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1ª Killer Maraton, Solo para valientes

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2006, 04:26 PM Publicado: #21
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Recordemos que la paridad solo da cupo a dos opciones, ya sea que el numero sea Impar, o sea par. Ahora el jugador A sera el que parta y seguira alternadamente, al suceder esto el jugador A siempre manejara los numeros impares (empieza con el 1, sigue con el tres y asi sucesivamte hasta el 99) Existen 2 opciones: que el resultado dejado por B sea impar o Par Ahora si A quiere sea par el numero simplemente sigue las reglas de la paridad ya sea: $TEX: $I$$\pm$$I=P$$ o $TEX: $I$$\cdot$$I=I$$ o viciversa $TEX: $P$$\pm$I=I$ o $TEX: $P$$\cdot$$I=P$$ Como no existen restricciones al usar los signos A "dominaria" el juego en cuanto a paridad. esperemos q te bueno -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2006, 05:29 PM Publicado: #22
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent Para el caso, como lo que nos interesa es la paridad del resultado, es lo mismo si tenemos la secuencia\\<br />$1,0,1,0,...,1,0$\\<br />con 50 unos y 50 ceros.\\<br />Supongamos que A desea que el resultado final sea par.\\<br />pone un $x$ luego del primer 1\\<br />$1x0,1,0,...,1,0$\\<br />y por prioridad de la multiplicacion obtenemos la secuencia\\<br />$0,1,0,..,1,0$ (i)\\<br />con 50 pares y 49 impares. Ahora A debe hacer lo siguiente; sin importar que signo ponga B, A debe poner un signo x al otro lado del impar contiguo al ultimo signo puesto por B, que siempre se puede hacer porque hay mas pares que impares y cada 1 esta entre dos ceros. Entonces cada impar quedara multiplicado por al menos un par y el resultado sera par.\\<br />Para ver esto ultimo mas claro, notemos que si en un segmento $0,1,0$ B pone un signo cualquiera que denotaermos $\cdot$, A obtendria $0\cdot 1x0$ donde despues del ultimo cero bien podria venir un +,- o x pero en cualquier caso el 1 quedara multiplicado por un par.\\<br />\\<br />Supongamos ahora que A desea obtener resultado impar, entonces luego del primer 1 pondra un signo + obteniendo\\<br />$1+0,1,0,1,...,1,0$\\<br />donde la secuencia que esta despues del signo +, por el argumento que sigue de (i) sabemos que A puede controlar para hacer que de par llegando a una suma de la forma 1+0 que dara impar. <br />$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Ivan Acrata Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2006, 09:31 PM Publicado: #23
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 32 Registrado: 30-April 06 Desde: Puente Asko! Miembro Nº: 997 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Veamos el caso de 100 números consecutivos $TEX: \[<br />n,(n + 1),(n + 2)...