Semana del 21 al 27 de Julio, Por favor revisar: 5 Opciones

[†Alucard†]

Problema 6: Determine todos los enteros que pueden ser escritos como diferencia de dos cuadrados perfectos. Dicho de otro modo, encuentre todos los enteros n con la siguiente propiedad: existen a, b enteros tales que n=a² - b²

Completamente fuera de plazo, pero para que publiquen nuevos "problemas de la semana", va mi respuesta:

Si n es impar:

se eligen consecutivos y ocurre que queda , que siempre tiene solución entera .

Si n es múltiplo de 4:

, entonces con se obtiene la solución entera .

Si n es par, pero no múltiplo de 4:

, luego uno y sólo uno de los factores debe ser par. Sin embargo, como la diferencia entre ellos es , que es par, ambos son pares o ambos son impares, por ende un n de estas características no cumple la propiedad pedida.

Recapitulando:
Los enteros que cumplen la propiedad son todos los impares y los múltiplos de 4.

[S. E. Puelma Moy...]

El problema 6 tiene una solución correcta, brindada por †Alucard† en el mensaje anterior

Felicitaciones y a seguir con los otros problemas

[Ivan Acrata]

Solución Problema 3

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Tenemos y

de esta obtenemos, al igualar ambas ecuaciones con
Del cual obtenemos
Por composición de proporciones obtenemos
pero
Por lo tanto

Entonces

La pregunta era cuanto medía el radio y ahí stá
Voy a ver si puedo hacer otro
Ciao
Iván

[†Alucard†]

Problema 7: Dado un entero positivo n, podemos escribirlo como suma de números enteros positivos, de varias maneras distintas. Por ejemplo, 17 puede escribirse (entre otras formas) como:

17=9+4+4
17=8+9
17=2+3+5+7

A cada descomposición en suma, podemos asociar el producto de todos los sumandos en cuestión. En nuestro ejemplo quedan los siguientes productos:

9*4*4=144
8*9=72
2*3*5*7=210

Para cada n, determine el mayor producto que podemos obtener de este modo

Primero notamos que si , entonces y luego toda la descomposición en suma debe ser hecha sólo con 1, 2 y 3, porque todo número n mayor que 3 puede ser reemplazado por otros sumandos n-2 y 2 que tienen un producto mayor o igual a n.

Luego postulamos que ninguna descomposición debe llevar unos, excepto la del mismo 1. En efecto, si lleva un 3 y un 1, los números 2 y 2 suman lo mismo y tienen producto mayor; si lleva un 2 y un 1, al reemplazarlos con un 3 ocurre lo mismo. También destacamos que de haber tres números 2, deben reemplazarse con dos 3, porque el producto máximo que se alcanza para el 6 es 3·3.

Por lo tanto una descomposición debe llevar la mayor cantidad de tres posible (a lo más dos veces el 2) sin llevar unos:

Si un número es de la forma , entonces su mayor producto obtenido de este modo es

Análogamente, si un número es de la forma , su mayor descomposición es

Asimismo, un número de lo forma , es descompuesto como

A esto se le agregan la descomposición del 1 que es 1 y la del 2 que es 2, y el problema está resuelto.

[S. E. Puelma Moy...]

El problema 7 tiene una solución correcta... lástima que haya pasado tanto tiempo, y qué mal por quienes estuvieron cerca y lo abandonaron tanto, por quienes dijeron que lo iban a hacer, y brillaron por su ausencia. Lo que importa, ya está hecho

[†Alucard†]

Solución Problema 3

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Tenemos y

Esa última ecuación no es válida, porque los puntos de tangencia no están directamente arriba y abajo de los círculos (ni a la izquierda y derecha).

Yo pensé este problema de la manera siguiente:

Puesto que las distancias de los centros a los bordes del rectágulo son iguales a , las coordenadas de ellos son y , y además sabemos que la distancia entre ellos es igual a .

Luego , despejando
.

Descartando el primer resultado, porque las circunferencias no quedarían dentro del rectángulo, tenemos que

[S. E. Puelma Moy...]

Ahora, con una nueva solución de †Alucard†, tenemos resuelto el problema 3. Si alguien se interesa en revisar con cuidado la solución del ejercicio 5 (de preferencia, que sea quien lo propuso), entonces tendríamos completa esta lista de problemas.

Salu