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Propuesto Itachi 72

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2009, 02:04 AM Publicado: #1
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Sea }}f:V \to W{\text{ una aplicacion lineal y }}\beta = \left\{ {v_1 ,......,v_n } \right\}{\text{ una base de V}}{\text{,}} \hfill \\<br /> {\text{entonces demuestre las siguientes proposiciones :}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \bullet {\text{ }}f{\text{ es inyectiva si solo si }}\left\{ {f\left( {v_1 } \right),.......,f\left( {v_n } \right)} \right\}{\text{ es L}}{\text{.I}} \hfill \\<br /> \bullet {\text{ }}f{\text{ es epiyectiva si solo si }}\left\{ {f\left( {v_1 } \right),.......,f\left( {v_n } \right)} \right\}{\text{ generan W}} \hfill \\<br /> \bullet f{\text{ es biyectiva si solo si }}\left\{ {f\left( {v_1 } \right),.......,f\left( {v_n } \right)} \right\}{\text{ es base de W}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

camileis Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2009, 08:16 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 296 Registrado: 26-May 08 Miembro Nº: 24.633 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Por propiedad de T.L si $B = \left\{ {v_1 ,...v_n } \right\}$ es base, f(B) es generado por $\left\{ {f(v_1 ),...,f(v_n )} \right\}$.\\\\<br />Ahora\\<br /><br /><br /> $\bullet$ Sea $f(B) = \left\{ {f(v_1 ),...,f(v_n )} \right\}$\\<br /><br />Sera L.I solo si $rangf(B) = n$\\<br /><br />luego:\\<br /><br />$f(B)L.I \Rightarrow rangf(B) = n \Rightarrow \dim f(V) = n = \dim V$\\<br /><br />Hacien uso del T. de la dimension:\\<br /><br />$\begin{gathered}<br /> \dim V = \dim f(V) \hfill \\<br /> \begin{array}{{20}c}<br /> {\dim V = \dim f(V)} & \Rightarrow & {\dim Nuc(f) = 0} \\<br /><br /> \end{array} \hfill \\<br /> \begin{array}{{20}c}<br /> { \Rightarrow Nuc(f) = 0} & \Rightarrow & {f\ \ es\ \ inyectiva} \\<br /><br /> \end{array} \hfill \\ <br />\end{gathered}$\\\\<br /><br />$\bullet$ Sea $\dim W = m$\\<br /><br />f es epiyectiva si $\operatorname{Im} f = W$\\<br /><br />$\therefore \dim \operatorname{Im} f = \dim W$\\<br /><br />Si F(B) genera W $\Rightarrow \dim \operatorname{Im} f = \dim W$\\<br /><br />$\begin{array}{{20}c}<br /> {\therefore \operatorname{Im} f = m} & \Rightarrow & {f\ \ es\ \ epiyetiva} \\<br /><br /> \end{array}$\\<br /><br />$\bullet$ De lo anterior tenemos:\\<br /><br />Si F(B) es L.I y genera W, implica que es inyectiva y epiyectiva a la vez, por lo tanto sera biyectiva.<br />$ -------------------- ex-ingenieria en biotecnologia* -USACH 2008 ahora fonoaudiologia -UCH 2009

