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1ª Killer Maraton, Solo para valientes

Cesarator	Aug 19 2006, 10:51 PM Publicado: #11
Invitado	nop, a veces el apuro nos hace equivocarnos en cosas elementales...

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2006, 11:21 PM Publicado: #12
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Creo que me precipité demasiado.... $TEX: $\boxed{\mathcal{S}_{P4}}$$ Pintemos el tablero como sigue, de tal forma que los cuadrados rojos de la figura son sólo cuadrados negros del tablero de ajedrez, por lo tanto, al sacar casillas blancas, las negras quedarán intactas, y las rojas también. screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img201.imageshack.us/img201/3188/tableritoci1.png');}" /> Vemos que una figura de la forma del problema, sólo cubre una casilla roja , porque es imposible que cubra dos, por lo tanto, en caso de cubrir el casillero, debemos cubrir todas las piezas rojas. Como son 25 casillas rojas, se necesitarán 25 figuras para cubrir todas las casillas rojas. Como el problema nos dice que son 24, entonces nos quedará una casilla roja sin cubrir, luego no es posible cubrir el casillero. Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2006, 03:22 AM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Aug 12 2006, 10:47 PM) $TEX: <br />{\bf Problema 1}. Sean $x,y,z>0$ tales que $\displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} =1$. Demostrar la desigualdad<br />\[<br />\frac{xy}{xy-1} + \frac{yz}{yz-1} + \frac{zx}{zx-1} \le \frac{9}{2}.<br />\]<br />$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img209.imageshack.us/img209/845/problema1kn9.png');}" /> Como la sorpresa de la mañana fue que ya se habia resuelto por Schur, me vi obligado a ver por otro lado... $TEX: \noindent<br />Se trabajara en grados.\\<br />Tomando $(a,b,c)=(x^{-1},y^{-1},z^{-1})$ y por algebra llegamos a la desigualdad equivalente\\<br />$\displaystyle \sum_{cic}\frac{1}{1-ab}\le \frac{9}{2}$ con $a^2+b^2+c^2=1$ (1)\\<br />\\<br />Intentaremos demostrar que el maximo de la expresion del lado izquierdo ocurre cuando $a=b=c$ para luego evaluarla en ese caso.\\<br />Primero, se demostrara que fija una de las variables, el maximo de la expresion ocurre cuando las otras dos son iguales. (i)\\<br />\\<br />Definiremos antes algunas cosillas;\\<br />Consideremos el vector unitario $m=(a,b,c)\in \mathbb{R+}^3$ cuyos angulos directores son respectivamente $\alpha , \beta , \gamma$, y como es unitario sus coordenadas tienen el mimo valor que sus cosenos directores.\\<br />Fijando una de las coordenadas, digamos $a$, el angulo director correspondiente $\alpha$ queda fijo, y el lugar geometrico de los afijos de $m$ sera la circunferencia $L$ de centro en $(a,0,0)$ y radio $sen \alpha$, tal que el eje de $a$ es normal al plano de $L$ (ver imagen). \\<br />Sean $u,v,w$ los vectores que van desde $(a,0,0)$ hasta $(a,b,c), (a,b,0), (a,0,c)$ respectivamente, y $e$ el vector que es radio de L y a la vez bisectriz interna del angulo entre $v$ y $w$ (ver imagen de nuevo)\\<br />Por simetria de las variables, diremos sin perdida de generalidad que $u$ esta entre $e$ y $w$.