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1ª Killer Maraton, Solo para valientes

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 20 2006, 08:34 PM Publicado: #61
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	Sea $TEX: $k\in\mathbb{N}$$ fijo, con $TEX: $k<12$$ , porque la mayor suma que pueden tener dos elementos de $TEX: $X$$ (con repeticiones) es $TEX: $4002<4096=2^{12}$$ . Ahora intentaremos construir el mayor subconjunto $TEX: $M_k$$ de $TEX: $X$$ donde no hayan dos elementos que sumados den $TEX: $2^k$$ : Incorporamos a $TEX: $M_k$$ todos los números mayores o iguales a $TEX: $2^k$$ , porque no pueden ser sumados con ningún otro elemento para dar $TEX: $2^k$$ , y luego sólo sirven para aumentar el número de elementos de $TEX: $M_k$$ . Esta cantidad de elementos es de $TEX: $2001-2^k+1=2002-2^k$$ en el caso de que $TEX: $k\le 10$$ , y de $TEX: $0$$ cuando $TEX: $k=11$$ , porque $TEX: $2^{11}=2048>2001$$ . Luego es natural separar el análisis en dos casos: I) $TEX: $k\le 10$$ Los $TEX: $2^k-1$$ elementos restantes se separan en $TEX: $2^{k-1}$$ subconjuntos, donde uno de ellos es el $TEX: $\{2^{k-1}\}$$ y los otros son de la forma $TEX: $\{j,2^k-j\}$$ , para $TEX: $j\in\mathbb{N},\ 1\le j \le 2^k-1$$ . En cada uno de estos subconjuntos ocurre que, si el subconjunto entero es agregado a $TEX: $M_k$$ , al sumar los elementos agregados se logrará $TEX: $2^k$$ , que es lo que se quiere evitar. Entonces se debe dejar fuera de $TEX: $M_k$$ a un elemento de cada subconjunto, para un total de $TEX: $2^{k-1}$$ elementos descartados, y $TEX: $M_k$$ es de $TEX: $2001-2^{k-1}$$ elementos. II) $TEX: $k=11$$ Los números del $TEX: $1$$ al $TEX: $46$$ no pueden ser sumados son ningún elemento de $TEX: $X$$ para dar $TEX: $2^{11}$$ , y son agregados a $TEX: $M_{11}$$ para aumentar su número de elementos. Los restantes $TEX: $1955$$ elementos de $TEX: $X$$ son separados en $TEX: $978$$ subconjuntos, siendo uno de ellos $TEX: $\{2^{10}\}$$ y los demás de la forma $TEX: $\{j,2^{11}-j\}$$ , con $TEX: $j\in\mathbb{N},\ 47\le j\le 2^{10}-1$$ . Al igual que antes, para maximizar el número de elementos de $TEX: $M_{11}$$ , se deja fuera de él a un elemento de cada uno de estos subconjuntos, y en $TEX: $M_{11}$$ habrá $TEX: $2001-978=1023$$ elementos. Ahora sea $TEX: $M_i$$ el conjunto $TEX: $M_k$$ , con $TEX: $1\le k\le 11$$ , con menos elementos (que existe, porque hay una cantidad finita de dichos conjuntos). Cualquier subconjunto de $TEX: $X$$ con más elementos que $TEX: $M_i$$ tendrá dos elementos (no necesariamente distintos) que sumen $TEX: $2^i$$ . Y como $TEX: $978>2^{k-1}$$ para $TEX: $1\le k\le 10$$ , $TEX: $M_{11}$$ es el conjunto con menos elementos de entre los $TEX: $M_k$$ , y el $TEX: $n$$ buscado es el menor entero mayor que $TEX: $1023$$ , o sea, $TEX: $n=1024$$ . Saludos -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