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 23 2009, 07:09 PM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(camileis @ Jan 23 2009, 01:16 AM) $TEX: Por propiedad de T.L si $B = \left\{ {v_1 ,...v_n } \right\}$ es base, f(B) es generado por $\left\{ {f(v_1 ),...,f(v_n )} \right\}$.\\\\<br />Ahora\\<br /> $\bullet$ Sea $f(B) = \left\{ {f(v_1 ),...,f(v_n )} \right\}$\\<br /><br />Sera L.I solo si $rangf(B) = n$\\<br /><br />luego:\\<br /><br />$f(B)L.I \Rightarrow rangf(B) = n \Rightarrow \dim f(V) = n = \dim V$\\<br /><br />Hacien uso del T. de la dimension:\\<br /><br />$\begin{gathered}<br /> \dim V = \dim f(V) \hfill \\<br /> \begin{array}{{20}c}<br /> {\dim V = \dim f(V)} & \Rightarrow & {\dim Nuc(f) = 0} \\<br /><br /> \end{array} \hfill \\<br /> \begin{array}{{20}c}<br /> { \Rightarrow Nuc(f) = 0} & \Rightarrow & {f\ \ es\ \ inyectiva} \\<br /><br /> \end{array} \hfill \\ <br />\end{gathered}$\\\\<br /><br />$\bullet$ Sea $\dim W = m$\\<br /><br />f es epiyectiva si $\operatorname{Im} f = W$\\<br /><br />$\therefore \dim \operatorname{Im} f = \dim W$\\<br /><br />Si F(B) genera W $\Rightarrow \dim \operatorname{Im} f = \dim W$\\<br /><br />$\begin{array}{{20}c}<br /> {\therefore \operatorname{Im} f = m} & \Rightarrow & {f\ \ es\ \ epiyetiva} \\<br /><br /> \end{array}$\\<br /><br />$\bullet$ De lo anterior tenemos:\\<br /><br />Si F(B) es L.I y genera W, implica que es inyectiva y epiyectiva a la vez, por lo tanto sera biyectiva.<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \bullet {\text{Para la primera demostraste :}} \hfill \\<br /> \left\{ {f\left( {v_1 } \right),.......,f\left( {v_n } \right)} \right\}{\text{ es L}}{\text{.I}} \Rightarrow f{\text{ es inyectiva}} \hfill \\<br /> {\text{Te falta el otro sentido}}{\text{, recuerda que es si solo si( igual para las demas }}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \bullet {\text{En la segunda demostracion}}{\text{, se pide mas formalidad y minuciosidad a la hora}} \hfill \\<br /> {\text{de probar}}{\text{, pues se manejan conceptos muy a la ligera}}{\text{. Ademas si un conjunto}} \hfill \\<br /> {\text{genera un espacio no necesariamente la dimension es igual a la cantidad de }} \hfill \\<br /> {\text{elementos que posea tal conjunto}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{El propuesto sigue en pie}}{\text{, favor ser mas formal}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Saludos}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ P.D:* $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Ademas : }} \hfill \\<br /> \bullet {\text{Por propiedad de T}}{\text{.L si }}\beta {\text{ es base}}{\text{, entonces }}f\left( \beta \right){\text{ es generado por}} \hfill \\<br /> \left\{ {f\left( {v_1 } \right),....,f\left( {v_n } \right)} \right\} \hfill \\<br /> {\text{Esa proposicion si es cierta debe ser demostrada a la hora de ocuparse ( ademas no es necesaria )}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

Aprendixmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 24 2009, 12:15 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 512 Registrado: 28-November 06 Miembro Nº: 3.014 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Uchiha Itachi @ Jan 4 2009, 03:04 AM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br />\bullet {\text{ }}f{\text{ es inyectiva si solo si }}\left\{ {f\left( {v_1 } \right),.......,f\left( {v_n } \right)} \right\}{\text{ es L}}{\text{.I}} \hfill \\<br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: $\Longrightarrow )$ Sean $a_1,...,a_n$ escalares tales que $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_if(v_i)=0_W.$$<br />\\<br />Por la linealidad de $f$ se tiene: $$f\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_iv_i\right)=0_W.$$<br />\\<br />De lo anterior se sigue que $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_iv_i\in{ker\ f}$ . Como $f$ es inyectiva entonces $ker\ f= \left\{ {0_V} \right\}$ y por lo tanto $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_iv_i=0_V.$ Luego como $\left\{ {v_1,...,v_n} \right\}$ es una base de $V$ se tiene que $a_1=a_2=...=a_n=0.$ Por lo tanto $\left\{ {f\left( {v_1 } \right),.......,f\left( {v_n } \right)} \right\}$ es linealmente independiente.$ Mensaje modificado por Aprendixmat el Jan 24 2009, 12:17 AM

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 24 2009, 10:41 AM Publicado: #5
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Aprendixmat @ Jan 24 2009, 05:15 AM) $TEX: $\Longrightarrow )$ Sean $a_1,...,a_n$ escalares tales que $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_if(v_i)=0_W.$$<br />\\<br />Por la linealidad de $f$ se tiene: $$f\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_iv_i\right)=0_W.$$<br />\\<br />De lo anterior se sigue que $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_iv_i\in{ker\ f}$ . Como $f$ es inyectiva entonces $ker\ f= \left\{ {0_V} \right\}$ y por lo tanto $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_iv_i=0_V.$ Luego como $\left\{ {v_1,...,v_n} \right\}$ es una base de $V$ se tiene que $a_1=a_2=...=a_n=0.$ Por lo tanto $\left\{ {f\left( {v_1 } \right),.......,f\left( {v_n } \right)} \right\}$ es linealmente independiente.$ Perfecto Correcta demostración Saludines -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2009, 12:11 PM Publicado: #6
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Tengo otra forma de demostrar : $TEX: \[<br />\left\{ {f\left( {v_1 } \right),......,f\left( {v_n } \right)} \right\}{\text{ es L}}{\text{.I}} \Rightarrow f{\text{ es inyectiva}}<br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{{\text{Demostracion:}}} \hfill \\<br /> {\text{Sea }}x \in \ker f{\text{ }}{\text{, como }}\left\{ {v_1 ,......,v_n } \right\}{\text{ es base de V}}{\text{, entonces }}\exists \alpha _i :i = 1,...,n \hfill \\<br /> {\text{tal que : }}x = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i v_i } {\text{ }}{\text{, luego :}} \hfill \\<br /> \Rightarrow f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i f\left( {v_i } \right)} = \alpha _1 f\left( {v_1 } \right) + ........... + \alpha _n f\left( {v_n } \right) \hfill \\<br /> {\text{Como }}x \in \ker f \Rightarrow f\left( x \right) = 0{\text{ }}{\text{, asi :}} \hfill \\<br /> \Rightarrow 0 = \alpha _1 f\left( {v_1 } \right) + ........... + \alpha _n f\left( {v_n } \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Por hipotesis}}{\text{, }}\left\{ {f\left( {v_1 } \right),......,f\left( {v_n } \right)} \right\}{\text{ es L}}{\text{.I}}{\text{, por tanto }}\alpha _i = 0,\forall i = 1,..,n{\text{ ; por}} \hfill \\<br /> {\text{lo tanto :}} \hfill \\<br /> \alpha _1 f\left( {v_1 } \right) + ........... + \alpha _n f\left( {v_n } \right) = 0 \Rightarrow x = 0 \hfill \\<br /> \Rightarrow \ker f = \left\{ 0 \right\} \hfill \\<br /> {\text{Por tanto }}f{\text{ es inyectiva}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Q}}{\text{.e}}{\text{.d}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Saludos}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

AMIGO IMAGINARIO Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 2 2009, 05:21 PM Publicado: #7
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 56 Registrado: 14-March 07 Desde: la matrix Miembro Nº: 4.510 Nacionalidad: Sexo:	Puxa yo hice una demostración de las primeras dos espero que estén buenas, la última la hago despúes por que quiero que el tema se mantenga y no pase al olvido , por eso decidí postear lo que tengo hasta ahora. a)pdq $TEX: $f$$ es inyectiva $TEX: $\Leftrightarrow {f(\vec v_1),...,f(\vec v_n)}$$ es L.i. a.1) $TEX: $f$$ es inyectiva $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: $f(\vec v_1),...,f(\vec v_n)$$ es L.I. si $TEX: $f$$ es inyectiva $TEX: $\Rightarrow$ $f(\vec v_m)=f(\vec v_l)$$ $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: $\vec v_m=\vec v_l$.$ Ahora supongamos que $TEX: $\exists\,$$ un $TEX: $\vec v_l$$ tal que : $TEX: $f$$ es inyectiva y $TEX: $f(\vec v_1),..., f(\vec v_n)$$ es L.D. Luego como $TEX: $f$$ es inyectiva $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: $f(\vec v_m)=f(\vec v_l)$$ $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: $a_1f(\vec v_1)+...+a_nf(\vec v_n)=b_1f(\vec v_1)+...+b_nf(\vec v_n)$$ Sumando $TEX: $-f(\vec v_l )$$ a ambos lados.... $TEX: $(a_1-b_1)f(\vec v_1)+...+(a_n-b_n)f(\vec v_n)=\vec o$<br />$ ocupando la linealidad de $TEX: $f$$ se tiene: $TEX: $f((a_1-b_1)\vec v_1+...+(a_n-b_n)\vec v_n)=\vec 0$$ Luego ocupando la propiedad $TEX: $T(\vec 0)=\vec 0$$ $TEX: $f(A\vec c)=f(\vec 0)$$ donde las columnas de $TEX: $A$$ son los vectores de $TEX: $B$$ y $TEX: $\vec c$$ es el vector con componentes $TEX: $(a_1-b_1),...,(a_n-b_n)$$ como $TEX: $f$$ es inyectiva $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: $ A\vec c =\vec 0$$ pero las columnas de $TEX: $A$$ son L.I. , entonces tenemos solución única. Al ser un sistema homogeneo $TEX: $\vec c$$ debe ser el vector $TEX: $\vec 0$$ $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: $(a_1-b_1)=(a_2-b_2)=...=(a_n-b_n)=0$$ Luego $TEX: $f(\vec v_1),...,f(\vec v_n)$$ es L.I. si $TEX: $f$$ es inyectiva a.2) $TEX: $f(\vec v_1),...,f(\vec v_n)$$ es L.I. $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: $f$$ es inyectiva Si $TEX: $f(a_1\vec v_1)+...