(n +99) / n \equiv 1(\bmod 2)<br />\]$ Si tenemos 2 jugadores: tenemos en total, 99 espacios para colocar los signos $TEX: \[<br />\left( { \pm , \times } \right)<br />\]$ , respectivamente. Si parte (A), Quien coloca el último sigo también es (A). Debemos dejar en claro que, por el enunciado, cualquier jugador pude poner un signo donde desee, y no necesariamente en orden; sin embargo, para tratar de anular las jugadas del otro jugador, lo más conveniente es poner de forma ordenada, para conseguirlo opuesto de lo deseado por el contrincante Veamos el Caso 1: Si (A) desea que $TEX: <br />\[<br />S \equiv 1(\bmod 2)<br />\]$ (A), parte realizando su jugada, de tal forma de obtener un impar seguro, el cual será $TEX: <br />\[<br />n \pm (n + 1)<br />\]$ , ya que n es impar y no se puede aplicar ninguna otra operación anterior a él Pero (B), para tratar de anular su jugada, puede poner $TEX: <br />\[<br />n \pm (n + 1) \pm (n + 2)<br />\]$ , obteniendo hasta el momento un par… Sin embargo (A), puede poner $TEX: <br />\[<br />n \pm (n + 1) \pm (n + 2) \times (n + 3)<br />\]$ , ya que $TEX: <br />\[<br />(n + 2) \times (n + 3) = P \Rightarrow I \pm P \pm P = I<br />\]$ Obteniendo su imparidad deseada y quedando 96 casillas Considerando que (A), es quien realice la última jugada, puede discernir que signo pondrá en la última casilla disponible, y si ya tiene un nª Impar seguro; tiene que elegir que operación realizará, dependiendo si el otro factor es par o impar, tendiendo 2 opciones: $TEX: <br />\[<br />I \pm P = I,I \times I = I<br />\]$ Sin embargo, como no puede realizar de forma inmediata una multiplicación, basta con seguir sus jugadas multiplicando, ya que tendrá un valor par en las multiplicaciones de dos numeros consecutivos, ya que al sumar pares con un Impar, obtendrá un resultado IMPAR Caso 2, Si (A) desea que $TEX: <br />\[<br />S \equiv 0(\bmod 2)<br />\]$ Si (A) parte, puede asegurar su paridad simplemente colocando $TEX: % <br />\[<br />n \times (n + 1)<br />\]$ , ya que este da por resultado un número par Considerando que (A), es quien realice la última jugada, puede discernir que signo pondrá en la última casilla disponible, y si ya tiene un nª Impar seguro; tiene que elegir que operación realizará, dependiendo si el otro factor es par o impar, tendiendo 3 opciones: $TEX: <br />\[<br />P \pm P = P,P \times I = P,P \times I=P<br />\]$ Sin embargo, como no puede realizar de forma inmediata una multiplicación, basta con seguir sus jugadas multiplicando, ya que tendrá un valor par en las multiplicaciones de dos numeros consecutivos, así obtendrá unicamente números pares, y al Multiplicarlos, sumarlos o restarlos, obtendrá un RESULTADO PAR Como $TEX: <br />\[<br />1 \equiv 1(\bmod 2) \Rightarrow 1 \in n<br />\]$ , Se pueden aplicar las propiedades explicitadas, quedando demostrado para este caso. -------------------- SE HACEN ESTAMPADOS... CUALQUIER CONSULTA MANDAR MENSAJE

Cesarator	Aug 20 2006, 10:34 PM Publicado: #24
Invitado	$TEX: \noindent <br />{\bf Problema 7}. Determinar todas las funciones $f: I\!\!R \to I\!\! R$ tales que<br />\[<br />f(xf(x)+f(y)) = (f(x))^2 +y,<br />\]<br />para cada $x,y \in I\!\! R$.<br />$

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2006, 11:11 PM Publicado: #25
