Semana del 21 al 27 de Julio, Por favor revisar: 5 Opciones

[felipe_contreras...]

1.-

[S. E. Puelma Moy...]

La solución está buena... comentémosla un poco...

Lo primero es observar que la probabilidad pedida, así tal cual, es complicada. El paso importante es calcular la probabilidad del suceso opuesto (o sea si es la probabilidad del suceso pedido, y es la del suceso opuesto, entonces , y es más fácil calcular )

Luego había que calcular , que es sólo un ejercicio de conteo (los casos favorables son y el total de casos es , esto no es difícil de verificar, siguiendo el argumento de Felipe)... así que la solución está correcta cuando la escribes como producto de factores, pero te confundiste al llevarlo a factoriales, recuerda que es , pero simplificando todos los factores de 1 hasta , así queda que

La respuesta es , si quieres simplificar, no hay problema, pero ya no hace falta... yo lo dejo de ese modo porque se entienden todos los pasos del problema

Felicitaciones

[Corecrasher]

Problema 4

¿Es posible escribir los 11 numeros desde 1985 hasta 1995 en algun orden de modo que el numero de 44 cifras que se obtiene sea primo?

Luego de ausentarme un par de dias , vuelvo como el fenix a el ring de matematicas .

Recordemos primero un poco la divisibilidad del 11 que dice que la suma de las cifras en lugares pares menos las que estan en los lugares impares debe dar un multiplo de 11.
Notemos que siempre si o si las "unidades de mil" (en este caso puros unos) estaran en los lugares impares (11*1) , asi tambien estara 5 veces en las "decenas" ochos y 6 veces nueves (8*5+9*6) {I}. En el caso de los que estan en lugares pares {P} encontraremos en las "centenas" 11*9 y en las "unidades" la suma de 5..9 + 1..5.
Ordenando
P-I=A
(11+8*5+9*6) - (11*9+35+15)=A
(11+40+54) - (99+50)=A
105-149=-44=A=11*-4
Concluimos que siempre sera multiplo de 11 , asi que nunca sera primo.

[Caetano]

La solucion al problema 4 esta buena. De todas formas explicare un poco lo que el hizo. El utlizo la divisibilidad por 11, puesto que esta depende de la suma de las cifras en los lugares impares y pares, es decir, sea cual sea la forma en que el ordene estos numeros de 4 cifras siempre estas sumas seran constantes, y por lo tanto si la diferencia entre estas dos es un multiplo de 11 el numero jamas seria primo. Felicitaciones

Saludos a todos

[S. E. Puelma Moy...]

Con algunos contratiempos, pero debemos proponer los dos problemas que faltan... al ver poca participación de los usuarios, y viendo que todavía no aparecen los problemas que faltan... voy a proponer los dos restantes...

Veamos ahora "el problema fácil"

Problema 6: Determine todos los enteros que pueden ser escritos como diferencia de dos cuadrados perfectos.

[S. E. Puelma Moy...]

Finalmente, el desafío de la semana... esto se veía venir, a partir de un problema propuesto por Cesarator, aunque lo estaba concibiendo desde antes... no voy a regalar la ayuda tan fácil... si alguien quiere intentarlo, primero que demuestre que ha trabajado con el problema y nos cuente sus conclusiones...

Después de todo, el problema no es tan terrible.

Problema 7: Dado , podemos escribirlo como suma de números enteros positivos, de varias maneras distintas. Por ejemplo, 17 puede escribirse, entre otras formas, como:

A cada descomposición en suma, podemos asociar el producto de todos los sumandos en cuestión. En nuestro ejemplo quedan los siguientes productos:

Para cada , determine el mayor producto que podemos obtener de este modo

[picosenotheta]

problema 5 Editado...

operando

factorizando

elevando al cuadrado

desarrollando

operando


operando

elevando al cuadrado

operando


operando


factorizando






,descartados , invalidan el denominador



revisando el polinomio y jugando un poco corresponde a un cuadrado de trinomio







resolviendo







los valores con el signo negativo se pueden descartar

lo que queda es una solucion doble que corresponde

a la !!! razón áurea!!!

con razon hablas de resultados especiales


no imagine que este problema me llevara a la razón áurea...

