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Examen de Matematicas II, 9 de Diciembre 2008

Bachi-InJ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2008, 06:35 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 554 Registrado: 3-July 08 Desde: ... desde los pastos??? Miembro Nº: 28.965 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\begin{center}<br />\textbf{Examen de Matematicas II \\}<br />Programa de Bachillerato . Universidad de Chile \\<br />9 de Diciembre de 2008 <br />\end{center}<br /><br />\textit{Tiempo: 2 horas.}<br /><br />\section{Considere la curva $y = x^2$, con x $\geq$ 0}<br /><br />\begin{enumerate}<br /> \item[a)] Muestre que el area bajo la curva entre (0,0) y (x,y) es igual a un tercio del area del rectangulo que tiene a esos puntos como vertices opuestos. Es decir, demuestra $\int_{0}^{x}y(t)dt = \frac{1}{3} x \cdot y(x) $<br /> \item[b)] Encuentre todas las curvas diferenciables del primer cuadrante tal que $y(0)=0$ y el area bajo la curva entre (0,0) y (x,y) es igual a un tercio del area del rectangulo que tiene a esos puntos como vertices opuestos.<br />\end{enumerate}<br /> <br /> \section {}<br /> \begin{enumerate}<br /> \item[a)] Muestra un vector director de la recta. $L = \left\{\left(x,y,z \right) / 2x - y + z =0 \ y \ 2x+3y=z \right\}$ y un punto por donde pasa.<br /> \item[b)] Muestra que $L$ es penpendicular al plano $\Pi = \left\{ \lambda (0,-2,1) + \eta (2,3,-1) / \lambda, \eta \ \in \Re \right\}$<br /> \item[c)] Encuentra $L \bigcap \Pi$ <br />\end{enumerate}<br /><br />\section {Resuelve dos de los siguientes problemas:}<br />\begin{enumerate}<br />\item[a)] Calcule la integral $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}}$<br />\item[b)] Calcule la integral $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{2x}}{(e^{2x} +1)(e^x + 2)}$<br />\item[c)] Si $n$ es natural, muestre que $\displaystyle \int_{0}^{1}x^n e^xdx + n \int_{0}^{1} x^{n-1} e^xdx = e$<br />\end{enumerate}<br />\section {}<br />\begin{enumerate}<br />\item[a)] Muestre que si $n \in \aleph$, entonces $sin(\frac{1}{n}) > 0$ <br />\item[b)] Calcule el limite de la sucesion $A_n = \frac{sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}$<br />\item[c)] Muestra que la serie $\sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac{1}{n})$ diverge.<br />\end{enumerate}<br />$ Mensaje modificado por gonzalo182 el Dec 12 2008, 06:37 PM -------------------- Si haces consultas, por lo menos lee las reglas del sitio... Listado de comandos en Latex y de hacer Documentos en Latex Antes de ponerte a estudiar ¿Quieres un rico mate? Prepáralo con Hierba de Gauss

Bachi-InJ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2008, 06:39 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 554 Registrado: 3-July 08 Desde: ... desde los pastos??? Miembro Nº: 28.965 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: 4<br />\begin{enumerate}<br />\item[a)] Muestre que si $n \in \aleph$, entonces $sin(\frac{1}{n}) > 0$ <br />\item[b)] Calcule el limite de la sucesion $A_n = \frac{sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}$<br />\item[c)] Muestra que la serie $\sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac{1}{n})$ diverge.<br />\end{enumerate}<br />$ -------------------- Si haces consultas, por lo menos lee las reglas del sitio... Listado de comandos en Latex y de hacer Documentos en Latex Antes de ponerte a estudiar ¿Quieres un rico mate? Prepáralo con Hierba de Gauss

