaGLOaGaayzkaaaabaGaeyi1HS9aauIhaeaa<br />% daWcaaqaaiaad6gacqGHflY1caaIYaWaaWbaaSqabeaacaWGUbaaaO<br />% GaaiikaiaaigdacqGHRaWkcaWGUbGaaiykaaqaaiaaisdaaaaaaaaa<br />% aa!5F37!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{(ii) }}\sum\limits_{{\text{k = 1}}}^n {\left( {_k^n } \right)k^2 = } \sum\limits_{{\text{k = 1}}}^n {\left( {_k^n } \right)(k + k(k - 1)) = \left[ {\sum\limits_{{\text{k = 1}}}^n {\left( {_k^n } \right)k + \sum\limits_{{\text{k = 1}}}^n {\left( {_k^n } \right)} k(k - 1)} } \right]} = \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \left( {\sum\limits_{{\text{k = 1}}}^n {\frac{{n!}}<br />{{k!\left( {n - k} \right)!}} \cdot k} } \right) + \left( {\sum\limits_{{\text{k = 2}}}^n {\left( {_k^n } \right)k(k - 1)} } \right) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \left( {\sum\limits_{{\text{k = 1}}}^n {\frac{{n!}}<br />{{(k - 1)!\left( {n - k} \right)!}}} } \right) + \left( {\sum\limits_{{\text{k = 2}}}^n {\frac{{n!}}<br />{{k!\left( {n - k} \right)!}} \cdot k(k - 1)} } \right) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \left( {\sum\limits_{{\text{k = 1}}}^n {\frac{{(n - 1)!}}<br />{{(k - 1)!\left( {n - k} \right)!}}} \cdot n} \right) + \left( {\sum\limits_{{\text{k = 2}}}^n {\frac{{n!}}<br />{{(k - 2)!\left( {n - k} \right)!}}} } \right) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \left( {\sum\limits_{{\text{k = 1}}}^n {\left( {_{k - 1}^{n - 1} } \right)} \cdot n} \right) + \left( {\sum\limits_{{\text{k = 2}}}^n {\frac{{(n - 2)!}}<br />{{(k - 2)!\left( {n - k} \right)!}}} \cdot n(n - 1)} \right) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \left( {n\sum\limits_{{\text{k = 1}}}^n {\left( {_{k - 1}^{n - 1} } \right)} } \right) + \left( {\sum\limits_{{\text{k = 2}}}^n {\left( {_{k - 2}^{n - 2} } \right)} \cdot n(n - 1)} \right) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow n\sum\limits_{{\text{k = 1}}}^n {\left( {_{k - 1}^{n - 1} } \right)} + n(n - 1)\sum\limits_{{\text{k = 2}}}^n {\left( {_{k - 2}^{n - 2} } \right)} \hfill \\<br /> \Leftrightarrow n\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left( {_k^{n - 1} } \right) + n(n - 1)} \sum\limits_{k = 0}^{n - 2} {\left( {_k^{n - 2} } \right)} \hfill \\<br /> \Leftrightarrow n\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left( {_k^{n - 1} } \right)(1)^{n - 1 - k} (1)^k + n(n - 1)} \sum\limits_{k = 0}^{n - 2} {\left( {_k^{n - 2} } \right)(1)^{n - 2 - k} (1)^k } \hfill \\<br /> \Leftrightarrow n(1 + 1)^{n - 1} + n(n - 1)(1 + 1)^{n - 2} \hfill \\<br /> \Leftrightarrow n \cdot 2^{n - 1} + n(n - 1) \cdot 2^{n - 2} \hfill \\<br /> \Leftrightarrow n \cdot 2^{n - 1} \left( {1 + \frac{{(n - 1)}}<br />{2}} \right) = n \cdot 2^{n - 1} \left( {\frac{{2 + n - 1}}<br />{2}} \right) = n \cdot 2^n \left( {\frac{{1 + n}}<br />{4}} \right) \hfill \\<br /> \Leftrightarrow \boxed{\frac{{n \cdot 2^n (1 + n)}}<br />{4}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$

Juαn Arcøζ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2009, 10:44 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 669 Registrado: 19-June 08 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 27.734 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	pucha hiciste justo la que me sabia... lo otro no le hemos visto u.u...XD Saludos -------------------- Biomedical Engineering Vendo libros de MATEMATICAS... Calculo diferencial e integral (Schaum´s Outline series) Calculo Avanzado (Schaum´s Outline series) Analisis de vectores(Schaum´s Outline series) en ingles...cualquier cosa mp