\\<br />Definimos $t$ como el angulo entre $e$ y $u$. Notemos que para probar (i) bastaria demostrar que el maximo de la expresion se alcanza para $t=0$\\<br />$ $TEX: \noindent<br />Ahora la demostracion;<br />Por todo lo anterior\\<br />$b=\|v\|=A\cos(45+t)\\<br />c=\|w\|=A\cos(45-t)$\\<br />donde $A=sen\alpha$\\<br />Ahora tenemos\\<br />$\displaystyle <br />\sum_{cic}\frac{1}{1-ab}=\\<br />\frac{1}{1-A^2cos(45+t)}+\frac{1}{1-A^2cos(45-t)}+<br />\frac{1}{1-A^2cos(45-t)cos(45-t)}$\\<br />Por las formulas trigonometricas de suma y diferencia de angulos tenemos que\\<br />$\displaystyle<br />\sqrt{2}cos(45-t)=cos(t)+sen(t)\\<br />\sqrt{2}cos(45+t)=cos(t)-sen(t)\\<br />2cos(45-t)cos(45+t)=cos(2t)$\\<br />Fijando ahora $k: kA^2=\sqrt{2}$ y usando lo anterior\\<br />$\displaystyle <br />\frac{1}{k}\sum_{cic}\frac{1}{1-ab}=\\<br />\frac{1}{k-[cos(t)-sen(t)]}+\frac{1}{k-[cos(t)+sen(t)]}+<br />\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}k-cos(2t)}$\\<br />Sabemos por hipotesis que $0\le t\le 45$ asi que podemos considerar los senos y cosenos positivos. Es mas, si definimos $p=sen (t)$ tendremos que $0\le p\le \frac{1}{\sqrt{2}}$ y si recordamos que $cos(2t)=1-2sen^2(t)$ obtendremos al sustituir\\<br />$\displaystyle <br />\frac{1}{k}\sum_{cic}\frac{1}{1-ab}=\\<br />\frac{1}{k+p-\sqrt{1-p^2}}+\frac{1}{k-p-\sqrt{1-p^2}}+<br />\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}k-1+2p^2}$\\<br />Llamemos $f(p)$ a la expresion anterior (no olvidemos que $k$ esta fijo, para el caso es una constante).$ $TEX: \noindent<br />$f(p)$ es una funcion racional sin singularidades para $p\in[0,\frac{1}{\sqrt{2}}]$ porque\\<br />$kA^2=\sqrt{2}\Rightarrow k=\frac{\sqrt{2}}{sen^2\alpha}>\sqrt{2}$\\<br />$k>\sqrt{2}\ge sen(t)+cos(t)=p+\sqrt{1-p^2}\ge -p+\sqrt{1-p^2}$<br />por test de la primera derivada para hayar el maximo. De aqui se deduce la no-singularidad de la primera y segunda fraccion en $f(p)$. El denominador de la tercera fraccion es claro que no se anula porque $\sqrt{2}k>2$.\\<br />Asi que $f(p)$ es continua para $p\in[0,\frac{1}{\sqrt{2}}]$.\\<br />Se tiene\\<br />$\displaystyle <br />f'(p)=\\<br />-\frac{\sqrt{1-p^2}+p}{\sqrt{1-p^2}(\sqrt{1-p^2}-p-k)^2}+<br />\frac{\sqrt{1-p^2}-p}{\sqrt{1-p^2}(\sqrt{1-p^2}+p-k)^2}-<br />\frac{4\sqrt{2}p}{(\sqrt{2}k-1+2p^2)^2}$\\<br />que es continua porque los factores problematicos de los denominadores son los mismos que mas arriba se probo que no se anulaban.\\<br />Busquemos los $p$ de nuestro dominio para los cuales $f'(p)=0$$ $TEX: \noindent<br />Se debe resolver la ecuacion\\<br />$\displaystyle<br />\frac{\sqrt{1-p^2}+p}{\sqrt{1-p^2}(\sqrt{1-p^2}-p-k)^2}+<br />\frac{4\sqrt{2}p}{(\sqrt{2}k-1+2p^2)^2}=<br />\frac{\sqrt{1-p^2}-p}{\sqrt{1-p^2}(\sqrt{1-p^2}+p-k)^2}$\\<br />Esto parece una abominacion, pero observemos que el segundo termino es no negativo, mas aun, como $0\le p\le \frac{1}{\sqrt{2}}$ se tiene\\<br />$\displaystyle<br />\frac{[\sqrt{1-p^2}]+[p]}{\sqrt{1-p^2}([\sqrt{1-p^2}-k]-[p])^2}\ge<br />\frac{[\sqrt{1-p^2}]-[p]}{\sqrt{1-p^2}([\sqrt{1-p^2}-k]+[p])^2}$\\<br />porque\\<br />$[\sqrt{1-p^2}]+[p]\ge [\sqrt{1-p^2}]-[p]$\\<br />$[\sqrt{1-p^2}-k]-[p]\le [\sqrt{1-p^2}-k]+[p]$\\<br />con igualdad (dentro del dominio) solo cuando $p=0$. Afortunadamente es facil comprobar que $p=0$ es una solucion de la ecuacion, y por las desigualdades anteriores es la unica en el dominio.