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2008, 07:09 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(gonzalo182 @ Dec 12 2008, 07:35 PM) $TEX: <br /><br />\begin{enumerate}<br />\item[c)] Si $n$ es natural, muestre que $\displaystyle \int_{0}^{1}x^n e^xdx + n \int_{0}^{1} x^{n-1} e^xdx = e$<br />\end{enumerate}<br /><br />$ $TEX: \[<br /> = \int_0^1 {x^n \left( {e^x } \right)} ^\prime dx + n\int_0^1 {x^{n - 1} e^x dx} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> = \left. {x^n e^x } \right\|_0^1 - n\int_0^1 {x^{n - 1} e^x } dx + n\int_0^1 {x^{n - 1} e^x dx} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> = e<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\blacksquare <br />\]<br />$ -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2008, 07:34 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{{\text{Solucion 2 :}}} \hfill \\<br /> \boxed{a.} \hfill \\<br /> \left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> 2x - y + z = 0 \hfill \\<br /> 2x + 3y - z = 0 \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> \to \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 2 & { - 1} & 1 & 0 \\<br /> 2 & 3 & { - 1} & 0 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \to \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 2 & { - 1} & 1 & 0 \\<br /> 0 & { - 4} & 2 & 0 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \to \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 1 & { - 1/2} & {1/2} & 0 \\<br /> 0 & { - 4} & 2 & 0 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> \to \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 1 & { - 1/2} & {1/2} & 0 \\<br /> 0 & 1 & { - 1/2} & 0 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \to \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 1 & 0 & {1/2} & 0 \\<br /> 0 & 1 & { - 1/2} & 0 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> \Rightarrow \left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> x + \frac{1}<br />{2}z = 0 \hfill \\<br /> y - \frac{1}<br />{2}z = 0 \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right\| \Rightarrow \left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> x = \frac{{ - 1}}<br />{2}z \hfill \\<br /> y = \frac{1}<br />{2}z \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right\| \hfill \\<br /> {\text{Sea }}z = \lambda {\text{:}}\lambda \in \mathbb{R}{\text{, asi :}} \hfill \\<br /> \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> x \\<br /> y \\<br /> z \\<br /><br /> \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {\frac{{ - 1}}<br />{2}\lambda } \\<br /> {\frac{1}<br />{2}\lambda } \\<br /> \lambda \\<br /><br /> \end{array} } \right) = \lambda \cdot \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> { - 1/2} \\<br /> {1/2} \\<br /> 1 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> {\text{Sea : }}A = \left( {\frac{{ - 1}}<br />{2},\frac{1}<br />{2},1} \right){\text{ y }}B = \left( { - 1,1,2} \right){\text{, ambos pertenecen a L}}{\text{, asi el vector}} \hfill \\<br /> {\text{director }}u{\text{ es : }}B - A = \left( {\frac{{ - 1}}<br />{2},\frac{1}<br />{2},1} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{c.} \hfill \\<br /> {\text{Podemos expresar tanto la recta como el plano vectorialmente :}} \hfill \\<br /> L:\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> x \\<br /> y \\<br /> z \\<br /><br /> \end{array} } \right) = \lambda \cdot \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> { - 1/2} \\<br /> {1/2} \\<br /> 1 \\<br /><br /> \end{array} } \right){\text{ }}{\text{, con : }}\lambda \in \mathbb{R} \hfill \\<br /> \prod : \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> x \\<br /> y \\<br /> z \\<br /><br /> \end{array} } \right) = \alpha \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> 0 \\<br /> { - 2} \\<br /> 1 \\<br /><br /> \end{array} } \right) + \beta \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> 2 \\<br /> 3 \\<br /> { - 1} \\<br /><br /> \end{array} } \right){\text{ }}{\text{, con }}\alpha ,\beta \in \mathbb{R} \hfill \\<br /> {\text{Asi }}{\text{, sea : }}u \in L \cap \prod {} {\text{, osea :}} \hfill \\<br /> u \in \mathbb{R}^3 :u = \left( {\frac{{ - \lambda }}<br />{2},\frac{\lambda }<br />{2},\lambda } \right) = \left( {2\beta , - 2\alpha + 3\beta ,\alpha - \beta } \right) \hfill \\<br /> {\text{Resolviendo}}{\text{, llegamos que : }}\lambda = \alpha = \beta = 0,{\text{ osea :}} \hfill \\<br /> L \bot \prod = \left( {0,0,0} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2008, 07:47 PM Publicado: #5
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{{\text{Solucion 3 :}}} \hfill \\<br /> \boxed{b.} \hfill \\<br /> {\text{Sea : }}I = \int\limits_0^1 {\frac{{e^{2x} }}<br />{{\left( {e^{2x} + 1} \right)\left( {e^x + 2} \right)}}} dx{\text{ }}{\text{, sea : }}u = e^x \Rightarrow \frac{{du}}<br />{u} = dx \hfill \\<br /> I = \int\limits_1^e {\frac{{u^2 }}<br />{{u\left( {u^2 + 1} \right)\left( {u + 2} \right)}}} du = \int\limits_1^e {\frac{u}<br />{{\left( {u^2 + 1} \right)\left( {u + 2} \right)}}} du \hfill \\<br /> {\text{Separando en fracciones parciales :}} \hfill \\<br /> \frac{{Au + B}}<br />{{u^2 + 1}} + \frac{C}<br />{{u + 2}} = \frac{{Au^2 + Bu + 2Au + 2B + Cu^2 + C}}<br />{{\left( {u^2 + 1} \right)\left( {u + 2} \right)}} \hfill \\<br /> \Rightarrow \left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> A + C = 0 \hfill \\<br /> 2A + B = 1 \hfill \\<br /> 2B + C = 0 \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right\| \Rightarrow \left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> 2A + B = 1 \hfill \\<br /> - A + 2B = 0 \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right\| \Rightarrow 5B = 1 \hfill \\<br /> \Rightarrow A = \frac{2}<br />{5},B = \frac{1}<br />{5},C = \frac{{ - 2}}<br />{5} \hfill \\<br /> I = \frac{1}<br />{5}\int\limits_1^e {\left\{ {\frac{{2u + 1}}<br />{{u^2 + 1}} - \frac{2}<br />{{u + 2}}} \right\}} du \hfill \\<br /> I = \frac{1}<br />{5} \cdot \left[ {\int\limits_1^e {\frac{{2u + 1}}<br />{{u^2 + 1}}du} - 2\int\limits_1^e {\frac{{du}}<br />{{u + 2}}} } \right] \hfill \\<br /> I = \frac{1}<br />{5} \cdot \left[ {\int\limits_1^e {\frac{{2u}}<br />{{u^2 + 1}}du} + \int\limits_1^e {\frac{{du}}<br />{{u^2 + 1}}} - 2\int\limits_1^e {\frac{{du}}<br />{{u + 2}}} } \right] \hfill \\<br /> I = \frac{1}<br />{5} \cdot \left[ {\ln \left( {u^2 + 1} \right) + {\text{arctan}}\left( u \right) - 2\ln \left( {u + 2} \right)} \right]_1^e \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