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	Primero notamos que, para un $TEX: $x\in\mathbb{R}$$ fijo, tomamos $TEX: $y=-(f(x))^2$$ , y la expresión $TEX: $xf(x)+f(y)\in\mathbb{R}$$ es un cero de la función $TEX: $f$$ . Ahora vemos que, si $TEX: $k$$ es un cero de $TEX: $f$$ , haciendo $TEX: $x=y=k$$ obtenemos $TEX: $f(0)=f(kf(k)+f(k))=(f(k))^2+k=0+k=k$$ , o sea $TEX: $f$$ tiene un único cero en $TEX: $\mathbb{R}$$ , de lo contrario $TEX: $0$$ tendría dos imágenes. Haciendo $TEX: $x=0$$ , $TEX: $y=k$$ , se tiene $TEX: $f(0)=f(0f(0)+f(k))=(f(0))^2+k=(f(0))^2+f(0)\Rightarrow (f(0))^2=0$$ Luego $TEX: $f(0)=0$$ , y es el único cero de la función. Ahora tomando $TEX: $x=0$$ , $TEX: $y=a\in\mathbb{R}$$ , y haciendo $TEX: $f(a)=b\in\mathbb{R}$$ , $TEX: $f(b)=f(f(a))=f(0f(0)+f(a))=(f(0))^2+a=a$$ Luego $TEX: $f(a)=b\Rightarrow f(b)=a$$ , y análogamente $TEX: $f(b)=a\Rightarrow f(a)=b$$ Haciendo $TEX: $x=a$$ , $TEX: $y=0$$ , $TEX: $f(ab)=f(af(a)+f(0))=(f(a))^2+0=b^2$$ Y haciendo $TEX: $x=b$$ , $TEX: $y=0$$ , $TEX: $f(ab)=f(bf(b)+f(0))=(f(b))^2=a^2$$ De donde se concluye que $TEX: $a^2=b^2=(f(a))^2$$ Luego las funciones posibles son $TEX: $f(a)=a$$ y $TEX: $f(a)=-a$$ -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

Cesarator	Aug 22 2006, 11:16 AM Publicado: #26
Invitado	$TEX: <br />{\bf Problema 8}. Sea $n>1$ un entero. Demostrar que el polinomio <br />\[<br />x^n+5x^{n-1}+3<br />\]<br />no puede factorizarse como un producto de 2 polinomios de grado mayor o igual a 1 y coeficientes enteros.<br />$

Ivan Acrata Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 22 2006, 11:29 PM Publicado: #27
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 32 Registrado: 30-April 06 Desde: Puente Asko! Miembro Nº: 997 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sea ( $TEX: \[ \alpha ,\beta \]$ ) los polinomios de factor mayor o igual a uno, tal que que $TEX: \[ \left( \alpha \right)\left( \beta \right) = x^n + 5^{n - 1} + 3 \]$ Si únicamente tiene coeficientes enteros; los términos que tengan factor cero, tienen que obtener por multiplicación un 3; estos enteros son: $TEX: \[ \left( {3,1} \right) \vee ( - 3, - 1) \]$ Sea $TEX: \[ \left( {r,s} \right) \]$ ,tal que $TEX: \[ \alpha _1 = (r + 1),\alpha _2 = (r - 1), \beta _1 = (s + 3),\beta _2 = (s - 3) \Rightarrow \alpha _1 \beta _1 = \alpha _2 \beta _2 = x^n + 5^{n - 1} + 3 \]$ De esto último obtenemos $TEX: \[ (r + 1)(s + 3) = rs + 3r + s + 3 \]$ $TEX: \[ (r - 1)(s - 1) = rs - 3r - s + 3 \]$ Si el polinomio inicial tiene 3 términos, necesariamente tienen el mismo exponente para efectuar la suma correspondiente; la cual debería tener por resultado $TEX: \[ (3r + s) \vee ( - (3r + s)) = 5x^{n - 1}\]$ Además si $TEX: \[ \left( {r,s} \right) \]$ tiene el mismo exponente, la multiplicación de éstos tiene por resultado el doble del exponente De esto se obtiene $TEX: \[ n = 2(n - 1), \Rightarrow n = 2 \]$ Si tenemos que el exponente es igual a dos, tenemos que factorizar el polinomio $TEX: \[ x^2 + 5x + 3 \]$ Si $TEX: \[ rs = x^2 \]$ y únicamente podemos utilizar coeficientes enteros, tenemos que $TEX: \[ r_1 = (x) \vee r_2 = ( - x),s_1 = (x) \vee s_2 = ( - x) \]$ Obteniendo así los siguientes polinomios con coeficientes enteros $TEX: \[ (x + 1)(x + 3) = S_1 \]$ $TEX: \[ (1 - x)(3 - x) = S_2 \]$ Pero $TEX: \[ S_{1,2} \ne x^2 + 5x + 3 \]$ Por lo tanto, por contradicción, queda demostrado -------------------- SE HACEN ESTAMPADOS... CUALQUIER CONSULTA MANDAR MENSAJE

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 22 2006, 11:31 PM Publicado: #28