$ $TEX: \noindent<br />Asi, por la continuidad de $f$ en el intervalo, y porque solo para $p=0$ la derivada de $f$ se anula en este dominio, concluimos que para $p=0$ la funcion o es maxima o es minima (aunque sea punto de inflexion porque esta en el extremo del intervalo donde "vive" $p$). Notemos que $f'(\frac{1}{\sqrt{2}})<0$ porque su segundo termino se anula mientras que los otros dos son claramente negativos. Si $f(0)$ fuese un minimo entonces $f'(x)>0$ para todos los $x\ne 0$ del dominio porque $f'$ es continua y solo se anula en p=0. Esto no ocurre por el contraejemplo ya dado, asi que $f(0)$ es maximo, es decir, el maximo es alcanzado cuando $0=p=sen(t)\Rightarrow t=0$, como se queria probar.\\<br />Por lo tanto, fija una de las variables, el maximo ocurre cuando las otras dos son iguales. De aqui, y por la condicion de $a^2+b^2+c^2=1$, es directo que el maximo del lado izquierdo de (1) ocurre cuando $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$ que sustituyendo da como resultado $\frac{9}{2}$. Esto finaliza la demostracion.<br />$ ----------- Editado: algunas mayusculas por ahi... el post fue hecho como a las 4 de la mañana asi que habia algunos errores de tipeo. Mensaje modificado por Pasten el Aug 20 2006, 11:48 AM -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2006, 11:29 AM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Aug 19 2006, 10:17 PM) $TEX: <br />{\bf Problema 3}. Una escuela b\'asica rural atiende a 20 ni\~nos. Si se toman 2 ni\~nos cualesquiera de entre estos 20, resulta que tienen un abuelo (hombre) en com\'un (<Es un pueblito muy chico!). Demostrar que existe al menos un abuelo (hombre) que tiene 14 o m\'as nietos en la escuela.<br />$ $TEX: \noindent<br />Consideremos una tabla con $20$ filas y tantas columnas como abuelos distintos tienen algun nieto en la escuelita. Claramente un nieto tiene sus dos abuelos distintos. Llamaremos $n_1,n_2,...n_{20}$ a los nietos y analogamente $a_j$ a los abuelos. Marcaremos una $X$ en la casilla $c_{ij}$ si uno de los abuelos del nieto $n_i$ es $a_j$. Claramente se marcaran en total 40 $X$, dos por nieto. Como maximo, tendremos 21 abuelos distintos, cuando alguna columna este completa con $X$ (digamos, la del $a_1$) y las demas columnas tengan solo una $X$, pero este caso no nos sirve porque no habria nada que demostrar. Digamos que algun nieto, por ejemplo $n_1$ no tiene a $a_1$ por abuelo sino a $a_2$ y $a_3$, entonces el abuelo distinto a $a_1$ de cada uno de los demas nietos debe ser $a_2$ o $a_3$ para tener una abuelo comun con $n_1$. Supongamos que otro nieto $n_2$ no tiene a $a_1$ de abuelo, entonces sus dos $X$ deben estar entre $a_2$ y $a_3$ porque de no ser asi, al menos una estara en una de esas dos columnas, digamos $a_2$, y para cumplir la hipotesis de que tiene un abuelo comun con cada uno de los demas nietos, la columna de $a_2$ deberia tener 20 $X$, que es una contradiccion. Analogamente si mas nietos no tienen a $a_1$ de abuelo. Luego, si ninguna columna tiene 20 $X$, habra solo 3 columnas para repartir las 40 $X$, pero $40=3\cdot 13 +1$ asi que al menos una columna tendra como minimo $13+1=14$ del total de $X$, lo que prueba lo pedido.<br /><br />$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2006, 12:20 PM Publicado: #15
