 Prueba 1 de Matematicas II, Semestre de verano. |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad de Chile > Matemáticas 2  |
  Dec 31 2008, 03:46 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 554 Registrado: 3-July 08 Desde: ... desde los pastos??? Miembro Nº: 28.965 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
 ![TEX: \begin{enumerate}<br /> \item Sea $ f:]0,1[ \to R$ una funcion creciente, tal que $f(0)=0$ y $f(1)=1$. Encuentre $n \in N$ tal que $S(f,P_n)-s(f,P_n) $ < $ 10^{-1}$, donde $P_n={0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, ....., \frac{n-1}{n}, 1 }$. <br /> \item Resuelva los siguientes ejercicios.<br /><br /> \item [a)]Sea $f:[0, \infty) \to R$ continua. Encuentre F'(x), si F(x)= $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t)dt$.<br /> \item [b)] $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi ^2}{4}} Sen(\sqrt(x))dx$<br /> \item [c)] $\displaystyle \int x^3 sen(x^2)dx $ <br />\item Considere la matriz: $A=\left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & { - 1} & 0 \\<br /> 1 & { a} & {-1} \\<br /> 0 & { 1} & a \\<br /> \end{array} } \right) $<br />\item [a)] Determine para que valores de $a \in R$, la matriz A es invertible.<br />\item [b)] Para los valores encontrados en (a), encuentre $A^{-1}$.<br />\item [c)] Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones, donde $a$ es un numero real. Justifique.<br />\end{enumerate}<br />](./tex/ae5c66600b037814a56d48aeb50fe46f.png)
Mensaje modificado por gonzalo182 el Dec 31 2008, 04:35 PM -------------------- Si haces consultas, por lo menos lee las reglas del sitio...    Antes de ponerte a estudiar ¿Quieres un rico mate? Prepáralo con Hierba de Gauss |
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Dec 31 2008, 05:17 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int_0^{\frac{{\pi ^2 }}<br />{4}} {\sin \left( {\sqrt x } \right)dx} \hfill \\<br /> u^2 = x \Leftrightarrow 2udu = dx \hfill \\<br /> x = \frac{{\pi ^2 }}<br />{4} \Rightarrow u = \frac{\pi }<br />{2} \hfill \\<br /> x = 0 \Rightarrow u = 0 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 2\int_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {u\sin \left( u \right)du} = 2\int_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {u\left( { - \cos \left( u \right)} \right)'du} \hfill \\<br /> 2\int_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {u\sin \left( u \right)du} = 2\left( {\left( {\left. { - u\cos \left( u \right)} \right|_0^{\frac{\pi }<br />{2}} } \right) + \int_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {\cos \left( u \right)du} } \right) \hfill \\<br /> 2\int_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {u\sin \left( u \right)du} = 2\left( {\left( {\left. { - u\cos \left( u \right)} \right|_0^{\frac{\pi }<br />{2}} } \right) + \left. {\sin \left( u \right)} \right|_0^{\frac{\pi }<br />{2}} } \right) \hfill \\<br /> 2\int_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {u\sin \left( u \right)du} = 2 \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> {\therefore \int_0^{\frac{{\pi ^2 }}<br />{4}} {\sin \left( {\sqrt x } \right)dx} = 2} \,}}\! \right| \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/2a27212fae92e9dd57039cdb42a79f5f.png)
--------------------         El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Dec 31 2008, 05:21 PM
Publicado:
#3
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 Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 140 Registrado: 10-May 08 Desde: [-1,1] Miembro Nº: 22.728 Nacionalidad: Universidad:  Sexo: |
1-a