Neuropayaso Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2008, 09:11 PM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 140 Registrado: 10-May 08 Desde: [-1,1] Miembro Nº: 22.728 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	3 -a) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Si primero sacamos la primitiva:}} \hfill \\<br /> Sea{\text{ }}u = \frac{1}<br />{x} \hfill \\<br /> du = - \frac{1}<br />{{x^2 }} \hfill \\<br /> \int {\frac{1}<br />{{x^2 }}e^{\frac{1}<br />{x}} dx = - \int {e^u du = - e^u + c = - e^{\frac{1}<br />{x}} + c} } \hfill \\<br /> Si{\text{ evaluamos}} \hfill \\<br /> {\text{ - }}e^{1/x} /_{1/2}^1 = e^2 - e = e(e - 1) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Mensaje modificado por Neuropayaso el Dec 12 2008, 09:50 PM -------------------- Estudiante de Medicina, 3º año Universidad de Chile

Neuropayaso Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2008, 09:32 PM Publicado: #7
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 140 Registrado: 10-May 08 Desde: [-1,1] Miembro Nº: 22.728 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	4- $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> 1){\text{ Si n}} \in \mathbb{N}{\text{ se sabe que }}0 < \frac{1}<br />{n} \leqslant 1 \hfill \\<br /> Definamos: \hfill \\<br /> f:[0,1] \to \mathbb{R}{\text{ tal que }}f(x) = \sin (x) \hfill \\<br /> {\text{que claramente es creciente (su derivada es siempre positiva en este intervalo)}} \hfill \\<br /> {\text{entonces 0}} < \frac{{\text{1}}}<br />{{\text{n}}} \leqslant 1 \Rightarrow \sin (0) < \sin (\frac{1}<br />{n}) \leqslant \sin (1) \Rightarrow 0 < \sin (\frac{1}<br />{n}) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 2){\text{ Definamos }}f:\mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}{\text{ tal que }}f(x) = \frac{{\sin (\frac{1}<br />{n})}}<br />{{\frac{1}<br />{n}}} \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sin (\frac{1}<br />{n})}}<br />{{\frac{1}<br />{n}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}}<br />{x} = 1 \hfill \\<br /> {\text{como }}f(x){\text{ es continua en ese dominio y por definici\'o n A}}_{\text{n}} {\text{ = }}f(n){\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{entonces }}\frac{{\sin (\frac{1}<br />{n})}}<br />{{\frac{1}<br />{n}}} \to 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> c){\text{ Definamos f:}}\mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}{\text{ tal que f(n) = sin(}}\frac{{\text{1}}}<br />{{\text{n}}}) \hfill \\<br /> {\text{como demostramos en a) es positiva y como es deciente ya que su derivada (}}f'(n) = \frac{{ - 1}}<br />{{x^2 }}\cos (\frac{1}<br />{n})){\text{ es siempre negativa}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{entonces por criterio de la integral si }}\int_{\text{1}}^\infty {{\text{sin(}}\frac{{\text{1}}}<br />{{\text{n}}})} {\text{ }}diverge \Leftrightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sin (\frac{1}<br />{n})} {\text{ diverge}} \hfill \\<br /> {\text{entonces f(n) = sin(1/n) y definamos g(n) = 1/n}} \hfill \\<br /> {\text{como vimos en b) }}\mathop {{\text{lim}}}\limits_{{\text{n}} \to \infty } \frac{{f(n)}}<br />{{g(n)}} = 1 \hfill \\<br /> {\text{entonces si sabemos que }}\int_{\text{1}}^\infty {\frac{{\text{1}}}<br />{{\text{n}}}{\text{ }}diverge} \Leftrightarrow \int_{\text{1}}^\infty {{\text{sin(}}\frac{{\text{1}}}<br />{{\text{n}}})} {\text{ }}diverge \Leftrightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sin (\frac{1}<br />{n})} {\text{ diverge}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Cualquier error haganmelo ver por favor.. Mensaje modificado por Neuropayaso el Dec 12 2008, 10:15 PM -------------------- Estudiante de Medicina, 3º año Universidad de Chile

