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Primer propuesto del año

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 8 2009, 01:56 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sean $TEX: $a,b,c\in \mathbb{R^+}$$ tales que $TEX: $abc=1$$ . Demostrar que: $TEX: $\displaystyle \frac{a}{(a+1)(b+1)}+\displaystyle \frac{b}{(b+1)(c+1)}+\displaystyle \frac{c}{(c+1)(a+1)}\ge \displaystyle \frac{3}{4}$$ PD:No se si este posteado en el foro. Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 8 2009, 11:26 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent Si hacemos el mismo denominador $(a+1)(b+1)(c+1)$ pa todos y haciendo $n=a+b+c+ab+bc+ca$ tenemos que probar que $\frac{n}{n+abc+1}\ge \frac{3}{4}$ pero $abc=1$ por lo tanto habria que probar que $\frac{n}{n+2}\ge \frac{3}{4}\Leftrightarrow n\ge 6$ pero como $ab=\frac{1}{c}$ hacemos lo mismo con las otras $2$ expresiones quedando $n=a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}$ y como $x+\frac{1}{x}\ge 2$ para $x>0$ entonces $n\ge 6$ y queda probado.$ -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 9 2009, 11:01 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solucion correctisima pelao . Es bueno verte posteando en fmat. Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

MatematicoPrinci... MatematicoPrincipiante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 23 2013, 10:14 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 699 Registrado: 21-July 11 Miembro Nº: 92.061 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Aquí otra solución Tenemos que probar que $TEX: $ab + bc + ca + a + b + c \geq 6$$ <=> $TEX: $\frac{ab + bc + ca + a + b + c}{6} \geq 1$$ Por $TEX: $MA \geq MG$$ tenemos que $TEX: $\frac{ab + bc + ca + a + b + c}{6} \geq \sqrt[6]{ab\cdot{}bc\cdot{}ca\cdot{}a\cdot{}b\cdot{}c}$$ Ordenando términos $TEX: $\frac{ab + bc + ca + a + b + c}{6} \geq \sqrt[6]{abc\cdot{}abc\cdot{}abc}$$ Finalmente concluimos que $TEX: $\frac{ab + bc + ca + a + b + c}{6} \geq 1$$ Q.E.D --------------------

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