[=3fR4=]

P7) Sea n el numero en cuestion, diremos que S(n) es el producto de sus sumandos.
Supongamos que n es divisible por a, y lo descomponemos en k sumandos iguales
n=ak => S(n)=a^k
Ahora supongamos que hacemos variar la descomposicion de sumandos de n, tal que la diferencia entre el mayor y el menor sea al menos 2, reemplazamos un a por a+1 y otro por a-1 . Entonces:
n=a(k-2)+(a+1+(a-1)
=> S(n)"=(a+1)(a-1)*a^(k-2)=(a^2-1)*a^(k-2)=a^k-a^(k-2)
Pero
S(n)=a^k>S(n)"=a^k-a^(k-2)
Como buscamos el mayor producto, la diferencia entre el mayor y el menor de los sumandos al descomponer n debe ser a lo mas 1.
Ahora supongamos que descomponemos n en a y b, con a>b, pero a=c+d y b=e+f, con c>o=d>1 y e>o=f>1
Entonces:
n=a+b => S(n)=ab y n=c+d+e+f => S(n)"=cdef
sabemos que 2c>a y 2e>b => cd>a ef>b => cdef>ab => S(n)<S(n)"
esto ya que d>o=2 y f>0=2 , y que si d=f=1 la desigualdad es contraria porque c<a y e<b
Con lo anterior demostramos que los sumandos que descomponen a n deben ser lo menor posible y ademas distintos de 1, a demas la diferencia entre el mayor y el menor es a lo mas 1, es decir la descomposicion debe hacerse solo con 2 y 3, en lo posible solo dos, es decir a lo mas un 3 cuando n es impar. Ahora generalizaremos lo dicho:
Sea n=2k y m=2k+1
Para n la descomposicion es n=2k => S(n)=2^k es el mayor producto posible
Para m sera m=2(k-1)+3 => S(m)=3*2^(k-1) es el mayor producto posible

[S. E. Puelma Moy...]

Ahora supongamos que hacemos variar la descomposicion de sumandos de n, tal que la diferencia entre el mayor y el menor sea al menos 2, reemplazamos un a por a+1 y otro por a-1

...

  Como buscamos el mayor producto, la diferencia entre el mayor y el menor de los sumandos al descomponer n debe ser a lo mas 1.

...

Con lo anterior demostramos que los sumandos que descomponen a n deben ser lo menor posible y ademas distintos de 1, a demas la diferencia entre el mayor y el menor es a lo mas 1, es decir la descomposicion debe hacerse solo con 2 y 3, en lo posible solo dos, es decir a lo mas un 3 cuando n es impar. Ahora generalizaremos lo dicho:
Sea n=2k y  m=2k+1 
Para n la descomposicion es n=2k => S(n)=2^k es el mayor producto posible
Para m sera m=2(k-1)+3 => S(m)=3*2^(k-1) es el mayor producto posible

No tengo demasiado tiempo como para leer los detalles de la solución, aunque sí he percibido que no es correcta. La solución definitiva no separa los casos según paridad. Rescaté algunas ideas de lo que escribiste

Las primeras dos intervenciones que puse, son importantes. Ciertamente la diferencia entre el mayor y el menor, nos conviene que sea menor o igual que uno. Pero eso es totalmente general, cosa que no hiciste.

Lo último es cierto, más o menos. Comprueba primero que no conviene usar factores mayores o iguales que 5 en la descomposición, sería una buena ayuda.

No entendí tu predisposición a elegir factores 2 en lugar de factores 3. Pon n=12 para percibir si estás bien o no.

La mejor recomendación es que pongas tu solución de nuevo, pero ahora intenta explicar mejor. Aprovecha el recurso LaTeX, usa el punto aparte, y trata que la solución sea breve...

...no querrás verte humillado si otro publica una solución breve y contundente par el problema

Solicito que otra persona evalúe la solución publicada al problema 5

[picosenotheta]

y que paso con el problema 5 ?