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Aug 19 2006, 10:51 PM) $TEX: <br />{\bf Problema 4}. Se remueven 9 cuadrados de entre los 40 cuadrados blancos que contiene un tablero de $9\times 9$ que est\'a pintado como un tablero de ajedrez. Demostrar que es imposible cubrir el tablero resultante usando 24 piezas como las de la figura:<br />$ [attachment=1017:attachment] Se me adelantaron... Bueno, por lo menos puedo usar una figura "parecida" screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img411.imageshack.us/img411/5541/km4oc4.png');}" /> Vemos que, del las 81 casillas del tablero (41 negras y 40 blancas) quedan 72 (41 negras y 31 blancas), como deben ser cubiertas con 24 fichas de 3 casillas cada una, que son: n piezas de la forma N, esto es, formadas por 2 casillas negras con la casilla del vértice blanca; b piezas de la forma B, esto es, formadas por 2 casillas blancas con la casilla del vértice negra. Igualando las cantidades de casillas de cada color $TEX: $2n+b=41$$ (casillas negras) $TEX: $n+2b=31$$ (casillas blancas) llegamos a que se necesitan 17 piezas de la forma N. Miramos ahora mi "original" diagrama, y vemos que tanto las casillas negras como las rojas simbolizan casilleros negros del tablero, que no han sido removidos; y que cada pieza de la forma N debe cubrir exactamente uno de los casilleros rojos y uno de los negros. Pero hay sólo 16 casilleros con puntos negros, luego no se pueden cubrir con las 17 piezas N. En conclusión, es imposible cubrir el tablero de la forma planteada. P.D.: este es el post número 20000!!! -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

Cesarator	Aug 20 2006, 01:33 PM Publicado: #16
Invitado	wow! excelente! no tienen piedad con este pobre anciano y me dan muuucho trabajo. En todo caso, contento de este tipo de trabajo! Ya avanzaremos en la correccion detallada de todas vuestras soluciones, lo que corresponde ahora es el siguiente problema, que sera un "clasico": $TEX: <br />{\bf Problema 5}. Sea $C_n$ el n\'umero de d\'{\i}gitos cero que contiene la escritura decimal del n\'umero $n$ (Por ejemplo, $C_{10}=1$). Calcular el valor de la suma<br />\[<br />2^{C_1} + 2^{C_2} +...+ 2^{C_{9999999999}}.<br />\]<br />$ Error de tipeo corregido Mensaje modificado por Cesarator el Aug 20 2006, 01:43 PM

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2006, 02:47 PM Publicado: #17
