Propuesto Pawel Kroeger VII

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Propuesto Pawel Kroeger VII, sumatoria

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C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 10 2009, 05:54 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: <br />\noindent Sea $f(z)=\dfrac{1}{z^2+a^2}$. $f$ tiene dos polos simples<br />en $z=\pm ia$.\\<br />Considerando que el numerador de $\dfrac{1}{n^2+a^2}$ no se anula<br />para $n\in\mathbb{Z}$ y que además, el grado del numerador es dos<br />unidades menor que el del denominador, es válida la fórmula<br />siguiente:<br />$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2+a^2}=-\pi\sum\operatorname{Res}\left(\frac{\cot(\pi<br />z)}{z^2+a^2}\right)\textrm{ en }z=\pm ia$$ Los respectivos residuos<br />son:<br />\begin{align}<br />\operatorname{Res}\left(\frac{\cot(\pi<br />z)}{z^2+a^2},\,ia\right)&=\left.\frac{\cot(\pi<br />z)}{2z}\right\|_{z=ia}\\<br />&=\frac{\cot(i\pi a)}{2ai}\\<br />&=\frac{-i\coth(\pi a)}{2ai}\\<br />&=\frac{-1}{2a}\coth(\pi a)<br />\end{align}<br />y<br />\begin{align}<br />\operatorname{Res}\left(\frac{\cot(\pi<br />z)}{z^2+a^2},\,-ia\right)&=\left.\frac{\cot(\pi<br />z)}{2z}\right\|_{z=-ia}\\<br />&=\frac{\cot(-i\pi a)}{-2ai}\\<br />&=\frac{-i\coth(-\pi a)}{-2ai}\\<br />&=\frac{-1}{2a}\coth(\pi a)<br />\end{align}<br />con lo cual:<br />$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2+a^2}=\frac{-\pi}{2a}(-2\coth<br />\pi a)=\frac{-\pi}{2a}(-2\coth \pi a)=\frac{\pi}{a}(\coth \pi a)$$<br />Pero:<br />$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2+a^2}=\frac{1}{a^2}+2\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2+a^2}$$<br />$ $TEX: <br />\noindent Luego:<br />\begin{align}<br />\frac{\pi}{2a}(\coth \pi<br />a)&=\frac{1}{2a^2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2+a^2}\\<br />\Rightarrow<br />\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2+a^2}&=\frac{\pi}{2a}(\coth \pi<br />a)-\frac{1}{2a^2}\\<br />\Rightarrow<br />\frac{1}{a^2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2+a^2}&=\frac{\pi}{2a}(\coth<br />\pi a)-\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{a^2}\\<br />&=\frac{\pi a \coth(\pi a)+1}{2a^2}<br />\end{align}<br />de donde se deduce que<br />$$\boxed{\boldsymbol{\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2+a^2}=\frac{\pi a \coth(\pi a)+1}{2a^2};\,0<a<1}}$$<br />$ -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

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