Semana del 21 al 27 de Julio, Por favor revisar: 5 Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Llegamos a la tercera semana de problemas propuestos, y vamos a comenzar la lista de siete propuestos... quienes no hayan modificado su perfil para colocar su fecha de cumpleaños, se los sugiero... y pidan ayuda si no saben cambiar su perfil... así también pidan ayuda con el problema si no les sale

Problema 1: El foro FMAT tiene n usuarios registrados, y vamos a suponer que todos son personas distintas. Supongamos también que, para cada usuario, la probabilidad de nacer el día 1 de Enero es la misma que la probabilidad de nacer el día 2 de Enero, que el día 3 de Enero, y así sucesivamente hasta el 31 de Diciembre (en total son 366 dias, porque incluimos el 29 de Febrero).

¿Cuál es la probabilidad de que existan dos usuarios de cumpleaños en el mismo día?

Algunas indicaciones:
La respuesta depende de n
Separen los casos n<366 y n>366
Si les cuesta mucho el problema, vean los primeros casos e inspírense

[S. E. Puelma Moy...]

Este problema va dedicado para la gente que se prepara para las últimas pruebas del Campeonato Escolar de Matemáticas... lamentablemente están todos los problemas definidos, y no pude proponer éste... lamentablemente para ustedes, porque no está muy macabro

Problema 2: En una reunión se juntaron n personas, de las cuales k están locas (k puede tomar cualquier valor desde 0 hasta n, ambos incluidos), y el resto están todos cuerdos. Cada una de las personas hace un juicio sobre la cordura o locura de todos los demás, pero no de sí mismo. Estos juicios siguen dos reglas sencillas:

• Una persona cuerda siempre hace juicios acertados sobre cordura o locura
• Una persona loca siempre hace juicios errados sobre cordura o locura

Cada persona toma n-1 pedazos de papel. En ellos escribe el nombre de las otras n-1 personas (uno por papel, sin repetir), y abajo escribe la palabra "cuerdo" o "loco", según lo que piense de esa persona, si está cuerda o loca, respectivamente. Determine cuántos papeles tienen escrita la palabra "cuerdo"

[Gp20]

Y aquí va el 3°, k está bien facilito

Problema 3: Sea un rectángulo de lados 8 y 9, en el cual trazamos 2 circunferencias con el mismo radio, de modo que ambas sean tengentes entre sí, una es tangente a 2 lados del rectángulo, y la otra es tangente a los otros 2 lados del rectángulo. Determine el radio de las circunferencias.

[Caetano]

Hola, aqui va la solucion para el problema 2

Primero tenemos que tener en cuenta que un cuerdo siempre acertara en su juicio, es decir, dira que hay n-k-1 cuerdos (puesto que no se cuenta a si mismo),
y cada loco errara en su juicio, es decir dira que los locos son cuerdos, y por lo tanto cada uno emitira k-1(puesto que no se cuenta a si mismo) papeles que dicen cuerdo, entonces tenemos que la cantidad total de papeles que dicen cuerdo esta dada por:

(n-k)(n-k-1) + k(k-1) = n^2 -nk -n -nk +k^2 +k +k^2 -k = n^2 -2nk +2k^2 -n = (n-k)^2 + k^2 -n

Eso seria,
Saludos

[felipe_contreras...]

1.-
Para el caso n>366 la probabilidad es 1.
Esto se demuestra por principio del palomar, ya que al haber más de 366 usuarios siempre habrá al menos un grupo con al menos dos usuarios.

[S. E. Puelma Moy...]

El problema 2 está muy bien resuelto

En cuanto al problema 1, cierto que la probabilidad es 1 en ese caso... ahora queda por resolver el otro caso, cuando n<366. Aquí necesitarán algunas nociones de combinatoria, además de todas las dicas presentadas y tal vez una que pondré en el futuro...

[Caetano]

Aqui esta mi propuesto para esta semana, un poco atrasado

Problema 4

¿Es posible escribir los 11 numeros desde 1985 hasta 1995 en algun orden de modo que el numero de 44 cifras que se obtiene sea primo?

Saludos

[Rurouni Kenshin]

Y aca mi propuesto...muy simple esta vez....pura algebra.
Problema 5
Encuentre todos los numeros reales que satisfacen:


Es un problema totalmente sacable y su solucion(es) son especiales...
Saludos

[felipe_contreras...]

Para el 1 ¿se pide que exactamente 2 personas tengan el mismo cumpleaños o al menos 2?

[S. E. Puelma Moy...]

Al menos... eso quiere decir que es favorable el caso en que tres o más están de cumpleaños el mismo día... es favorable el caso que haya coincidencia de cumpleaños en más de un día... etc.

Esa es muy buena información para el problema... debe entenderse como "al menos"