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1ª Killer Maraton, Solo para valientes

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Cesarator	Aug 24 2006, 10:17 PM Publicado: #31
Invitado	$TEX: <br />{\bf Problema 10}. Sean $p,q,r,s$ enteros positivos. Demostrar que<br />\[<br />(p-q)(p-r)(p-s)(q-r)(q-s)(r-s)<br />\]<br />es divisible por 12.<br />$

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 24 2006, 10:30 PM Publicado: #32
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	Sea $TEX: $P=(p-q)(p-r)(p-s)(q-r)(q-s)(r-s)$$ Notamos que, como hay cuatro números, debe haber dos de ellos pertenecientes a la misma clase de equivalencia módulo 3. Luego la diferencia entre ellos es uno de los factores de $TEX: $P$$ , porque las 6 diferencias posibles entre pares de entre los 4 números son factores de $TEX: $P$$ , y $TEX: $P$$ es entonces divisible por 3. Ahora también sabemos que hay dos de ellos (sean $TEX: $p$$ y $TEX: $q$$ , sin pérdida de generalidad) que pertenecen a una misma clase de equivalencia módulo 2, luego $TEX: $p-q$$ es divisible por 2. Distinguimos dos casos: 1) Alguno de los números restantes (sin pérdida de generalidad, $TEX: $r$$ ) también pertenece a la misma clase de equivalencia módulo 2 que $TEX: $p$$ y $TEX: $q$$ . Entonces $TEX: $p-r$$ también es divisible por 2, y $TEX: $P$$ es múltiplo de 4. 2) Ninguno de los números restantes ( $TEX: $r$$ y $TEX: $s$$ ) pertenece a la clase de equivalencia módulo 2 de $TEX: $p$$ y $TEX: $q$$ , pero como sólo hay dos clases de equivalencia módulo 2, pertenecen a una misma, y $TEX: $r-s$$ es divisible por 2. Entonces $TEX: $P$$ también es divisible por 4. En cualquiera de los 2 casos, $TEX: $P$$ resulta divisible por 4. Como ya se había mostrado su divisibilidad por 3, y cuatro y tres son primos entre sí, $TEX: $P$$ resulta divisible por 12. -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

Cesarator	Aug 28 2006, 02:19 PM Publicado: #33
Invitado	$TEX: <br />{\bf Problema 11}. Encontrar todas las soluciones reales de la ecuaci\'on<br />\[<br />2^x + 3^x+6^x = x^2<br /> \]<br />$

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2006, 03:02 PM Publicado: #34
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Aug 28 2006, 03:19 PM) $TEX: <br />{\bf Problema 11}. Encontrar todas las soluciones reales de la ecuaci\'on<br />\[<br />2^x + 3^x+6^x = x^2<br /> \]<br />$ $TEX: \noindent<br />Tomemos las funciones\\<br />$f(x)=2^x+3^x+6^x\\<br />g(x)=x^2$\\<br />Observemos que\\<br />$\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)=0\\<br />\lim_{x\rightarrow-\infty} g(x)=\infty\\<br />f(0)=3\\<br />g(0)=0$\\<br />Ahora, como en los negativos f es estrictamente creciente y g es estrictamente decreciente y ambas son continuas (exponencial y polinomio) habra una unica solucion negativa. Sin mucho esfuerzo se comprueba que $x=-1$ satisface la ecuacion. Por otro lado\\<br />f(1)-f(0)=8\\<br />g(1)-g(0)=1\\<br />y como f es creciente, g es convexa y creciente, al final de [0,1] la diferencia f-g diverge, a demas\\ <br />$g(x)\le x<f(0)\le f(x)$ para x en [0,1]\\<br />asi que tampoco hay soluciones en ese intervalo critico\\<br />como la exponencial crece mas rapido que un polinomio, no habran soluciones positivas luego de este intervalo.\\<br />La unica solucion real sera entonces x=-1<br />$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Cesarator	Aug 28 2006, 05:17 PM Publicado: #35
Invitado	mmm, no puedo dar por resuelto el P11. El calculo es una potente herramienta, pero a la hora de justificar las respuestas suele ponerse "chúcaro".