Cesarator	Oct 20 2006, 10:25 PM Publicado: #62
Invitado	Respuesta incorrecta

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 21 2006, 10:59 AM Publicado: #63
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Oct 20 2006, 09:04 PM) $TEX: <br />{\bf Problema 14}. Sea $X=\{1,2,3,\dots, 2001\}$. Encontrar el menor entero positivo $n$ tal que para todo subconjunto de $n$ elementos $W$ de $X$, existen dos elementos $p,q\in W$ (puede tomarse $p=q$) con $p+q=2^k$ para alg\'un entero positivo $k$<br />$ $TEX: \noindent<br />Busquemos el subconjunto $A$ de $X$ con mas elementos que podemos formar de modo que para cualquer par $a,b\in A$ (posiblemente $a=b$) entonces $a+b$ no es de la forma $2^k$.\\<br />Escribimos los elementos de $X$ en una lista ordenados de menor a mayor y descartaremos los que no nos sirvan.\\<br />Ahora tachamos todos los $2^i:i\in\mathbb{N}_0$ que estan en la lista, porque bastaria tomar $a=b=2^i$ para que $A$ no sea de la forma deseada.\\<br />Notemos que $2^k-t,2^k+t:k,t\in\mathbb{N}$ no pueden estar ambos en $A$ porque su suma es potencia de $2$, asi que estamos obligados a borrar uno de ellos. Para esto, tacharemos $2^k+t$ si y solo si $2^k-t$ esta libre.\\<br />Este procedimiento es otimo, porque;\\<br />i) Si $2^k-t, 2^k+t\le 2001$ solo uno de los dos esta borrado\\<br />ii) Si el $2^k+t$ que debemos borrar es mayor que 2001 es porque $2^k-t$ estaba libre, luego, no podia formar un par $2^k-t, 2^k+t$ con los elementos menores que $2^k+t$ asi que como $2^k+t$ no esta en la lista el $2^k-t$ puede estar en $A$.\\<br />iii) Si $2^k+t>2001$ no debia borrarse es porque $2^k-t$ estaba borrado, luego, era parte de otro par de la misma forma asi que no puede reintegrarse a la lista.\\<br />Ahora solo basta contar cuantos numeros quedan en la lista luego de tachar numeros como se acaba de indicar.$ $TEX: \noindent<br />El procedimiento se puede resumir como:\\<br />(1) borrar los $2^i:i\in\mathbb{N}_0$\\<br />(2) borrar $2^k+t$ si y solo si $2^k-t$ esta libre ($k,t\in\mathbb{N}$) .\\<br />Notemos que en el intervalo $[1,2^k-1]$ habra $2^{k-1}-1$ numeros que no se tacharon. (3)\\<br />En efecto, el termino central sera $2^{k-1}$, el cual borraremos por (1), y la cantidad de borrados menores que $2^{k-1}$ sera igual que la cantidad de no borrados mayores que $2^{k-1}$ por (2), lo que prueba (3).\\ <br />Sean $l(x),t(x)$ la cantidad de libres y tachados en $x$, respectivamente. Necesitamos saber $l([1,2001])$. Notemos que \\<br />$l([1,2001])=l([1,2047])-l([2002,2047])=l([1,2047])-t([1,46])= l([1,2047])-t([1,63])+t([47,63])=l([1,2047])-t([1,63])+l([1,17])$\\<br />ahora aplicando (3) y verificando para $l([1,17])$ obtenemos\\<br />$l([1,2001])=l([1,2047])-t([1,63])+l([1,17])=1023-32+7=998$\\<br />Asi que el conjunto $A$ con mas elementos que podemos formar tendra $998$ elementos.\\<br />Por lo tanto, cualquier conjunto $W$ con 999 elementos cumplira que para algunos $p,q\in W$ (posiblemente $p=q$), $p+q$ sera de la forma $2^k$, porque de no ser asi, sera de la forma buscada para $A$, lo que contradice la maximalidad de $A$.\\<br />Respuesta: $n=999$.$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Cesarator	Oct 21 2006, 02:49 PM Publicado: #64
Invitado	$TEX: <br />{\bf Problema 15}. Sean $a,b,c>0$. Demostrar que<br />\[<br />2\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} + \frac{1}{2}<br />\left(<br />\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} - \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}<br />\right) \ge 3<br />\]<br />$