Supngo que el dominio de esa función es cerrado ya que tiene valores para 0 y para 1 ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Como es una }}f{\text{ es funci\'o n creciente}} \hfill \\<br /> {\text{m}}_{\text{k}} = \inf \left\langle {f(x)/x_{k - 1} < x < x_k } \right\rangle = f(k - 1) \hfill \\<br /> M_k = \sup \left\langle {f(x)/x_{k - 1} < x < x_k } \right\rangle = f(k) \hfill \\<br /> S(f,p) - s(f,p) = \sum\limits_{k = 1}^n {M_k \underbrace {(x_k - x_{k - 1} )}_{\frac{1}<br />{n}} - } \sum\limits_{k = 1}^n {m_k \underbrace {(x_k - x_{k - 1} )}_{\frac{1}<br />{n}} = } \hfill \\<br /> = \frac{1}<br />{n}\sum\limits_{k = 1}^n {f(x_k ) - f(x_{k - 1} )} = \frac{1}<br />{n}\left( {f(1) - f(0)} \right) = \frac{1}<br />{n} \hfill \\<br /> {\text{Como lo que deseamos es que }}S(f,p) - s(f,p) < 10^{ - 1} \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{n} < \frac{1}<br />{{10}} \Leftrightarrow n > 10 \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/3f533d3c8b00191db7157c48b4fad69a.png) Estoy un poco ocupado, de ahi intento lo demás. -------------------- Estudiante de Medicina, 3º año
Universidad de Chile   |
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Dec 31 2008, 05:22 PM
Publicado:
#4
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int {x^3 \sin \left( {x^2 } \right)} dx = \frac{1}<br />{2}\int {x^2 \left( { - \cos \left( {x^2 } \right)} \right)'} dx \hfill \\<br /> \int {x^3 \sin \left( {x^2 } \right)} dx = \frac{1}<br />{2}\left( { - x^2 \cos \left( {x^2 } \right) + \int {2x\cos \left( {x^2 } \right)} dx} \right) \hfill \\<br /> \int {x^3 \sin \left( {x^2 } \right)} dx = \frac{{\sin \left( {x^2 } \right)}}<br />{2} - \frac{{x^2 \cos \left( {x^2 } \right)}}<br />{2} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/a0eea3cc1db4cf1f30ed181d8dbdf3bd.png)
-------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Dec 31 2008, 05:25 PM
Publicado:
#5
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 512 Registrado: 28-November 06 Miembro Nº: 3.014 Nacionalidad: Universidad:  Sexo: |
CITA(LanderGuitar @ Dec 31 2008, 06:17 PM)  ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int_0^{\frac{{\pi ^2 }}<br />{4}} {\sin \left( {\sqrt x } \right)dx} \hfill \\<br /> u^2 = x \Leftrightarrow 2udu = dx \hfill \\<br /> x = \frac{{\pi ^2 }}<br />{4} \Rightarrow u = \frac{\pi }{2} \hfill \\<br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/bfbb4ae70542f4c8625ad628e0486d43.png) deberias justificar pq no tomas  .
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Dec 31 2008, 05:38 PM
Publicado:
#6
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Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 140 Registrado: 10-May 08 Desde: [-1,1] Miembro Nº: 22.728 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
2-a
Es una aplicación directa del TFC (1º versión), en una de esas querian la demostración De todos modos textual sería: ![TEX: \[<br />{\text{Sea }}f:[0,\infty ) \to \mathbb{R}{\text{ continua tal que F(x) = }}\int_0^x {f(t)dt \Rightarrow F{\text{ es diferenciable y F}}'(x) = f(x)} <br />\]<br />](./tex/5418e7b2b5fe34f87c7543cc0a7de003.png) Si alguién quiere la demostración tome cualquier libro de cálculo y si no aqui esta: Mensaje modificado por Neuropayaso el Dec 31 2008, 06:05 PM -------------------- Estudiante de Medicina, 3º año
Universidad de Chile |
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![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Si h}} \geqslant {\text{0 }} \hfill \\<br /> F(x + h) - F(x) = \int_x^{x + h} {f(t)dt} \hfill \\<br /> \exists \xi _{_0 } ,\xi _1 \in [x,x + h]/f(\xi _0 ) \leqslant f(x) \leqslant f(\xi _1 ) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/50b32b26e1d0e9b44237b4cae6ebd9f1.png)
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> f(\xi _{_0 } ) \cdot h \leqslant \int_x^{x + h} {f(t)dt} \leqslant f(\xi _1 ) \cdot h \hfill \\<br /> f(\xi _0 ) \leqslant \frac{{F(x + h) - F(x)}}<br />{h} \leqslant f(\xi _1 ) \hfill \\<br /> {\text{Por sandwish (notar que }}\xi _{_0 } ,\xi _1 \in [x,x + h]{\text{)}}: \hfill \\<br /> \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(\xi _0 )}_{f(x)} \leqslant \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{F(x + h) - F(x)}}<br />{h} \leqslant \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(\xi _1 )}_{f(x)} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{F(x + h) - F(x)}}<br />{h} = F'(x) = f(x) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/e6749c7a8d44be8d9a0a9384b7f96dc5.png)