Juαn Arcøζ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2009, 10:45 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 669 Registrado: 19-June 08 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 27.734 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	---doble-post-- Mensaje modificado por Juan Arcos el Jan 16 2009, 10:49 PM -------------------- Biomedical Engineering Vendo libros de MATEMATICAS... Calculo diferencial e integral (Schaum´s Outline series) Calculo Avanzado (Schaum´s Outline series) Analisis de vectores(Schaum´s Outline series) en ingles...cualquier cosa mp

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 16 2009, 11:14 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La sumita la habia posteado hace un par de dias atrás en este enlace : http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=38488 $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \left( {1 + x} \right)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{gathered}<br /> n \hfill \\<br /> k \hfill \\ <br />\end{gathered} \right)x^k } \Rightarrow \frac{{d\left( {1 + x} \right)^n }}<br />{{dx}} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{gathered}<br /> n \hfill \\<br /> k \hfill \\ <br />\end{gathered} \right)} \frac{d}<br />{{dx}}\left\{ {x^k } \right\} \hfill \\<br /> \Rightarrow n\left( {1 + x} \right)^{n - 1} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{gathered}<br /> n \hfill \\<br /> k \hfill \\ <br />\end{gathered} \right)kx^{k - 1} } \hfill \\<br /> \Rightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {1 + x} \right)^{n - 2} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{gathered}<br /> n \hfill \\<br /> k \hfill \\ <br />\end{gathered} \right)k\left( {k - 1} \right)x^{k - 2} = } \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{gathered}<br /> n \hfill \\<br /> k \hfill \\ <br />\end{gathered} \right)k^2 x^{k - 2} - \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{gathered}<br /> n \hfill \\<br /> k \hfill \\ <br />\end{gathered} \right)kx^{k - 2} } } \hfill \\<br /> \underbrace \Rightarrow _{x = 1}n\left( {n - 1} \right)2^{n - 2} + \underbrace {\sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{gathered}<br /> n \hfill \\<br /> k \hfill \\ <br />\end{gathered} \right)k} }_{n2^{n - 1} } = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{gathered}<br /> n \hfill \\<br /> k \hfill \\ <br />\end{gathered} \right)k^2 } \hfill \\<br /> \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{gathered}<br /> n \hfill \\<br /> k \hfill \\ <br />\end{gathered} \right)k^2 } = 2^{n - 2} n\left( {n + 1} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Lo anterior es lo mismo que hizo coquitao -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 25 2010, 02:57 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	2a $TEX: \noindent Sea $\alpha\in\mathbb{R}$. Como la función $f(x)\equiv \alpha,\forall x\in\mathbb{R},$ existe y $\Phi(f)=\alpha$, se concluye lo pedido.$ 2bii $TEX: \noindent $A=\emptyset$ y $A=E$ transforman a $f$ y $g$ en la función identidad, respectivamente. Luego, $f,g$ son trivialemente sobreyectivas.$ 3a $TEX: \noindent Es claro que 1 es cota superior del conjunto. Probaremos que $\sup A=1$. Sea $\epsilon>0$, entonces existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n\geq N$ vale que<br />\[\frac{1}{n}<\epsilon.\]<br />Así,<br />\[1-\left(1-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}<\epsilon.\]<br />$ 3b $TEX: \noindent En efecto, como $B$ es acotado superiormente, existe $M\in\mathbb{R}$ tal que $b\leq M,\forall b\in B$ y por axioma del supremo, existe una cota que es la menor. Análogamente, podemos ver que $b+\alpha<M+\alpha,\forall b\in B$, de lo cual sigue que $B+\alpha$ es acotado superiormente y sigue el mismo argumento.\\<br />\\<br />Sea $M=\sup B$ y $\epsilon>0$. Por como fue definido $M$, existe $b\in B$ tal que<br />\[M-b\leq \epsilon\Rightarrow \left(M+\alpha\right)-\left(b+\alpha\right)<\epsilon.\]<br />$ Para la 2bi me parece que basta con notar que $TEX: $A\subseteq A\cup X$$ y $TEX: $A\cap X\subseteq A$$ o no? -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

VA Jiménez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2012, 07:38 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 644 Registrado: 28-June 09 Miembro Nº: 54.733 Nacionalidad:	u.u ojalá nos hubieran tirado este control!

gamby Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2012, 08:56 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.847 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.760 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(VA Jiménez @ Jan 19 2012, 08:38 PM) u.u ojalá nos hubieran tirado este control! súbanse el control pos

VA Jiménez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 20 2012, 01:08 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 644 Registrado: 28-June 09 Miembro Nº: 54.733 Nacionalidad:	CITA(gamby @ Jan 19 2012, 09:56 PM) súbanse el control pos ****, no sé Latex ! He intentado con este http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php pero no cacho cuál de todos los "links" disponibles tengo que pegar en el foro xD.

« Posterior · Matemáticas III · Anterior »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 24th November 2024 - 12:28 AM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.