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Si $TEX: $c_n$$ contiene n ceros en su escritura decimal, entonces. $TEX: $2^{C_1} + 2^{C_2} +...+ 2^{C_{9999999999}}$$ se puede escribir como $TEX: $2\cdot10^1+2\cdot10^2+...+2\cdot10^{9999999999}$$ Factorizando: $TEX: $2(10^1+10^2+...+10^{9999999999})$$ Vemos que claramente se ha formado una sumatoria de igual base y exponetentes enteros sucesivos. Esta sumatoria (su formula es) $TEX: <br />$\sum{x\frac{{(\mathop x\nolimits^n - 1)}}{{(x - 1)}}} $<br />$ Sea $TEX: $S=x^1+x^2+...+x^n / \cdot x$$ $TEX: $Sx=x^2+x^3+x^4...x^{n+1}$ $/-S$$ $TEX: $Sx-S=x^2+x^3+x^4...x^{n+1}-(x^1+x^2+...x^n)$$ por suma telescopica. $TEX: $S(x-1)=x^{n+1}-x^1$$ $TEX: $S=\dfrac{x(x^n-1)}{x-1}$$ $TEX: $S=$$\sum{x\frac{{(\mathop x\nolimits^n - 1)}}{{(x - 1)}}} $$ Reemplazando los datos tenemos. $TEX: $2\left( {\sum {10\frac{{(\mathop {10}\nolimits^{9999999999} - 1)}}{{(10 - 1)}}} } \right)$$ $TEX: $2\left( {\sum {10\frac{{(\mathop {10}\nolimits^{9999999999} - 1)}}{9}} } \right)$$ -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2006, 02:59 PM Publicado: #18
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA $TEX: $2^{C_1} + 2^{C_2} +...+ 2^{C_{9999999999}}$$ se puede escribir como $TEX: $2\cdot10^1+2\cdot10^2+...+2\cdot10^{9999999999}$$ Porque afirmas esto? Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 20 2006, 03:01 PM Publicado: #19
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	Primero fijemos trabajaremos sólo con los números de una cantidad $TEX: $k\in\mathbb{N}$$ fija de dígitos. Nunca el primer dígito es un cero, luego, para todos los números $TEX: $i$$ de $TEX: $k$$ dígitos, $TEX: $C_i\le k-1$$ Para $TEX: $c\in\mathbb{Z},\ 0\le c<k$$ , la cantidad de números de $TEX: $k$$ dígitos con $TEX: $c$$ ceros es $TEX: $\underbrace{\dfrac{(k-1)!}{c!(k-1-c)!}}_{\text{formas de colocar c ceros en los k-1 d\'igitos finales}}\cdot \underbrace{9^{k-c}}_{\text{formas de colocar d\'igitos del 1 al 9 en los k-c d\'igitos sin ceros}}$$ Luego la suma de todos los $TEX: $2^{C_i}$$ , con $TEX: $i$$ número de $TEX: $k$$ dígitos, es $TEX: \[<br />\sum\limits_{c = 0}^{k - 1} {2^c \left( {\frac{{(k - 1)!}}<br />{{c!(k - 1 - c)!}}9^{k - c} } \right) = 9\sum\limits_{c = 0}^{k - 1} {\frac{{(k - 1)!}}<br />{{c!(k - 1 - c)!}}9^{k - 1 - c} } 2^c = 9\left( {9 + 2} \right)^{k - 1} } <br />\]<br />$ Y la suma buscada, correspondiente a la de todos los números de 1 hasta 10 dígitos, es $TEX: \[<br />\sum\limits_{k = 1}^{10} {9\left( {9 + 2} \right)^{k - 1} = 9 \cdot \frac{{11^{10} - 1}}<br />{{10}}} <br />\]$ -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

Cesarator	Aug 20 2006, 04:12 PM Publicado: #20
Invitado	Bien! el p4 es de una olimpiada internacional que precisare mas adelante, y el P5 es un problema ya clasico de la olimpiada de Hungria, año 1981. Ya se actualizaran los puntajes. Vamos al $TEX: <br />{\bf Problema 6}. Dos jugadores, \'Alvaro (A) y Benito (B) insertan por turnos uno de los s\'{\i}mbolos $+$, $-$ o $\times$ en cualquiera de los espacios dejados entre los n\'umeros del 1 al 100:<br />\[<br />1 \ \ 2 \ \ 3 \ \ 4 \ \ ... \ \ 99 \ \ 100.<br />\]<br />Al terminar y realizar las operaciones, el resultado es un n\'umero $S$. Demostrar que el primer jugador (A) puede hacer que el resultado sea par o impar, seg\'un lo desee (Recordar que las multiplicaciones se realizan antes que las sustracciones y adiciones).<br />$

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