Desigualdad de Schur - Foro fmat.cl

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Desigualdad de Schur, Util a veces

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Cesarator	Aug 15 2006, 05:11 PM Publicado: #1
Invitado	Siempre es util tener un "arsenal" de desigualdades. No puede faltar la llamada DESIGUALDAD DE SCHUR, cuya demostracion queda propuesta. $TEX: <br />{\bf Desigualdad de Schur}. Sean $a,b,c\ge 0$ y $p\ge 1$. Luego<br />\[<br />\boxed{ a^p(a-b)(a-c) + b^p(b-a)(b-c) + c^p(c-a)(c-b) \ge 0}<br />\]<br />$

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2006, 08:59 PM Publicado: #2
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Aug 15 2006, 06:11 PM) Siempre es util tener un "arsenal" de desigualdades. No puede faltar la llamada DESIGUALDAD DE SCHUR, cuya demostracion queda propuesta. $TEX: <br />{\bf Desigualdad de Schur}. Sean $a,b,c\ge 0$ y $p\ge 1$. Luego<br />\[<br />\boxed{ a^p(a-b)(a-c) + b^p(b-a)(b-c) + c^p(c-a)(c-b) \ge 0}<br />\]<br />$ Puede ser util $TEX: $p=2$$ para "cierto" problema por ahi -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2006, 09:03 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Demostración: Es obvio que $TEX: $a^p\geq 0\ \ \ ,\ \ \ b^p\geq 0\ \ \ ,\ \ \ c^p\geq 0$$ Ahora, sin pérdida de generalidad podemos asumir $TEX: $a\geq b\geq c\geq 0$$ De lo que tenemos las desigualdades: $TEX: $a^p\geq b^p\ \ ,\ \ a-b\geq 0\ \ ,\ \ a-c\geq b-c\geq 0\ \ ,\ \ c^p\geq 0$$ Multiplicando la primera desigualdad por la tercera obtendremos: $TEX: $a^p(a-c)\geq b^p(b-c)$$ Multiplicando esta desigualdad por $TEX: $(a-b)$$ no habrá dramas con cambios de signo... $TEX: $a^p(a-b)(a-c)\geq b^p(a-b)(b-c)$$ $TEX: $a^p(a-b)(a-c)+b^p(b-a)(b-c)\geq 0\ \ \ \ \ $(1)$ Como $TEX: $(a-c)$ , $(b-c)$ , $c^p$$ son mayores que cero, su producto también lo será... $TEX: $c^p(a-c)(b-c)\geq 0$$ $TEX: $c^p(c-a)(c-b)\geq 0\ \ \ \ \ $(2)$ Sumando las desigualdades $TEX: (1)$ y $TEX: (2)$ tenemos finalmente: $TEX: $\boxed{a^p(a-b)(a-c)+b^p(b-a)(b-c)+c^p(c-a)(c-b)\geq 0}$$ Observación: La desigualdad de Schur no es generalizable con cuatro (o más?) variables, y se toma como contraejemplo que la primera variable es igual a 1, y las demás iguales a 2... Duda personal Yo aprendí esta desigualdad con $TEX: $f(x)$$ convexa (generalizada, conocida como de Vornicu-Schur), en lugar de $TEX: $x^p$$ como se plantea aquí... me gustaría saber si hay alguna restricción con esta convexidad de la función... saludos... -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2006, 09:31 PM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA Yo aprendí esta desigualdad con $TEX: $f(x)$$ convexa (generalizada, conocida como de Vornicu-Schur), en lugar de $TEX: $x^p$$ como se plantea aquí... me gustaría saber si hay alguna restricción con esta convexidad de la función... Que sea no negativa, pues si tomas $TEX: $f(x)=-\sqrt{x}$$ En general si es no negativa, se cumple(junto con la convexidad) Tambien funciona si es no negativa y monotona. La verdad generalizaciones hay por doquier, pero de que sean utiles Saludos PD: Ya deberian haber resuelto ese "cierto problema" -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

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