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Integräl II, :)

Amadís Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2009, 05:26 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 365 Registrado: 27-March 08 Desde: La Punta, Mostazal, VI Región, insondable universo Miembro Nº: 18.086 Universidad: Sexo:	Calcular: $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaci<br />% GGSbGaaiOBaiaacIcacaaIXaGaeyOeI0IaaGOmaiaadggaciGGJbGa<br />% ai4BaiaacohacaWG4bGaey4kaSIaamyyamaaCaaaleqabaGaaGOmaa<br />% aaaeaacaaIWaaabaGaeqiWdahaniabgUIiYdGccaGGPaGaamizaiaa<br />% dIhaaaa!4948!<br />\[<br />\int\limits_0^\pi {\ln (1 - 2a\cos x + a^2 } )dx<br />\]$ Con: $TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaqWaaeaaca<br />% WGHbaacaGLhWUaayjcSdGaeyipaWJaaGymaaaa!3B42!<br />\[<br />\left\| a \right\| < 1<br />\]$ Namárië! -------------------- Soy luz, brisa, magia y dicha. ¡Que la Tierra cante silencios y que el mar bese con su furia mi piel! ¡De Alejandría a Sevilla y de Milán a Glasgow canta mi espada!

w851989 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2009, 07:44 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 111 Registrado: 12-March 08 Desde: En el computador Miembro Nº: 16.721 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Lo hice con teorema de residuos, nose si sera un abuso de poder $TEX: <br />$\int\limits_{0}^{\pi}{\ln{(1-2 a \cos{x}+a^2)}}dx = \frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{\ln{(1-2 a \cos{x}+a^2)}}dx<br />= \frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{\ln{(1-2 a \frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2}+a^2)} \frac{ie^{i x}}{ie^{i x}}}dx$<br />usamos el cambio $z = e^{i x}$ y nos queda la integral a lo largo de la circunferencia unitaria:\\<br />$= \frac{1}{2}\int\limits_{\gamma}{\ln{(1- a (z + \frac{1}{z}) + a^2)} \frac{1}{i z}} dz$\\<br />notamos que el integrando solo tiene un polo dentro de la circunferencia unitaria y este esta en cero, queremos usar el teorema de residuos para esto calculamos el residuo del integrando en cero\\<br />$\lim_{z \rightarrow 0}{\frac{z \ln{(1- a (z + \frac{1}{z}) + a^2)}}{i z}}$<br />como ln es continuo pasamos el limite para adentro:\\<br />$\frac{1}{i} \ln{\lim_{z \rightarrow 0}{(1- a (z + \frac{1}{z}) + a^2)}}<br />=\frac{1}{i} \ln{\lim_{z \rightarrow 0}{\frac{(1+a^2)z+1-a z^2}{z}}}$\\<br />usamos L'Hospital y tenemos:\\<br />$=\frac{1}{i} \ln{1+a^2}$<br /><br />finalmente por teorema de residuos tenemos que:\\<br />$\frac{1}{2}\int\limits_{\gamma}{\ln{(1- a (z + \frac{1}{z}) + a^2)} \frac{1}{i z}} dz = \frac{1}{2} 2 \pi i \frac{1}{i} \ln{(1+a^2)}$\\<br />es decir:\\<br />$\int\limits_{0}^{\pi}{\ln{(1-2 a \cos{x}+a^2)}}dx = \pi \ln{(1+a^2)}$<br />$ Esop Saludos -------------------- Esteban Andrés Paduro Williamson 6° Año Ingenieria Civil Matemática UTFSM "¿Sabe usted? Todos nos hicimos matemáticos por la misma razón: éramos perezosos." Max Rosenlicht (1949)

Amadís Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2009, 06:28 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 365 Registrado: 27-March 08 Desde: La Punta, Mostazal, VI Región, insondable universo Miembro Nº: 18.086 Universidad: Sexo:	Muchísimas gracias por vuestra ayuda. Saludos. -------------------- Soy luz, brisa, magia y dicha. ¡Que la Tierra cante silencios y que el mar bese con su furia mi piel! ¡De Alejandría a Sevilla y de Milán a Glasgow canta mi espada!

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2009, 03:06 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	En realidad $TEX: $$f(\alpha)=\int_{0}^{\pi }{\ln \left( 1-2\alpha \cos x+\alpha ^{2} \right)\,dx}=0,$$$ dado $TEX: $\|\alpha\|<1.$$ Por otra parte, para $TEX: $\|\alpha\|>1$$ se tiene que $TEX: $$\frac1{\|\alpha\|}<1$$$ con esto se sigue que $TEX: $$f\left( \frac{1}{\alpha } \right)=0,$$$ y de aquí $TEX: $$f\left( \frac{1}{\alpha } \right)=f(\alpha )-2\pi \ln \left\| \alpha \right\|\implies f(\alpha )=2\pi \ln \left\| \alpha \right\|,\,\forall \,\alpha \in \,(-\infty ,-1)\cup (1,\infty ).$$$ Además $TEX: $f(0)=0,$$ luego para probar que $TEX: $f(\alpha)=0$$ dado $TEX: $\|\alpha\|<1,$$ solamente tienes que probar que $TEX: $$f'(\alpha )=2\int_{0}^{\pi }{\frac{\alpha -\cos x}{1-2\alpha \cos x+\alpha ^{2}}\,dx}=0.$$$

w851989 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2009, 08:52 PM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 111 Registrado: 12-March 08 Desde: En el computador Miembro Nº: 16.721 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	teneis razon, me equivoque calculando el residuo, xD... pero ese desarrollo tampoco lo veo muy facil demostrar que esa integral es cero... -------------------- Esteban Andrés Paduro Williamson 6° Año Ingenieria Civil Matemática UTFSM "¿Sabe usted? Todos nos hicimos matemáticos por la misma razón: éramos perezosos." Max Rosenlicht (1949)

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