Bachi-InJ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 13 2008, 07:53 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 554 Registrado: 3-July 08 Desde: ... desde los pastos??? Miembro Nº: 28.965 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA Cualquier error haganmelo ver por favor.. Hasta el momento no encuentro ningun error. Aunque en la 4,a podiamos decir algo como hacer un reemplazo de $TEX: $\frac{1}{n} = u$$ , ahi sacar el limite de $TEX: $\frac{1}{n}$$ y notar que es cero, por lo que sen(u) > 0. Creo que lo mio es una mirada a lo "Orlando Campos". -------------------- Si haces consultas, por lo menos lee las reglas del sitio... Listado de comandos en Latex y de hacer Documentos en Latex Antes de ponerte a estudiar ¿Quieres un rico mate? Prepáralo con Hierba de Gauss

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 13 2008, 08:31 AM Publicado: #9
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	QUOTE(Neuropayaso @ Dec 12 2008, 11:32 PM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> c){\text{ Definamos f:}}\mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}{\text{ tal que f(n) = sin(}}\frac{{\text{1}}}<br />{{\text{n}}}) \hfill \\<br /> {\text{como demostramos en a) es positiva y como es deciente ya que su derivada (}}f'(n) = \frac{{ - 1}}<br />{{x^2 }}\cos (\frac{1}<br />{n})){\text{ es siempre negativa}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{entonces por criterio de la integral si }}\int_{\text{1}}^\infty {{\text{sin(}}\frac{{\text{1}}}<br />{{\text{n}}})} {\text{ }}diverge \Leftrightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sin (\frac{1}<br />{n})} {\text{ diverge}} \hfill \\<br /> {\text{entonces f(n) = sin(1/n) y definamos g(n) = 1/n}} \hfill \\<br /> {\text{como vimos en b) }}\mathop {{\text{lim}}}\limits_{{\text{n}} \to \infty } \frac{{f(n)}}<br />{{g(n)}} = 1 \hfill \\<br /> {\text{entonces si sabemos que }}\int_{\text{1}}^\infty {\frac{{\text{1}}}<br />{{\text{n}}}{\text{ }}diverge} \Leftrightarrow \int_{\text{1}}^\infty {{\text{sin(}}\frac{{\text{1}}}<br />{{\text{n}}})} {\text{ }}diverge \Leftrightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sin (\frac{1}<br />{n})} {\text{ diverge}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ No vale la pena aplicar el criterio de la integral pues igual haces uso del criterio de comparación con paso al límite, luego basta aplicar este último criterio con $TEX: $b_n=\dfrac1n$$ en la serie y se concluye que es divergente.

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 13 2008, 09:54 PM Publicado: #10
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(kbzoon @ Dec 12 2008, 08:09 PM) $TEX: \[<br /> = \int_0^1 {x^n \left( {e^x } \right)} ^\prime dx + n\int_0^1 {x^{n - 1} e^x dx} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> = \left. {x^n e^x } \right\|_0^1 - n\int_0^1 {x^{n - 1} e^x } dx + n\int_0^1 {x^{n - 1} e^x dx} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> = e<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\blacksquare <br />\]<br />$ Tambien se podia ver asi: $TEX: \[<br />\int_0^1 {x^n e^x dx} + n\int_0^1 {x^{n - 1} e^x dx} = \int_0^1 {\left( {x^n e^x } \right)^\prime dx} <br />\]<br />$ P.D: Mas Wom que dar examen voluntario para subir la nota y que al final te baje po Mensaje modificado por naxoobkn el Dec 14 2008, 10:40 AM -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

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