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1ª Killer Maraton, Solo para valientes

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Cesarator	Oct 23 2006, 06:46 PM Publicado: #81
Invitado	Gracias, problema corregido. $TEX: <br />{\bf Problema 20}. Sean $P, Q$ puntos en los lados $\overline{BC}$ y $\overline{AC}$ de un $\triangle ABC$, con $AP$ y $BQ$ bisectrices de los \'angulos $\angle A$ y $\angle B$, respectivamente.<br /><br />Asumir que $\angle BAC= 60^o$ y que $AB+BP = AQ+QB$. <br /><br />Encontrar el valor de $\angle ABC$.<br />$ Mensaje modificado por Cesarator el Oct 23 2006, 06:47 PM

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 24 2006, 12:09 PM Publicado: #82
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	listo... ver abajo el post Mensaje modificado por Pasten el Oct 24 2006, 06:02 PM -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Cesarator	Oct 24 2006, 12:36 PM Publicado: #83
Invitado	mmm, debe justificarse mejor el primer paso...

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 24 2006, 04:10 PM Publicado: #84
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Oct 24 2006, 01:36 PM) mmm, debe justificarse mejor el primer paso... Ok, ya modifique el post (en todo caso es la misma solucion, solo justifique). Saludos y gracias. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 24 2006, 04:11 PM Publicado: #85
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Error de solución, por favor editar. Mensaje modificado por Luffy el Oct 24 2006, 07:09 PM

Cesarator	Oct 24 2006, 04:53 PM Publicado: #86
Invitado	... el "primer paso" es la igualdad de los angulos BXP y ACP

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 24 2006, 06:01 PM Publicado: #87
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Oct 23 2006, 07:46 PM) Gracias, problema corregido. $TEX: <br />{\bf Problema 20}. Sean $P, Q$ puntos en los lados $\overline{BC}$ y $\overline{AC}$ de un $\triangle ABC$, con $AP$ y $BQ$ bisectrices de los \'angulos $\angle A$ y $\angle B$, respectivamente.<br /><br />Asumir que $\angle BAC= 60^o$ y que $AB+BP = AQ+QB$. <br /><br />Encontrar el valor de $\angle ABC$.<br />$ $TEX: Construimos $X,Y$ sobre AB,AC de modo que $BX=BP,QY=QB$. Tendremos $PBX,BQY$ ambos isosceles, y por la condicion dada, $AXY$ equilatero. Supondremos primero que $Y\ne C$, esto nos da dos casos, a saber;$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img102.imageshack.us/img102/7468/demo2pw8.png');}" /> $TEX: Caso 1: $QY>QC$\\<br />$\angle PXB=\angle PYQ$ ahora si por simetria\\<br />$2\angle PXB=\angle PXB+\angle XPB=\angle ABC=2\angle PBQ$<br />luego $\angle PYQ=\angle PBQ$<br />Pero como $BQY$ isosceles, tenemos $BP=PY=PX$ de donde deducimos que $BPX$ es equilatero, lo que claramente es una contradiccion porque en ese caso $AC//BC$.<br />$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img62.imageshack.us/img62/7549/demo3ki0.png');}" /> $TEX: Caso 2: $QY<QC$\\<br />Analogo al anterior (en el dibujo se siguen los mismos colores tambien)\\<br />Tambien llegamos a una contradiccion asi que solo puede ser $Y=C$$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img123.imageshack.us/img123/9699/demo1js7.png');}" /> $TEX: Ahora verificaremos que esto es posible; en efecto, segun vemos en la imagen tenemos $\angle BPX=\angle PXC+\angle PCX=2\angle PXC$ asi que como $AXC$ es equilatero se tiene\\<br />$\angle AXC=60=\angle PXC+\angle PXA=3\angle PXC$ luego, $\angle PXC=20$\\<br />y se sigue que $\angle ABC=4\angle PXC=80$\\<br />Respuesta: $\angle ABC=80$$ PD:cambie la imagen porque estaba muy fea. Perdon por los inconvenientes -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Cesarator	Oct 24 2006, 06:31 PM Publicado: #88
Invitado	$TEX: <br />{\bf Problema 21} Sean $A,B,C,D,E$ y $F$ seis puntos en el espacio. Asumir<br />que los cuadril\'ateros $ABDE$, $BCEF$ y $CDFE$ son paralelogramos. <br /><br />Demostrar que los puntos medios de los lados $AB, BC, CD, DE, EF$ y $FA$ son coplanares.<br />$

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 24 2006, 07:24 PM Publicado: #89
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Oct 24 2006, 07:31 PM) $TEX: <br />{\bf Problema 21} Sean $A,B,C,D,E$ y $F$ seis puntos en el espacio. Asumir<br />que los cuadril\'ateros $ABDE$, $BCEF$ y $CDFE$ son paralelogramos. <br /><br />Demostrar que los puntos medios de los lados $AB, BC, CD, DE, EF$ y $FA$ son coplanares.<br />$ $TEX: Si un cuadrilatero en el espacio es paralelogramo, sus vertices son coplanares. Sea el plano $\alpha: B,C,E,F\in\alpha$ entonces como $CDFE$ es paralelogramo $D\in\alpha$ tambien (notar que 3 puntos determinan un plano). Luego, $A\in\alpha$ porque $ABDE$ es paralelogramo y $B,D,E\in\alpha$. Por lo tanto $A,B,C,D,E,F\in\alpha$ y la conclusion se sigue; los puntos medios en cuestion son coplanares$ (ya nos parecia raro a varios via msn jejeje) Mensaje modificado por Pasten el Oct 24 2006, 09:05 PM -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Cesarator	Oct 24 2006, 09:01 PM Publicado: #90
Invitado	chuuu, sorry, nuevo error de tipeo, confundi el ultimo paralelogramo. Aca va el problem killer: $TEX: <br />{\bf Problema 21 (bis)} Sean $A,B,C,D,E$ y $F$ seis puntos en el espacio. Asumir<br />que los cuadril\'ateros $ABDE$, $BCEF$ y $CDFA$ son paralelogramos. <br /><br />Demostrar que los puntos medios de los lados $AB, BC, CD, DE, EF$ y $FA$ son coplanares.<br />$

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