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Aug 22 2006, 12:16 PM) $TEX: <br />{\bf Problema 8}. Sea $n>1$ un entero. Demostrar que el polinomio <br />\[<br />x^n+5x^{n-1}+3<br />\]<br />no puede factorizarse como un producto de 2 polinomios de grado mayor o igual a 1 y coeficientes enteros.<br />$ $TEX: \noindent<br /><br />Llamemos $P(x)$ al polinomio del enunciado. Procederemos por Contradiccion.\\<br />Suponga que para algunos naturales $r,s: r+s=n$ y para enteros $a_i,b_j$ tenemos\\<br />$P(x)=(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_rx^r)(b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_sx^s)$\\<br />como $a_0b_0=3$, se tendra que uno y solo uno de ellos es divisible por 3. Digamos $b_0=3u$ con $u=\pm1$ entonces $a_0=u$. Tenemos\\<br />$P(x)=(u+a_1x+a_2x^2+...+a_rx^r)(3u+b_1x+b_2x^2+...+b_sx^s)$\\<br />Sabemos que 3 no es un factor de $P(x)$ asi que alguno de los $b_i$ no es divisible por 3. Digamos que el primero de los $b_i$ que no es divisible en 3 es $b_k$ entonces el coeficiente de $x^k$ en $P(x)$ sera\\<br />$c_k=ub_k+a_1b_{k-1}+a_2b_{k-2}+...+a_k\cdot 3u$\\<br />De los cuales el unico sumando que no es divisible en 3 es $ub_k$ mientras que todos los demas si son divisibles en 3, luego, $c_k$ no es divisible en 3 (notar que todos los demas $b_i$ de la suma son divisibles en tres porque $b_k$ era el primero que no). Luego, la menor potencia de $x$ en $P(x)$ cuyo coeficiente no es divisible en 3 es $x^k$, pero recordemos que\\<br />$P(x)=x^n+5x^{n-1}+3$\\<br />Asi que $k=n-1$ y el polinomio $(b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_sx^s)$ es a lo menos de grado $n-1$. Esto significa que el polinomio $(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_rx^r)$ es a lo mas de grado $1$ pero por hipotesis esto es el grado minimo que puede tener, luego, $P(x)=A(x)B(x)$ donde los polinomios $A(x)$ y $B(x)$ tienen respectivamente grados $1$ y $n-1$. \\<br />Luego, $A(x)=px-q$ para ciertos enteros $p,q$ pero como en $P(x)$ el coeficiente de $x^n$ es $1$ se tiene $p=1$ y entonces $A(x)=x-q$, donde concluimos que $q$ es una solucion de la ecuacion $P(x)=0$. \\<br />Resolvamos $P(x)=0$\\<br />$x^n+5x^{n-1}=-3$$ $TEX: \noindent<br />como son enteros, el lado izquierdo debe ser divisible en 3 y $x$ debe ser de la forma $3z$ con $z$ entero\\<br />$3^{n-1}[3z^n+5z^{n-1}]=-3\\<br />\Rightarrow 3^{n-2}[3z^n+5z^{n-1}]=-1$\\<br />y la unica forma es que lo que este entre corchetes sea $-1$ y $3^{n-2}=1$ claramente esto ultimo se cumple solo para $n=2$ que facilmente vemos nos lleva a una contradiccion porque en primer lugar no se cumple para todos los polinomios de la forma dada, y en segundo porque el unico polinomio que deberia cumplirlo (n=2) se factoriza asi $x^2+5x+3=(x-x_1)(x-x_2)$ donde\\<br /> $\displaystyle x_{1,2}=-\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}$\\<br /> o sea, aunque es producto de polinomios de grado mayor o igual que 1, no todos los coeficientes son enteros. \\<br />La contradiccion prueba lo pedido.<br />$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Cesarator	Aug 24 2006, 09:08 PM Publicado: #29