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2006, 12:50 AM Publicado: #65
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Oct 21 2006, 03:49 PM) $TEX: <br />{\bf Problema 15}. Sean $a,b,c>0$. Demostrar que<br />\[<br />2\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} + \frac{1}{2}<br />\left(<br />\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} - \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}<br />\right) \ge 3<br />\]<br />$ $TEX: \noindent<br />Asuma $\sum$ como simbolo para suma ciclica.\\<br />Llamemos (1) a la desigualdad planteada.\\<br />Sean $p,q,r$ tales que $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$.\\<br />Notemos que\\<br />$\sum a^2=p^2-2q\\<br />\sum a^3=p(p^2-3q)+3r$\\<br />luego\\<br />$\displaystyle \frac{2\sum ab}{\sum a^2}=\frac{2q}{p^2-2q}=\frac{p^2}{p^2-2q}-1\\<br />\frac{\sum a^3}{abc}=\frac{p(p^2-3q)+3r}{r}=\frac{p(p^2-3q)}{r}+3\\<br />\frac{\sum a^2}{\sum ab}=\frac{p^2-2q}{q}=\frac{p^2}{q}-2$\\<br />Por lo que la desigualdad del problema se convierte en \\<br />$\displaystyle <br />\frac{p^2}{p^2-2q}-1+\frac{1}{2}\left(\frac{p(p^2-3q)}{r}+3-\frac{p^2}{q}+2 \right)\ge 3$\\<br />que puede escribirse\\<br />$\displaystyle <br />\frac{2p^2}{p^2-2q}+\frac{p(p^2-3q)}{r}-\frac{p^2}{q}\ge 3$ (2)\\<br />Ahora, por las desigualdades de Maclaurin tenemos\\<br />$\displaystyle <br />\frac{p}{3}\ge\sqrt{\frac{q}{3}}\ge\sqrt[3]{r}$\\<br />lo que nos invita a realizar los siguientes cambios de variable;\\<br />$\displaystyle <br />x=\frac{p}{3},y=\sqrt{\frac{q}{3}},z=\sqrt[3]{r}: x\ge y\ge z$\\<br />es decir\\<br />$p=3x, q=3y^2, r=z^3 : x\ge y\ge z$\\<br />Sustituimos en (2) para obtener (ya simplificada) la siguiente desigualdad equivalente a (1); \\<br />$\displaystyle <br />\frac{2x^2}{3x^2-2y^2}+\frac{9x(x^2-y^2)}{z^3}-\frac{x^2}{y^2}\ge1$ (3)$ $TEX: \noindent<br />Notemos ahora que en (1), cada miembro tiene grado $0$, luego, si en (1) teniamos $ab+bc+ca=s$ para algun real positivo $s$, podemos amplificar convenientemente los denominadores y numeradores de cada fraccion por $\displaystyle \left(\frac{3}{s}\right),\left(\frac{3}{s}\right)^{3/2},\left(\frac{3}{s}\right)$ respectivamente para hacer de cuentas que $ab+bc+ca=3$, asi, sin perdida de generalidad podemos asumir $q=3$, es decir, $y=1$.\\<br />Asuma entonces que $y=1$. Usando esto en (3) y obtenemos la expresion equivalente\\<br />$\displaystyle <br />\frac{2x^2}{3x^2-2}+\frac{9x(x^2-1)}{z^3}-x^2\ge1 : x\ge 1\ge z$\\<br />amplificamos por $z^3(3x^2-2)$ para limpiar los denominadores y obtenemos\\<br />$\displaystyle <br />2x^2z^3+9x(x^2-1)(3x^2-2)-x^2z^3(3x^2-2)\ge z^3(3x^2-2)$\\<br />Desarrollamos y dejamos todo del lado izquierdo para obtener\\<br />$27x^5-3x^4z^3-45x^3+x^2z^3+18x+2z^3\ge 0 :x\ge 1\ge z$ (4)\\<br />Como ya vimos, demostrar (4) significa que (1) es cierta, pero\\<br />$27x^5-3x^4z^3-45x^3+x^2z^3+18x+2z^3=\\ =(x+1)(x-1)(27x^3-3x^2z^3-18x-2z^3)\ge\\<br />\ge (x+1)(x-1)(27x^3-3x^2-18x-2)\ge 0$\\<br />donde las desigualdades son primero por acotar drasticamente $z=1$ y despues recordando que $x\ge1$. Con esto finaliza la demostracion.$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Cesarator	Oct 22 2006, 12:53 PM Publicado: #66
Invitado	$TEX: <br />{\bf Problema 16}. Sean $M$ y $N$ puntos en el lado $\overline{BC}$<br />de un $\triangle ABC$, tales que $AM$ es transversal de gravedad y $AN$ es bisectriz.<br /><br />Sean $M'$ y $N'$ los puntos de intersecci\'on (distintos de $A$) de la circunferencia circunscrita del $\triangle ABC$ con las rectas $AM$ y $AN$, respectivamente.<br /><br />Demostrar que $MM'\le NN'$.<br />$