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2006, 05:17 PM Publicado: #36
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Si $x\ge0 \Rightarrow 3^x>2^x>x\ge0$; luego $2^x\cdot3^x=6^x>x^2$, por lo que deducimos que $x \in R^-$$ $TEX: Ahora diremos que $x =-y$; $y \in R^+$, tal que:$ $TEX: $$(\frac{1}{3})^y+(\frac{1}{2})^y+(\frac{1}{6})^y=y^2$$$ $TEX: $$\frac{2^y+3^y+1}{6^y}=y^2$$$ $TEX: $1=6^y\cdot y^2-2^y-3^y$$ $TEX: Si $y\neq1$:$ $TEX: $6^y\cdot y^2-2^y-3^y=1\neq 6-2-3=1$$ $TEX: $\rightarrow\leftarrow$$ $TEX: Entonces $y=1 \Rightarrow x=-1$, es la unica solucion$ Saludos

Cesarator	Aug 28 2006, 05:22 PM Publicado: #37
Invitado	... lo mismo. Correcta pero NO. Me conformo con ver una demostración que $TEX: <br />$2^x >x$<br />$ para x adecuado.

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2006, 05:36 PM Publicado: #38
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Aug 28 2006, 06:22 PM) ... lo mismo. Correcta pero NO. Me conformo con ver una demostración que $TEX: <br />$2^x >x$<br />$ para x adecuado. $TEX: si $x$ es natural:$ $TEX: $2^1>1$$ $TEX: Suponiendo que se cumpla para todos hasta $n$$ $TEX: $2^{n+1}=2\cdot 2^n>2n\ge n+1$$ $TEX: si $x \in$ ]0,1[ $x=\frac{y}{z}$, donde $z>y$, y $z,y \in N$:$ $TEX: $z^z>y^z$$ $TEX: $1>(\frac{y}{z})^z$$ $TEX: $2^y>1>(\frac{y}{z})^z$$ $TEX: $2^{\frac{y}{z}}>(\frac{y}{z})$$ $TEX: Y para el resto de los racionales, son sumas de enteros no negativos con racionales entre 0 y 1$ $TEX: para cualquier $\frac{y}{z}$ entre 0 y 1:$ $TEX: $2^{\frac{y}{z}}>(\frac{y}{z})$$ $TEX: Suponiendo que se cumple:$ $TEX: $2^{a+\frac{y}{z}}>a+\frac{y}{z}$$ $TEX: Luego:$ $TEX: $2^{a+1+\frac{y}{z}}=2\cdot 2^{a+\frac{y}{z}}>2(a+\frac{y}{z})>a+1+\frac{y}{z}$$

Cesarator	Aug 28 2006, 06:10 PM Publicado: #39
Invitado	$TEX: <br />{\bf Problema 12}. Sean $p_1, ..., p_k$ n\'umeros enteros, con $k$ un entero positivo, y sean $a_1,...,a_k$ n\'umeros reales. Demostrar que si la suma<br />\[<br />a_1 p_1^i + ... + a_kp_k^i<br />\]<br />es un n\'umero entero para todo $0\le i <k$, $i\in Z$entonces<br />\[<br />a_1 p_1^k + ... + a_kp_k^k<br />\]<br />tambi\'en es un entero.<br />$ Mensaje modificado por Cesarator el Aug 30 2006, 09:52 PM

Ivan Acrata Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 30 2006, 09:39 PM Publicado: #40
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 32 Registrado: 30-April 06 Desde: Puente Asko! Miembro Nº: 997 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Para i...., pertenece a algún conjunto en especial? -------------------- SE HACEN ESTAMPADOS... CUALQUIER CONSULTA MANDAR MENSAJE

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