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1ª Killer Maraton, Solo para valientes

Cesarator	Sep 11 2006, 11:07 AM Publicado: #51
Invitado	$TEX: <br />{\bf Problema 12}. Sean $p_1, ..., p_k$ n\'umeros enteros, con $k$ un entero positivo, y sean $a_1,...,a_k$ n\'umeros reales. Demostrar que si la suma<br />\[<br />a_1 p_1^i + ... + a_kp_k^i<br />\]<br />es un n\'umero entero para todo $0\le i <k$, $i\in Z$entonces<br />\[<br />a_1 p_1^k + ... + a_kp_k^k<br />\]<br />tambi\'en es un entero.<br />$ Aun no veo una solucion completa de este problema. Si algo esta mal escrito o no se entiende, ni siquiera se puede comenzar la revision. Ya los alcance con la revision y la adjudicacion de puntajes!

Cesarator	Oct 6 2006, 09:38 AM Publicado: #52
Invitado	.. que bueno que han tenido piedad por este pobre anciano y me han dejado descansar, y descansar, y descansar.... de......... la................ maratón......... ......zzzzzzzzzzzzzzzzz zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz zzzzzzzzz

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2006, 10:05 PM Publicado: #53
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ya que me titaron un palo por ahi, posteo pero sin saber si esta correcta la forma en que escribi esa suma. $TEX: \noindent Sea $S_j=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}a_ip_i^j$ y $P_i=\displaystyle\frac{{k\choose i}}{k!}\sum_{simetrica}\left(\prod_{n=1}^{i}p_n\right)$. Ahora notese la siguiente identidad:$ $TEX: $S_k=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}S_{k-i}P_i$$ $TEX: \noindent Dado que $S_j\in \mathbb{Z}$ para $0\le j<k$ y $P_i\in \mathbb{Z}$ para $0\le i\le k$, se concluye que $S_k\in \mathbb{Z}$$ Mensaje modificado por Caetano el Oct 17 2006, 10:09 PM --------------------

Cesarator	Oct 17 2006, 10:46 PM Publicado: #54
Invitado	$TEX: <br />\[<br />\sum_{simetrica} ???????<br />\]<br />$

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2006, 11:37 PM Publicado: #55
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\displaystyle\sum_{simetrica}f(x,y,z)=$$ $TEX: $f(x,y,z)+f(x,z,y)+f(y,z,x)+f(y,x,z)+f(z,x,y)+f(z,y,x)$$

Cesarator	Oct 18 2006, 01:36 PM Publicado: #56
Invitado	CITA(Caetano @ Oct 17 2006, 11:05 PM) $TEX: $S_k=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}S_{k-i}P_i$$ bueno, y como se demuestra esta identidad con la notacion usada? o es obvio?

Cesarator	Oct 20 2006, 03:20 PM Publicado: #57
Invitado	$TEX: {\bf Problema 13}. Sea $ABCD$ un cuadril\'atero con <br />$\angle CDB \cong \angle CBD = 50^o$ y $\angle CAB = \angle ABD = \angle BCD$.<br />>Es verdad que necesariamente $AD\perp BC$?<br />$ Ya se adjudicará el puntaje para el Problema 12. Anuncio que, por gestiones hechas ante el equipo organizador del veranomatematico 2007, se agrega el siguiente premio a la K-Maratón: Una beca de matrícula para la Escuela de Verano de Matemáticas de Concepción para quien obtenga el más alto puntaje, excluyendo a Pasten y Alucard (Ya explicaré porqué se los excluye de esta beca, que es otra noticia que se dará en su momento). ... por ejemplo, si Alucard y Pasten son los dos primeros lugares, la beca se le otorga al tercer lugar, luego, ellos siguen participando. Mensaje modificado por Cesarator el Oct 20 2006, 03:22 PM