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2006, 01:32 PM Publicado: #67
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Oct 22 2006, 01:53 PM) $TEX: <br />{\bf Problema 16}. Sean $M$ y $N$ puntos en el lado $\overline{BC}$<br />de un $\triangle ABC$, tales que $AM$ es transversal de gravedad y $AN$ es bisectriz.<br /><br />Sean $M'$ y $N'$ los puntos de intersecci\'on (distintos de $A$) de la circunferencia circunscrita del $\triangle ABC$ con las rectas $AM$ y $AN$, respectivamente.<br /><br />Demostrar que $MM'\le NN'$.<br />$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img342.imageshack.us/img342/9906/kmaratonef1.png');}" /> $TEX: \noindent<br />Sea $O$ centro del circumcirculo de $ABC$. Notemos que $O,M,N'$ estan alineados por ser centro, punto medio de la cuerda $BC$ y punto medio del arco $BC$ respectivamente. Sean $P, Q$ los reflejos sobre $ON'$ de $A$ y $M'$ respectivamente. Se tiene que $\displaystyle \angle QMN=\frac{\widehat{QC}+\widehat{PB}}{2}$ pero por angulo inscrito $\displaystyle \angle QN'N=\frac{\widehat{QC}+\widehat{CA}}{2}$ y como por simetria $\widehat{CA}=\widehat{PB}$ se sigue que $\angle QN'N=\angle QMN$. luego, QMNN' es ciclico, diagamos, inscrito en el circulo $S$, pero $\angle N'MN=90$ asi que $NN'$ es diametro de $S$ y $MQ$ es cuerda de S. Se sigue que<br />$NN'\ge MQ=MM'$ esto ultimo por simetria.$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Cesarator	Oct 22 2006, 01:56 PM Publicado: #68
Invitado	$TEX: <br />{\bf Problema 17}. Sea $k$ un entero positivo fijo. Definimos $a_1=1+k$,<br />\[<br />a_{n+1} =a_n^2-ka_n+k.<br />\]<br />Probar que si $n\ne m$, entonces $a_n$ y $a_m$ no tienen divisores comunes no triviales.<br />$

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2006, 03:09 PM Publicado: #69
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Primero probaremos por induccion que :<br /><br />\noindent $a_{n+1}=a_1a_2a_3\cdots a_n + k$<br /><br />\noindent Ahora probaremos que se cumple para $n+2$ :<br /><br />\noindent $a_{n+2}=a_{n+1}^2 - ka_{n+1}+k=(a_{n+1}-k)a_{n+1}+k=a_1a_2a_3\cdots a_na_{n+1}+k$<br /><br />\noindent Para $m\ne n$ no hay problema en suponer que $m>n$, entonces tenemos que:<br /><br />\noindent $a_m=a_1a_2a_3\cdots a_{m-1} + k$ y $a_n=a_1a_2a_3\cdots a_{n-1} + k$<br /><br />\noindent Entonces reemplezando se tendra que:<br /><br />\noindent $a_m=(a_n-k)(a_na_{n+1}\cdots a_{m-1})+k=a_n[(a_n-k)a_{n+1}\cdots a_{m-1}]+k$<br /><br />\noindent $\Rightarrow$ $a_m=qa_n+k$ pero si existiera un divisor comun entre $a_m$ y $a_n$ entonces este dividiria a $k$, pero $a_j$ deja resto $1$ al ser divido por $k$ para todo $j$, es decir son coprimos (esto se deduce del hecho de que $a_1\equiv 1$(mod k ) y por la recurrencia que establecimos para $a_j$) . Luego, se prueba lo pedido.$ Mensaje modificado por Caetano el Oct 22 2006, 03:19 PM --------------------

Cesarator	Oct 22 2006, 03:58 PM Publicado: #70
Invitado	$TEX: <br />{\bf Problema 18}. Sea $ABCD$ un cuadril\'atero convexo con $\angle B = \angle D =135^o$. Asumir que<br />\[<br />AC^2\cdot BD^2 = 2 AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA.<br />\]<br />Determinar si las diagonales del cuadril\'atero son necesariamente perpendiculares.<br />$

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