Invitado	Perdon por el abandono, ya vendran tiempos con mas disponibilidad, pero clases, entrenamientos, premiacion cemat 8 region, olimpiadas, etc, muucho! ya sera todo revisado y adjudicados vuestros puntajes, por ahora, me limito a ver rapidamente si las soluciones posteadas estan mas o menos correctas y seguir dando problemas de diversas fuentes, que ya se especificaran tambien. $TEX: <br />{\bf Problema 9} Demostrar que todo n\'umero entero positivo puede escribirse como una suma de uno o m\'as n\'umeros de la forma $2^r 3^s$, donde $r$ y $s$ son enteros no negativos y ninguno de los sumandos divide a otro. Por ejemplo, $23 = 9 + 8 + 6$.<br />$

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 24 2006, 10:02 PM Publicado: #30
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	Se llamará descomposición válida de x a una conjunto de sumandos que, cumpliendo las propiedades enunciadas, dé como resultado x. Primero notamos que $TEX: $1=2^03^0$$ Sea ahora $TEX: $P(n)$$ la afirmación los números $TEX: $6n-4,\ 6n-3,\dots 6n+1$$ cumplen la propiedad del enunciado del problema. Como $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />2&=2\\<br />3&=3\\<br />4&=4\\<br />5&=2+3\\<br />6&=6\\<br />7&=3+4<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ $TEX: $P(1)$$ es verdadero. Supongamos ahora que, para un $TEX: $n\in\mathbb{N},\ n\ge 1$$ dado, $TEX: $P(1),\dots P(n)$$ son verdaderos. Entonces: $TEX: $6(n+1)-4=2(3(n+1)-2)$$ , como $TEX: $3(n+1)-2<6(n+1)-4$$ , puede ser descompuesto de la forma pedida, y multiplicar todos los sumandos requeridos por dos no hará que ninguno se haga múltiplo de otro, luego sigue siendo válida la descomposición de $TEX: $6(n+1)-4$$ . $TEX: $6(n+1)-3=3(2(n+1)-1)$$ , como $TEX: $2(n+1)-1<6(n+1)-4$$ , al igual que en el párrafo anterior puede ser decompuesto válidamente. $TEX: $6(n+1)-2=2(3(n+1)-1)$$ , al igual que en los dos anteriores se prueba que tiene descomposición válida. $TEX: $6(n+1)-1$$ . Para algún $TEX: $k\in\mathbb{N},\ k>1$$ , se tiene $TEX: $3^k<6(n+1)-1<3^{k+1}$$ $TEX: $\Rightarrow 0<6(n+1)-1-3^k<2\cdot 3^k\Rightarrow 0<\dfrac{6(n+1)-1-3^k}{2}<3^k$$ Pero $TEX: $6(n+1)-1-3^k$$ es par, luego $TEX: $\dfrac{6(n+1)-1-3^k}{2}$$ es entero y menor que $TEX: $6(n+1)-4$$ . Entonces tiene una descomposición como la pedida, y obviamente ninguno de sus sumandos es múltiplo de $TEX: $3^k$$ . Multiplicando todos estos sumandos por 2 se obtiene una descomposición válida de $TEX: $6(n+1)-1-3^k$$ , donde todos los sumandos son pares y ninguno es múltiplo de $TEX: $3^k$$ . Entonces al agregarle el sumando $TEX: $3^k$$ se obtiene una descomposición válida de $TEX: $6(n+1)-1$$ . $TEX: $6(n+1)$$ , como $TEX: $n+1<6(n+1)-4$$ tiene descomposición válida, usando el mismo argumento que para $TEX: $6(n+1)-4$$ se concluye que $TEX: $6(n+1)$$ también la tiene. $TEX: $6(n+1)+1$$ , análogamente al caso de $TEX: $6(n+1)-1$$ , se encuentra una descomposición válida de $TEX: $6(n+1)+1-3^k$$ y se le suma $TEX: $3^k$$ , y seguirá siendo válida. En consecuencia, $TEX: $P(n+1)$$ es verdadero. Y, por inducción y el primer caso mostrado (para el uno), todos los números enteros positivos tienen descomposiciones válidas. Mensaje modificado por †Alucard† el Aug 24 2006, 10:04 PM -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

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