Cuarto nivel individual

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Cuarto nivel individual, Octava región

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0.9999999...=1 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2006, 05:36 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 281 Registrado: 7-April 06 Desde: Santiago - Quirihue Miembro Nº: 786 Nacionalidad: Sexo:	Problema 1. Encontrar el valor numérico exacto de $TEX: \[<br />\sqrt[3]{{5 + 2\sqrt {13} }} + \sqrt[3]{{5 - 2\sqrt {13} }}<br />\]<br />$ Problema2. Sea n un entero positivo tal que $TEX: \[<br />n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) + 1 = 379^2 <br />\]<br />$ Encontrar el valor de n -------------------- "Si le das a un hombre un pescado, comerá un día. Si le enseñas a pescar, comerá toda la vida." "Si persiges a dos conejos al mismo tiempo, los perderás a ambos." "Las cosas valen lo que su comprador esté dispuesto a pagar por ellas."

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2006, 06:31 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\[<br />\begin{gathered}<br /> 1 + n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) = 379^2 \hfill \\<br /> 1 + n\left( {n + 3} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = 379^2 \hfill \\<br /> 1 + \left( {n^2 + 3n} \right)\left( {n^2 + 3n + 2} \right) = 379^2 \hfill \\<br /> \text{sea }n^2 + 3n = p \hfill \\<br /> 1 + p\left( {p + 2} \right) = 379^2 \hfill \\<br /> 1 + p^2 + 2p = 379^2 \hfill \\<br /> \left( {1 + p} \right)^2 = 379^2 \hfill \\<br /> 1 + p = 379 \hfill \\<br /> 1 + n^2 + 3n = 379 \hfill \\<br /> n^2 + 3n - 378 = 0 \hfill \\<br /> \left( {n + 21} \right)\left( {n - 18} \right) = 0 \hfill \\<br /> n_1 = - 21 \wedge n_2 = 18 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: n=18$ --------------------

sebagarage Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2006, 06:31 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 817 Registrado: 28-May 06 Desde: maipú, santiago. Miembro Nº: 1.210 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: P2$ $TEX: $ n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) + 1 = 379^2$$ $TEX: $n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)=379^2-1$$ $TEX: $n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)=(379+1)(379-1)$$ $TEX: $n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)=(380)(378)$$ $TEX: $n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)=(19)(20)(18)(21)$$ $TEX: $n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)=18192021$$ Y como $TEX: n$ debe ser natural el único valor posible es $TEX: n=18$ (Si no fuera así, entonces $TEX: $n\not =18 \Rightarrow n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)\not =18192021$$ ) -------------------- Estudiante de 5º año de Ingeniería Civil Industrial en la U. de Chile

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2006, 08:35 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(0.9999999...=1 @ Aug 6 2006, 07:36 PM) Problema 1. Encontrar el valor numérico exacto de $TEX: \[<br />\sqrt[3]{{5 + 2\sqrt {13} }} + \sqrt[3]{{5 - 2\sqrt {13} }}<br />\]<br />$ $TEX: $a=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$$ $TEX: $a^3=5+2\sqrt{13}+5-2\sqrt{13}+3\sqrt[3]{\left(5+2\sqrt{13}\right)\left(5-2\sqrt{13}\right)}\left(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}\right)$$ $TEX: $a^3=10+3a\sqrt[3]{25-52}$$ $TEX: $a^3+9a-10=0$$ $TEX: $(a-1)\left(a^2+a+10\right)=0$$ $TEX: $a-1=0\ \ \ \vee \ \ \ a^2+a+10=0$$ $TEX: $a=1\ \ \ \vee \ \ \ a\notin\mathbb{R}$$ pero como es obvio que $TEX: $a\in\mathbb{R}$$ , tenemos finalmente que $TEX: $a=1$$ -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

dex Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2006, 08:50 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 725 Registrado: 17-July 05 Desde: Puente Alto-Santiago Miembro Nº: 148 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $Sp_1$$ Sea: $TEX: \[<br />\begin{array}{l}<br /> a = \sqrt[3]{{5 + 2\sqrt {13} }} \\ <br /> b = \sqrt[3]{{5 - 2\sqrt {13} }} \\ <br /> \end{array}<br />\]$ Tendremos: $TEX: \[<br />\begin{array}{l}<br /> a^3 = 5 + 2\sqrt {13} \\ <br /> b^3 = 5 - 2\sqrt {13} \\ <br /> \end{array}<br />\]$ $TEX: <br />\[<br />a \cdot b = \sqrt[3]{{5 + 2\sqrt {13} }} \cdot \sqrt[3]{{5 - 2\sqrt {13} }} = \sqrt[3]{{5^2 - \left( {2\sqrt {13} } \right)^2 }} = \sqrt[3]{{ - 27}} = - 3<br />\]<br />$ Ahora: $TEX: <br />\[<br />\begin{array}{l}<br /> a + b = n \\ <br /> \Rightarrow a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 = n^3 \\ <br /> \Rightarrow a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = n^3 \\ <br /> \Rightarrow 10 + 3 \cdot - 3(n) = n^3 \\ <br /> \Rightarrow n^3 + 9n - 10 = 0 \\ <br /> \Rightarrow (n-1)(n^2+n+10)<br /> <br /> \end{array}<br />\]<br />$ De aquí se ve que $TEX: $n=1$$ ya que: $TEX: <br />\[<br />\left( {n^2 + n + 10} \right) \notin \Re <br />\]<br />$ Solución: La suma es igual a 1 Saludos -------------------- "Resolver un problema es una meta específica de la inteligencia e inteligencia es el don específico de los seres humanos: Resolver un problema es la actividad humana por excelencia"

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