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Para h}} \leqslant {\text{0 es lo mismo}}{\text{, pero ahi quedar\'ia formalmente demostrado}}. \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{pd: Copiado de mi cuaderno}}{\text{, no me dio la memoria}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/f640778123bfcc82177b53dee0bd9aba.png)
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Dec 31 2008, 06:10 PM
Publicado:
#7
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> A = \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 1 & { - 1} & 0 \\<br /> 1 & a & { - 1} \\<br /> 0 & 1 & a \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> {\text{La matriz }}A{\text{ es invertible si su determinante es distinto de 0}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \det \left( A \right) = a^2 + a +1 \hfill \\<br /> \det \left( A \right) \ne 0 \Leftrightarrow a^2 + a +1 \ne 0 \hfill \\<br /> {\text{Donde se puede ver que }}\forall a \in \mathbb{R} {\text{ la matriz es invertible}}{\text{.}} \hfill \\<br /> A^{ - 1} = \frac{{\left( {{\text{adj}}\left( A \right)} \right)^t }}<br />{{\det \left( A \right)}} \Rightarrow A^{ - 1} = \frac{1}<br />{{a^2 + a +1}}\left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> {a^2 + 1} & a & 1 \\<br /> { - a} & a & 1 \\<br /> 1 & { - 1} & {a + 1} \\<br /> \end{array} } \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/c22c5cfdff5b3a12b61c705e0d5f5ceb.png) ¿Dónde está el sistema de ecuaciones? D: Mensaje modificado por LanderGuitar el Dec 31 2008, 11:38 PM -------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Dec 31 2008, 06:21 PM
Publicado:
#8
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
CITA(Aprendixmat @ Dec 31 2008, 06:25 PM) deberias justificar pq no tomas .![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int_0^{\frac{{\pi ^2 }}<br />{4}} {\sin \left( {\sqrt x } \right)dx} \hfill \\<br /> {\text{De donde se tiene que el argumento }}\sqrt x {\text{ es positivo}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Haciendo c}}{\text{.v}}{\text{. se tiene:}} \hfill \\<br /> \int_0^{ \pm \frac{\pi }<br />{2}} {2u\sin \left( u \right)du} \hfill \\<br /> {\text{Donde el argumento }}u{\text{ tambi\'en debe ser positivo}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \therefore u = \frac{\pi }<br />{2} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/51842eb9b505f5655d3c7fa0c6a68020.png)
Mensaje modificado por LanderGuitar el Dec 31 2008, 06:22 PM -------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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Dec 31 2008, 06:31 PM
Publicado:
#9
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Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 140 Registrado: 10-May 08 Desde: [-1,1] Miembro Nº: 22.728 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
Desaparecio magicamente el sistema de ecuaciones.
Como q te quedas esperandolo y nunca llega jaja -------------------- Estudiante de Medicina, 3º año
Universidad de Chile |
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Dec 31 2008, 06:52 PM
Publicado:
#10
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 568 Registrado: 8-July 08 Desde: Rancagua Miembro Nº: 29.447 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
CITA(Neuropayaso @ Dec 31 2008, 07:31 PM) Desaparecio magicamente el sistema de ecuaciones. Como q te quedas esperandolo y nunca llega jaja Jajajajajaja. -------------------- El 2% de los adolescentes no han fumado , si eres del "penoso" 98% que lo ha hecho, copia y pega esto en tu firma. |
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