+a_nf(\vec v_n)=\vec 0$$ $TEX: $\Rightarrow$$ llevandolo a un sistema de ecuaciones $TEX: $f(A\vec b)=\vec 0$$ Supongamos que $TEX: $f$$ no es inyectiva Le. $TEX: $f(\vec v_m)=f(\vec v_l)$$ (1) $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: $\vec v_m \not = \vec v_l$$ (2) Luego sumando $TEX: $-f(\vec v_l)$$ a ambos lados de (1) , ocupando linealidad de $TEX: $f$$ y ocupando $TEX: $T(\vec 0)= \vec 0$$ se tiene $TEX: $f(A*\vec b)\not =\vec 0$$ , pero el vector $TEX: $\vec b=\vec 0$$ , por que las columnas de $TEX: $A$$ son L.I. por definición $TEX: $\Rightarrow$$ si es igual al vector $TEX: $\vec 0$$ con lo que llegamos a una contradicción. Por lo tanto $TEX: $f$$ es inyectiva si $TEX: $f(\vec v_1),...,f(\vec v_n)$$ es L.I. $TEX: $Q.E.D.$$ $TEX: $f$$ es inyectiva $TEX: $\Leftrightarrow {f(\vec v_1),...,f(\vec v_n)}$$ es L.i. Mañana posteo el segundo, por que pasar esto a latex fué maratónico. Saludos

AMIGO IMAGINARIO Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 6 2009, 05:53 PM Publicado: #8
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 56 Registrado: 14-March 07 Desde: la matrix Miembro Nº: 4.510 Nacionalidad: Sexo:	Ahora el segundo item PDQ $TEX: $f$$ es epiyectiva $TEX: $\Leftrightarrow$$ $TEX: $f(\vec v_1),...,f(\vec v_2)$$ genera a $TEX: $W$$ Si $TEX: $f$$ es epiyectiva $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: REC(f)=W$ a) $TEX: $f$$ es epiyectiva $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: $f(B)$$ genera a $TEX: W$ si $TEX: $f$$ es epiyectiva $TEX: $\Rightarrow$$ para todo $TEX: $\vec x\in\,V$ , $f(\vec x)=\vec w$$ , para todo $TEX: $\vec w\in\, W$$ Así ... $TEX: $f(a_1\vec v_1+...+a_n\vec v_n)=\vec w$$ $TEX: $a_1f(\vec v_1)+...+a_nf(\vec v_n)=\vec w$$ $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: $\vec w$$ es C.L. de $TEX: $f(B)$$ $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: $f$$ es epiyectiva b) $TEX: $f(B)$$ genera a $TEX: $W$$ $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: $f$$ es epiyectiva. como $TEX: $f(B)$$ genera a $TEX: $W$$ entonces se tiene que : Por linealidad de $TEX: $f$$ $TEX: $a_1f(\vec v_1)+...+a_nf(\vec v_n)=\vec w$ para todo $\vec w\in\, W$$ Luego $TEX: $f(a_1\vec v_1)+...+f(a_n\vec v_n)= \vec w$$ luego por linealidad de $TEX: $f$$ $TEX: $\Rightarrow$$ $TEX: $f(a_1\vec v_1+...+a_n\vec v_n)=\vec w$$ Pero $TEX: $a_1\vec v_1+...+a_n\vec v_n$$ es C.L. de $TEX: $B$$ $TEX: $\Rightarrow$$ pertenece a $TEX: $V$$ Ya que $TEX: $B$$ genera a $TEX: $V$$

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2010, 04:16 PM Publicado: #9
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaqGeb<br />% GaaeyzaiaabYgacaqGGaGaaeiDaiaabwgacaqGYbGaae4yaiaabwga<br />% caqGYbGaaeiiaiaabMeacaqG0bGaaeyzaiaab2gacaqGGaGaaeyEai<br />% aabccacaqGLbGaaeOBaiaabccacaqG2bGaaeyAaiaabohacaqG0bGa<br />% aeyyaiaabohacaqGGaGaaeyCaiaabwhacaqGLbGaaeiiaiaabMhaca<br />% qGHbGaaeiiaiaabwgacaqGZbGaaeiDaiaabggacaqGUbGaaeiiaiaa<br />% bsgacaqGLbGaaeyBaiaab+gacaqGZbGaaeiDaiaabkhacaqGHbGaae<br />% izaiaab+gacaqGZbGaaeiiaiaabYgacaqGVbGaae4CaiaabccacaqG<br />% WbGaaeOCaiaabMgacaqGTbGaaeyzaiaabkhacaqGVbGaae4Caiaabc<br />% cacaqGYaGaaeiiaiaabohacaqGLbGaaeiiaiaabshacaqGPbGaaeyz<br />% aiaab6gacaqGLbGaaeiiaiaabQdaaeaadaqadaqaaiabgkDiEdGaay<br />% jkaiaawMcaaiaabseacaqGHbGaaeizaiaabggacaqGGaGaaeiiaiaa<br />% dAgacaqGGaGaaeOyaiaabMgacaqG5bGaaeyzaiaabogacaqG0bGaae<br />% yAaiaabAhacaqGHbGaaeiiaiaabMhacaqGGaGaae4yaiaab+gacaqG<br />% UbGaae4CaiaabMgacaqGKbGaaeyzaiaabkhacaqGHbGaaeOBaiaabs<br />% gacaqGVbGaaeiiaiabek7aIjabg2da9maacmaabaGaamyDamaaBaaa<br />% leaacaaIXaaabeaakiaacYcacaGGUaGaaiOlaiaac6cacaGGUaGaai<br />% ilaiaadwhadaWgaaWcbaGaamOBaaqabaaakiaawUhacaGL9baacaqG<br />% GaGaaeOyaiaabggacaqGZbGaaeyzaiaabccacaqGKbGaaeyzaiaabc<br />% cacaWGwbGaaeOlaiaabccacaqGmbGaaeyyaiaabccacaqGPbGaaeOB<br />% aiaabMhacaqGLbGaae4yaiaabshacaqGPbGaaeODaiaabMgacaqGKb<br />% GaaeyyaiaabsgacaqGGaGaaeizaiaabwgacaqGGaGaaeiBaiaabgga<br />% caqGGaGaaeOzaiaabwhacaqGUbGaae4yaiaabMgacaqGVbGaaeOBai<br />% aabccacaqG5bGaaeiiaiaabwgacaqGSbGaaeiiaaqaaiaabchacaqG<br />% YbGaaeyAaiaab2gacaqGLbGaaeOCaiaabccacaqGPbGaaeiDaiaabw<br />% gacaqGTbGaaeiiaiaabsgacaqGLbGaaeyBaiaab+gacaqGZbGaaeiD<br />% aiaabkhacaqGHbGaaeizaiaab+gacaqGGaGaaeOBaiaab+gacaqGZb<br />% GaaeiiaiaabYgacaqGSbGaaeyzaiaabAhacaqGHbGaaeiiaiaabgga<br />% caqGGaGaaeyCaiaabwhacaqGLbGaaeiiaiaabccacaWGMbWaaeWaae<br />% aacqaHYoGyaiaawIcacaGLPaaacaqGGaGaaeyzaiaabohacaqGGaGa<br />% aeitaiaab6cacaqGjbGaaeiiaiaabMhacaqGGaGaaeiBaiaabggaca<br />% qGGaGaaeyzaiaabchacaqGPbGaaeyEaiaabwgacaqGJbGaaeiDaiaa<br />% bMgacaqG2bGaaeyAaiaabsgacaqGHbGaaeizaiaabccacaqGQbGaae<br />% yDaiaab6gacaqG0bGaae4BaiaabccacaqGJbGaae4Baiaab6gacaqG<br />% GaGaaeyzaiaabYgacaqGGaGaae4CaiaabwgacaqGNbGaaeyDaiaab6<br />% gacaqGKbGaae4BaiaabccacaqGPbGaaeiDaiaabwgacaqGTbGaaeii<br />% aiaabohacaqGLbaabaGaaeiDaiaabMgacaqGLbGaaeOBaiaabwgaca<br />% qGGaGaam4vaiabg2da9maaamaabaGaamOzamaabmaabaGaeqOSdiga<br />% caGLOaGaayzkaaaacaGLPmIaayPkJaGaaeilaiaabccacaqGWbGaae<br />% 4BaiaabkhacaqGGaGaaeiDaiaabggacaqGUbGaaeiDaiaab+gacaqG<br />% GaGaamOzamaabmaabaGaeqOSdigacaGLOaGaayzkaaGaaeiiaiaabw<br />% gacaqGZbGaaeiiaiaabkgacaqGHbGaae4CaiaabwgacaqGUaaabaaa<br />% baGaaeyqaiaab6gacaqGHbGaaeiBaiaab+gacaqGNbGaae4Baiaabc<br />% cacaqGWbGaaeyyaiaabkhacaqGHbGaaeiiaiaabwgacaqGSbGaaeii<br />% aiaab+gacaqG0bGaaeOCaiaab+gacaqGGaGaaeiBaiaabggacaqGKb<br />% Gaae4Baiaab6caaaaa!5F2C!<br />\[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Del tercer Item y en vistas que ya estan demostrados los primeros 2 se tiene :}} \hfill \\<br /> \left( \Rightarrow \right){\text{Dada }}f{\text{ biyectiva y considerando }}\beta = \left\{ {u_1 ,....,u_n } \right\}{\text{ base de }}V{\text{. La inyectividad de la funcion y el }} \hfill \\<br /> {\text{primer item demostrado nos lleva a que }}f\left( \beta \right){\text{ es L}}{\text{.I y la epiyectividad junto con el segundo item se}} \hfill \\<br /> {\text{tiene }}W = \left\langle {f\left( \beta \right)} \right\rangle {\text{, por tanto }}f\left( \beta \right){\text{ es base}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Analogo para el otro lado}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

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