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 20 2006, 06:18 PM Publicado: #58
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	Bien... como no pude encontrar una mejor solucion, posteo esta que esta bien fea... screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img266.imageshack.us/img266/2388/demo1mp0.png');}" /> Aunque es un resultado conocido, lo demostrare de nuevo. $TEX: \noindent<br />Sea $UYZ$ isosceles con angulo basal $80$. Sea $X$ en $UZ$ tal que $XU=YZ$. Sea $V$ tal que $VXU\sim UYZ$. Como $UV=UY$ y $\angle VUY=80-20=60$ el triangulo $UVY$ es equilatero, luego, $VX=VY$ asi que $VXY$ es isosceles con $\angle XVY=60-20=40$ de donde $\angle VXY=70$. Finalmente, $\angle ZXY=180-(80+70)=30$<br />El cuadrilatero degenerado $XYZU$ queda definido por;\\<br />i) una longitud cualquiera\\<br />ii) los angulos del $XYZ$ \\<br />iii) la condicion $UX=YZ$ con $Z,X,U$ alineados en ese orden. \\<br />Si solo se cumplen ii) y iii) obtenemos un cuadrilatero semejante al $XYZU$.\\<br />Es evidente que si un cuadrilatero degenerado $X'Y'Z'U'$ es semejante a nuestro $XYZU$, entonces $U'Y'Z'\sim UYZ$<br />$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img168.imageshack.us/img168/6958/demo2hd3.png');}" /> Ahora nuestro problema $TEX: \noindent<br />Construimos el $ABCD$ y llamamos $Q$ a la interseccion de $AD$ con $BC$. Construimos $P$ sobre $AC$ de modo que $ABC\cong PCD$ (notar que es posible porque $\angle ABC=\angle PCD=30$ segun los datos dados). Notemos qie los angulos interiores de $ABC$ son respectivamente $80,30,70$, asi que tambien seran estos los angulos interiores de $PCD$ (en ese orden). Notar a demas que $PD=AC$, luego, el $CDPA$ sera semejante al $XYZU$ del resultado anterior, y concluimos que el $CDP$ sera semejante al $XYZ$ de donde obtenemos $\angle CAQ=20$, pero como $\angle ACQ =70$ se deduce que $\angle AQC=90$ (1)\\<br />\\<br />Solo resta explicar por que se construyo asi el $ABCD$; es claro que $BCD$ es isoceles de angulo basal $50$, por lo que $\angle CAB=\angle ABD=\angle BCD=80$, para cumplir $ABD=80$ podemos ubicar A en una de dos semirectas; una en cada semiplano determinado por BD. Pero si $A$ y $C$ estan en dos semiplanos distintos, los angulos en $A$ y $B$ del $ABC$ seran respectivamente 80, 130, lo que es absurdo. Asi, la unica construccion posible es con $A$ y $C$ en el mismo semiplano segun $BD.$ <br />\\<br />Respuesta: Por (1), $AD$ y $BC$ son perpendiculares<br />$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 20 2006, 07:12 PM Publicado: #59
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	Todos los ángulos expresados estarán en grados, aunque no tengan el º. Primero, usando la propiedad de que "la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180 grados", se llega a esta situación: (la figura no está necesariamente a escala). screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img214.imageshack.us/img214/4986/2010st2.png');}" /> Y ahora... como todos ya se lo esperaban, construimos un plano cartesiano con origen en $TEX: $C$$ y de tal manera que $TEX: $\overline{CD}$$ esté elevado en un ángulo de $TEX: $50$$ grados con respecto al eje $TEX: $x$$ , y luego $TEX: $\overline{CB}$$ y $TEX: $\overline{CA}$$ estén $TEX: $30$$ y $TEX: $100$$ grados bajo el mismo eje, respectivamente. Ahora se gradúan los ejes de tal manera que $TEX: $\overline{CD}=1$$ , como $TEX: $\triangle{CDB}$$ es isósceles de base $TEX: $\overline{DB}$$ , también $TEX: $\overline{CB}=1$$ . Entonces as coordenadas de $TEX: $D$$ son $TEX: $(\cos{50},\sin{50})$$ y las de $TEX: $B$$ son $TEX: $(\cos{30},-\sin{30})$$ Y como $TEX: $\angle{ABC}=30$$ , $TEX: $\overline{AB}$$ es paralela al eje $TEX: $x$$ (ángulos entre paralelas), y la ordenada de $TEX: $A$$ es $TEX: $-\sin{30}$$ . Pero $TEX: $\overline{CA}$$ es parte de una recta de pendiente $TEX: $\tan{-100}=\dfrac{-\sin{100}}{\cos{100}}=\dfrac{\sin{80}}{\cos{80}}$$ , por ecuación punto pendiente la abscisa $TEX: $x_A$$ de $TEX: $A$$ satisface $TEX: $\dfrac{-\sin{30}-0}{x_A-0}=\dfrac{\sin{80}}{\cos{80}}$$ , de donde $TEX: $x_A=-\dfrac{\sin{30}\cos{80}}{\sin{80}}$$ Los segmentos que se quieren estudiar son representados por los vectores $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \overrightarrow {AD} = \left( {\cos 50 + \frac{{\sin 30\cos 80}}<br />{{\sin 80}},\sin 50 + \sin 30} \right) \hfill \\<br /> \overrightarrow {CB} = \left( {\cos 30, - \sin 30} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Y su producto punto cumple $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CB} &= \cos 30\cos 50 + \sin 30\cos 30\frac{{\cos 80}}<br />{{\sin 80}} - \sin 30\sin 50 - \sin ^2 30 \\<br /> \therefore \sin 80 \cdot \left( {\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CB} } \right) &= \sin 80\left( {\cos 30\cos 50 - \sin 30\sin 50} \right) + \sin 30\left( {\cos 30\cos 80 - \sin 30\sin 80} \right) \\<br /> &= \sin 80\cos 80 + \sin 30\cos 110 \\<br /> &= \frac{{\sin 160}}<br />{2} + \sin 30\left( { - \cos 70} \right) \\<br /> &= \frac{{\sin 20}}<br />{2} - \sin 30\sin 20 \\<br /> &= \sin 20\left( {\frac{1}<br />{2} - \sin 30} \right)\\<br /> &= 0 <br />\end{aligned} <br />\end{equation}$ recordando que $TEX: $\sin{x}=\sin{(180-x)},\ \cos{x}=-\cos{(180-x)},\ \sin{x}=\cos{(90-x)}$$ , para todo $TEX: $x$$ . Y como $TEX: $\sin{80}\neq 0$$ , los vectores, y por ende las diagonales, son perpendiculares. Entonces, como respuesta, sí, es verdad. Saludos -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

Cesarator	Oct 20 2006, 08:04 PM Publicado: #60
Invitado	$TEX: <br />{\bf Problema 14}. Sea $X=\{1,2,3,\dots, 2001\}$. Encontrar el menor entero positivo $n$ tal que para todo subconjunto de $n$ elementos $W$ de $X$, existen dos elementos $p,q\in W$ (puede tomarse $p=q$) con $p+q=2^k$ para alg\'un entero positivo $k$<br />$

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